知识承载素养，运算指向化归

邢成云

摘要：用课程意识思考课堂，可以让数学教学不再是碎片，而是浑然一体的集成块。“一元一次方程的解法”的教学不可能一步一步地“套”，而会去通盘考虑朝向目标的化解之旅，在一元一次方程的解法（数学运算）中渗透所承载的简化意识、转化思想。具体地，可以设计“开放问题”“挑战任务”“练中感悟”“慧眼识误”等环节。由此得到教学启示：因需开启思路;化归贯穿始终;技中蕴能，相谐思维;知识产生力量。

关键词：课程意识一元一次方程的解法化归思想

一、教学前思

用课程意识思考课堂，可以让数学教学不再是碎片，而是浑然一体的集成块。何为用课程意识思考课堂？章建跃博士给出了最通俗的阐释：（1）我教的是一门怎样的课？（2）它能发挥怎样的育人功能？在学生发展中所起的不可替代的作用是什么？（3）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功能？

若用这样的自问去思考“一元一次方程的解法”的教学，就不可能一步一步地“套”，而会去通盘考虑朝向目标的化解之旅，并且途径应然不一，思路或可多条，历程中充满着探索的印迹。

（一）“一元一次方程的解法”该教什么？

张奠宙先生说过：教什么永远比怎样教更重要。那“一元一次方程的解法”该教什么？要回答这个问题，笔者认为，首先要有一个课堂的价值定位，其落实的载体要归于课型：是技能课、方法课，还是其他类型的课？首先，它应该是知识的教学，这是根基。不过，我们要树立正确的知识观，这里的知识指的是全面的知识——显性和隐性的结合，包含了具体知识所承载的思想方法、理性精神以及来龙去脉、思考方式等。进一步说，教知识就是要培好根、固好元，否则不会有认知结构的形成，自然就没有认知结构的完善，那数学素养的培养岂不成了无本之木、无源之水？基于以上认识，教的内容便落地了：一元一次方程的解法（数学运算）以及它所承载的简化意识、转化思想。

（二）它能发挥怎样的育人功能？

简化与转化均是育人的朝向，是数学知识所承载的数学素养。其中还有模型思想：求解就是朝向“x=a”的模型建构。

（三）如何教这节课？应采取怎样的教学策略？

开放学生的思维，给时空让学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流，归纳沉淀，形成解方程的基本思路。

（四）这样教在多大程度上实现了它的育人功能？

这样教规避了循规蹈矩式的亦步亦趋，让价值更丰满，在获得解方程技能的同时，渗透了数学的求简意识、化归意识，指向了数学运算，朝向了核心素养，落实了育人功能。

二、教学设计

基于上述思考，笔者把“一元一次方程的解法”的6个课时（从移项、合并同类项、去括号到较复杂的去分母）整合成3个课时：第一课时为新授教学，第二、三课时是不同层级的习题演练课（巩固本节所学，熟练运算技能，提升运算能力）。第一课时教学环节如下：

（一）开放问题

问题请你写出一个简单的一元一次方程并写出它的解。

预设教学程序：

层级1：学生写出x+1=2，2x-1=3等方程。求解完成后，教师追问：你是如何思考（想）的？为什么这样思考（想）？

层级2：学生没有写出2x+1=4x-3这类等号两边均有未知数的方程。教师直接出示这个方程，提出问题：你会解这个方程吗？你是如何思考（想）的？為什么这样思考（想）？

[设计意图：本环节意在温故与唤醒，通过与目标比对，指向“x=a”，沿着“确定目标→发现差异→分析差异→消除差异”的思维脉络，引导学生实现已知与未知的分离，将移向、合并同类项嵌入其中，渗透转化思想，为后续学习奠基。]

（二）挑战任务

例题尝试解方程 x-14-1=2x+16。

预设教学程序：

步骤1：独立尝试。学生尝试解此方程。教师巡视，重点帮助“学困生”点拨思路。

步骤2：汇报交流。学生展示解题过程。教师适时追问：（1）求解的每一步进行了怎样的变形？变形的依据是什么？（目的是归纳解方程的一般步骤，理解每一步的运算依据）（2）你是怎么想到这样做的（或为什么要这样做）？（目的是落实迁移：解方程的最终目标是得到“x=a”的形式，要紧盯目标实施变形）

步骤3：回顾反思。教师追问：整个解方程的过程体现了什么思维策略和数学思想？（目的是着眼于总体的趋简策略，根植落实好化归的思想方法）

预设解题引领：

通过与环节1中简单方程的比对，发现差异：外形复杂了，干扰因素多了。顺势提出问题：面对这样的现状，根据以前的经验，我们一般会怎样思考？有了教师的“遥指”，学生不难想到指向目标一步步消除差异。

