千举万变 其道一也——关于一元二次方程的根与系数的考题研究与策略分析

文陈 缓

一元二次方程是初中数学的基础知识，也是中考必考点。主要有三种考查方式：一是一元二次方程的求解；二是根与系数的关系；三是一元二次方程的实际应用。重点在于根据题意找出等量关系。下面针对一元二次方程的根与系数的关系，从教材例题出发，结合中考题变式，进行剖析。

例（苏科版《数学》九年级上册第22页）求下列方程两根的和与两根的积：x2+2x-5=0。

【解析】该方程是一元二次方程的一般形式，分别写出二次项系数、一次项系数和常数项的值a、b、c，利用韦达定理可得x1+x2

解：设方程x2+2x-5=0的两根分别是x1、x2，

【点评】对于“给定方程，求根”的问题，“给定方程”就是“给定系数”，掌握根与系数的关系是解题的关键。

变式若方程x2-6x+8=0的两根是某直角三角形的两直角边的长，则斜边长为_____。

【解析】方法不一，首先利用一元二次方程根与系数的关系得到接下来，可以利用完全平方公式求出=（x1+x2）2-2x1·x2。我们还可以利用配方法或因式分解法求出x1，x2的具体值，再利用勾股定理求直角三角形的斜边长。

解：设方程x2-6x+8=0的两根分别是x1、x2，

∵a=1，b=-6，c=8，

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、勾股定理的应用，以及因式分解法求一元二次方程的根。同学们还可以尝试不同方法，如求出直角三角形的两直角边的具体长度，本题依然可以迎刃而解。

除了以上不含参数的一元二次方程，中考数学常常聚焦于含参数的类型。

题型一：含参数的一元二次方程中，已知方程的根，求参数。

变式链接已知3是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根，则m=______。

【解析】运用一元二次方程根的定义，可以将3代入方程中得到关于m的一元一次方程，然后求出m即可。

解：把3代入方程中得，

32-4×3+m=0，

解得m=3。

故本题正确答案为3。

【点评】本题考查一元二次方程根的定义。我们可以直接将3代入方程，从而将关于x的一元二次方程转化为关于m的一元一次方程，体现“转化”的思想。

题型二：含参数的一元二次方程中，已知方程两根的关系，求两根的值。

变式链接设x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根，且x1+x2=5，则x1=_，x2=_____。

【解析】利用一元二次方程的根与系数的关系，结合x1+x2=5可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论。

解：由题意得，

∵x1+x2=5，∴m=5，

∴原方程可化为：x2-5x-6=0，

解得x1=6，x2=-1（顺序可交换）。

【点评】解决该类问题时，重在把握一元二次方程的根与系数的关系式，借助“桥梁”m和两根的关系，将原方程转化成不含参数的方程，进而求出方程的解。

题型三：含参数的一元二次方程中，已知方程的一根，求另一根和参数值。

变式链接已知方程x2-6x+m=0的一个根是2，则它的另一个根是____，m的值是___。

【解析】已知一元二次方程的一个根，根据两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，可求出另一个根；再利用两个根的积等于常数项与二次项系数的比，可求出m。

解：设x1，x2是方程x2-6x+m=0的两个根，且x1=2，则

2+x2=6，2·x2=m，

可得x2=4，

∴m=2·x2=8，

即m=8。

故本题正确答案为4，8。

【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，万变不离其宗，只要掌握关系式，分别确定根的值以及参数的值，便可得解。