立足二次方程概念 梳理判别式要点

文熊冬平

一、要点梳理

要点一：一元二次方程根的判别式。

一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式：

（1）当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；

（3）当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a，b，c的值；③计算b2-4ac的值；④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况。

要点二：一元二次方程根的判别式的逆用。

在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中：

（1）方程有两个不相等的实数根⇒b2-4ac＞0；

（2）方程有两个相等的实数根⇒b2-4ac=0；

（3）方程没有实数根⇒b2-4ac＜0。

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0。

二、典型例题

一元二次方程根的判别式的应用。

例1 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

【思路点拨】已知方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0，得到关于k的不等式，从而求得k的范围。

【解析】a=1，b=2k+1，c=k2+1。

b2-4ac=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3。

∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，

∴4k-3＞0。

【总结升华】我们应熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系，同时要注意书写格式。

拓展已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x-m2+m+1=0。

（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求m的值及方程的根。

【解析】（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=-m2+m+1，

∴b2-4ac=（m+2）2-4（-m2+m+1）=5m2≥0。

∴不论m为何值，该方程总有实数根。

（2）解：∵方程两个实数根相等，

∴b2-4ac=0。

即5m2=0，m=0。

当m=0时，原方程为x2+2x+1=0。

解得：x1=x2=-1。

例2 已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0。

求证：不论m为何值，该方程总有实数根。

【思路点拨】我们应注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根，因此二次项系数可以为0，也可以不为0。

【解析】①当m=0时，原方程为一次方程，此时x=1，

∴当m=0时，方程有实数根；

②当m≠0时，b2-4ac=［-（m+2）］2-4×m×2=（m-2）2，

∵（m-2）2≥0，

∴方程有实数根。

综上所述，无论m为何值，该方程总有实数根。

【总结升华】（1）应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，应注意系数不为0；

（2）应用判别式应将方程化为一般形式；

（3）注意有实根和有两个实根的区别。

拓展已知关于x的方程kx2-（k+2）x+2=0。若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由。

【解析】①当k=0时，-2x+2=0，x=1。

②当k≠0时，b2-4ac=［-（k+2）］2-8k=（k-2）2。

∴当k=0时，方程有一个实数根；

当k=2时，（k-2）2=0，方程有两个相等的实数根；

当k≠2且k≠0时，（k-2）2＞0，方程有两个不相等的实数根。