第一个突出的差异是“含分母”。根据前面学过的等式性质，学生能够利用“两边同时乘以同一个数，等号不变”，从尝试中发现找分母的最小公倍数，可一次性去分母，得到3（x-1）-12=2（2x+1）。至此，或有错误出现：括号外的数漏乘括号里后面的项，而成为3x-1-12=4x+1;最小公倍数漏乘不含分母的项，而成为3x-1-1=4x+1或3（x-1）-1=2（2x+1），等等。如此，以错引思的教学契机来了。可以通过追问，让学生自我发现、纠错;再通过跟进讲解，引起学生的关注、警惕。

第二个突出的差异是“有括号”。接下来的任务自然是去括号。这已经不成问题（在前面《整式的加减》一章中已经解决）。若仍有各类错误，还是通过反问、追问等手段，进一步澄清，让“误区”成为“悟区”。

如此，复杂的问题变成了类似环节1中简单的问题，转化大功告成。

（三）练中感悟

（四）慧眼识误

[设计意图：为使问题讨论更全面，特设反例引起学生的警觉，用来帮助学生进一步感悟转化思想，感知去分母的目的性，完善去分母的方法，并且沉淀如下解方程的注意事项：①不漏乘不含分母的项;②分数线有括号的作用，分子是多项式时，去分母后，要用括号把分子括起来参与运算;③系数化1时，要弄清分子与分母的真实身份（容易颠倒分子、分母）。]

三、教学反思

（一）因需开启思路

教材上给定了一元一次方程的求解思路：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化1。解方程有法可依，但并非圭臬，若机械套用，就固化了学生的化归思维，容易使思考沦为“死循环”的程序。因此，把化归意识很强的解方程运算，降格为套用固有步骤的程序运算，是数学教育的“低矮化”。基于这样的思考，上述教学设计首先利用一个开放性问题，唤醒学生的目标意识，接着给出一个挑战性任务，诱动学生自己找想法，而不是搭小台阶，步步为营地碎步前进。其间的探索关隘叠嶂，由于前有目标的导引，后有教师的跟进，不难出现循阶而上的行为。如此组织教学，让学习因需而生、因用而生、因矛盾而生，整个历程就变得顺其自然了。

（二）化歸贯穿始终

化归是数学家们最为重视的数学思想方法之一，因为在解决问题的过程中，数学家们往往不是直接对问题展开攻击，而是对问题进行变形、转化，直至化归为某个已经解决或容易解决的问题。史宁中教授指出：“在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归为x=a的形式。”可见，在初中阶段的方程教学中，化归思想是核心的、本质的东西。解方程的过程就是不断化归的过程：化繁为简，指向最简形式“x=a”。化归观念（意识）是解方程过程中，思维活动的主导观念（意识）。化归需要目标（方向），然后才是方法（途径）的探寻，最简方程就是解方程中变形的目标;有了目标意识，剩下的事就是消除差异、趋向目标。

（三）技中蕴能，相谐思维

在解较复杂的一元一次方程的教学中，教师通常通过例题总结出解一元一次方程的五大步骤，然后通过大量的练习让学生按照这些步骤亦步亦趋地解方程。这样的教学可以达到让学生熟练地解方程的目的，但是往往强化了程序性、机械性的练习，让学生不假思索地套用，不明算理地搬用，忽略了学生思维能力的培养。对此，上述教学设计的重点，是让学生理解方程解法的自然由来，体会目标意识和化归思想的应用，将其沉淀下来、扎下根来，从而在后续学习中遇到相关问题、情境，如解其他类型的方程（组）及不等式（组）时能够顺利地迁移应用。授思维之道，价值不菲也！ 本节课的重心就是知法明道。至于解方程的熟练程度，则是下一节课的核心任务了。

（四）知识产生力量

“一元一次方程的解法”这部分内容，从知识的分类来看，属于程序性知识，是一种智慧技能，其掌握的关键是对操作方法及步骤的熟练。这一点任何时候都是不可小视的。因为知识教学（传授）是奠基工程、教育常识，是学校的基本功能、教师的神圣职责。人类要进步、发展，需要优秀“基因”的延续，即需要人类创造的文化知识的代代传承、生生不息。知识与能力是不可分割的统一体，离开了知识的积淀，何以有能力的发展？我们不能把知识传承与能力发展对立起来，轻视知识，倚重能力。当然，这里的知识不是窄化的狭义知识，而是显性知识与缄默知识的统一体，不仅包括表层的符号形式和中层的逻辑形式，而且包括内隐于符号形式和逻辑形式背后的本质、规律和思想等深层次的意义。

此即为：咬定知识不放松，立根原在思想中;化归意识要树立，方法技能不可轻。

*本文系山东省社科联人文社会科学课题（基础教育专项）“‘快慢相宜的整体化教学模式之延伸研究”（编号：16-ZX-JC-37）的研究成果。

参考文献：

[1] 章建跃.树立课程意识 落实核心素养[J].数学通报，2016（5）.

[2] 陈棉驹，董磊.在方程知识中实施数学思想方法教学的思考——以“一元一次方程”为例[J].中学数学教学参考（中旬），2019（3）.

[3] 王秀彩.目标导向，差异分析——数学解题的有效策略[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（12）.