小学数学计算教学算理结构分析与教学措施探究

蔡旋旋

摘  要：算理是算法的基础，算法是算理的表征。在小学阶段，对算理的认知以及结构性分析是展开计算教学的前提。在计算教学中，教师可以引导学生在经验中建构、在直观中建构、在迁移中建构。只有让学生充分地感悟，循“理”入“法”，才能让学生达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

关键词：小学数学;计算教学;算理结构;教学措施

计算教学是小学数学教学的重要组成部分，贯穿于小学数学教学的始终。学生计算能力是学生学习数学的基础，其学习生态优劣直接关涉学生学习其他数学内容。抓好计算教学，对发展学生的数学思维、优化学生学习品质、形成学生学习习惯都具有至关重要的作用。计算教学，关键是处理两个方面的问题：其一是让学生理解算理，其二是让学生掌握算法。其中，算理是算法的基础，算法是算理的表征。在数学教学中，教师对计算算理进行结构性分析，有助于教师形成有效的教学措施，改进计算教学。

一、对计算教学中“算理”的认知

所谓“算理”，简单地说，就是“计算的道理”。在小学数学中，算理有两层含义：其一是运算的依据，即每一步运算的内在道理，比如“小数加减法要小数点对齐”;其二是列式的依据，即某一个问题为什么用加法而不用减法，用乘法而不用除法。很多时候，这两种算理是交织在一起的，也就是说，学生既要理解列式的依据，也要理解运算的依据。如果说算法解决的是“怎样算”的问题，那么算理解决的就是“为什么这样算”的问题;如果说算法是一种“陈述性知识”，那么算理则是一种“程序性知识”;如果说算法是一种显性知识，那么算理则是一种隐性知识。算法是抽象的，算理是直观的。概言之，算法是算理的抽象化、压缩化的确证与表征。

学生在计算教学中，首当其冲的就是要理解算理。只有在学生理解算理的基础上，才能引导学生建构算法。如果教师淡化、忽视算理教学，那么学生就只是“知其然而不知其所以然”，学生在计算学习中更多地就只是“背法则”“背顺序”等，算法知识对学生而言就是机械的、死的知识。作为教师，必须重视算理教学。从计算知识获得过程上分析，对“算理”的教学，有助于学生对算法的自主建构，即在理解算理基础上进行数学化、形式化的提炼、凝聚;从数学建模的视角分析，学生建构算法的逻辑顺序就是“理解算理—提炼算法—算法应用”。在计算教学中，教师只有遵循学生理解算理、建构算法的一般逻辑过程，才能让学生循“理”入“法”，以“理”驭“法”。

二、对学生掌握“算理结构”的分析

小学数学计算教学主要内容涉及三个领域、四种运算，即整数的四则运算、小数的四则运算以及分数的四则运算。其中，低中年级学段主要教学“整数四则运算”，中高年级学段主要教学“小数四则运算”“分数四则运算”。从整体上看，整数、小数和分数的加减法的算理具有共通之处，整数、小数乘除法的算理具有共通之处。对小学阶段各年级计算的算理进行解读，学生的体验与理解主要体现在以下三个方面：

1. “算理素材”的呈现

“算法”是抽象的，“算理”是形象的。因此，如何选择算理素材进行呈现，就成为教师首当其冲要思考、解决的问题。毋庸置疑，算理呈现首先要考虑学生的年龄、心理特征。通常情况下，小学低年级学段学生主要是直观动作思维，为此教师要引导学生进行操作，可以借助小棒、圆片等让学生进行探究，比如“凑十法”“破十法”中借助小棒的合并、分拆等的操作;中年级学段学生主要是具体形象思维，为此教师要引导学生借助实物图、主题图等进行具象化的思考，比如“两位数乘两位数”算理的理解;高年级学段学生已经具备了抽象逻辑思维能力，为此教师可以充分运用学生的生活经验，借助具体的数量关系、线段图等进行理解，比如分数乘除法的算理理解等。优化算理的呈现，有助于学生对算理的建构、再构，有助于引导学生抽象、归纳算理，建构算法。

2. “算理发现”的方式

不同学段学生对算理发现的方式是不同的。低年级算理的教学，教师要紧密联系学生的生活，充分运用学生的生活经验，比如《100以内数的加与减》，教师可以启发学生“只有同类的事物可以相加、相减”，从而让学生理解个位与个位相加、十位与十位相加。中年级学段，可以引导学生借助自己已有的学习经验，有效地迁移、类比，引导学生整合、再构，比如《三位数乘两位数》，可以让学生联系《两位数乘两位数》，从而让学生巩固算理，并更为深刻地理解算理。高年级学段，教师要侧重引导学生感悟，从而获得对算理的整体性理解，比如对“异分母分数加减法”“小数的加减法”，要引导学生和“整数加减法”的算理联通起来，形成“只有计数单位相同才能直接相加或者相减”的算理。高年级学段的学生对算理的理解，更加注重算理的“形”与“质”的沟联式发现。

3. “算理结构”的建构

在计算教学中，算理与算法并不是孤立存在的，而是相辅相成、相得益彰的。低年级学段学生学习的算法，到了中年级学段有的就成了算理的组成部分;同样，中年级学段学生学习的算法，到了高年级学段有的也成了算理的组成部分。从这个视角看，算理的理解与算法的建构是交织在一起的，并且呈现出一种螺旋上升的态势。因此，教师在教学中必须注重引导学生对算理结构进行建构，将算理进行融通、融合，形成更为上位的算理。其中，有些算理还是一以贯之的。比如低年级学段“凑十法”就是高年级学段“凑整法”算理的雛形。如果学生在低年级学段理解了“凑十法”，那么学生在高年级学段自然能运用“凑整法”对整数、小数、分数进行简便运算。引导学生把握算理结构，将有助于引导学生对算理的深化理解与主动剖析。

三、对“算理教学”的措施探究

建构主义认为，学生的数学学习是自主的、能动的、有意义的建构过程。在计算教学中，教师要引导学生通过对算理的理解，自行建构算法。只有当学生理解了算理，学生才能感受到算法的合理性、必然性。作为教师，要引导学生在经验中建构、在直观中建构、在迁移中建构。只有让学生充分地感悟，才能让学生明理，形成对算法的符号化表达。

1. 经验：学生理解算理的动力源泉

经验是学生学习数学的源头活水，自然也是学生理解算理的源头活水。许多计算的算理，就孕伏于学生的经验之中。作为教师，可以创设、运用生活化、经验化的情境，助推学生对算理的理解。比如教学北师大版三年级上册《乘加 （减） 混合运算》，教材中就拥有鲜活的情境：小熊购物，胖胖要买1个蛋糕和4个面包，应付多少钱？学生根据经验，纷纷认为应该先算4个面包多少元，再算1个蛋糕和4个面包多少元。由此，学生能够列出正确的算式——“3×4+6”或“6+3×4”。在此基础上，笔者出示了一些算式，比如5×3+6×3等，让学生对之赋予意义。由于拥有经验的支持，学生能根据算式说出其中的意义。这样围绕学生经验的情境、活动，为学生理解“先算乘法，后算加法”的“乘加、乘减混合运算”的算理奠定了坚实的基础。

2. 直观：学生理解算理的思维支撑

由于算法是抽象的、理性的，而学生的思维是感性的、直观的，因此计算教学应当从学生的直观入手。直观，是学生理解算理的思维支撑，具有生动性、具体性和直接性的特质。运用直观的方式很多，包括模型直观、图片直观、操作直观等。比如教学北师大版教材五年级下册《整数除以分数》，教材运用四个同样大的饼（圆形），每2张一份、每1张一份、每 张一份、每 张一份，可以分别分得多少份？通过直观的图形，学生直观地认识到，整数除以分数单位，就相当于整数乘这个分数单位的倒数。由此形成学生的猜想“整数除以分数等于整数乘这个分数的倒数”，对于这个猜想，部分学生借助长方形图进行探究，从而验证了自己的猜想。这里，学生对算理的理解完全是通过几何直观来实现的，而没有数理逻辑的演绎。在计算教学中，教师要努力寻找直观因子，发展学生的直观洞察、直观推理能力。通过直观，学生的创造性潜质将被充分地激发。

3. 迁移：学生理解算理的有效保障

如上所述，算理不是孤立存在，而是普遍关联着的。作为教师，要把握算理结构的关联点，引导学生积极地类比、迁移，引导学生对算理进行积极的同化、顺应，引导学生进行算理识别，从而实现对算理的再构、再创造。比如教学北师大版教材四年级下册《小数乘法》，教材引导学生运用多种方法理解“小数乘整数”的计算算理，如根据货币单位的转化，进而认识“位置制”原则;根据小数的意义画出长方形，然后根据整数乘法的意义来进行解释;如直接根据整数乘法的意义来理解小数乘整数的算理。通过对算理的逐步渐进式的“解剖”与“深挖”，能实现学生对算理的个性化理解、个性化创造。当然，在学生最初的算理学习中，直观发挥着重要的作用，而当学生理解了算理，掌握了算法后，教师可以逐步将直观隐去，从而打开学生思维之门，挖掘学生的直观能力，开启学生的智慧之旅。

理解算理对学生学习计算而言，是最為根本的。在计算教学中，教师要让学生既明理又熟法，有时还要在算理与算法间来回穿行，充分地体验由直观算理向抽象算法的过渡、演变。作为教师，要引导学生以多种方式发现、探究算理，让学生达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。通过算理教学，为学生计算提供有效支撑，让算理充分发挥其计算的育人价值。