问题导学促活课堂 核心素养生根发芽*——以“函数的单调性”教学设计为例

广西师范大学数学与统计学院(541006)刘存华 周莹

一、问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习的过程中逐步形成的”.[1]可见,学生的数学核心素养不是灌输知识,也不是训练解题,而是在“过程中”才能得以培养.但当前一线数学课堂仍存在“段中烧”、“一言堂”的现象,尤其在概念教学中经常出现“开门见山下定义、几项注意述内涵、题海战术做训练”的现象.如此教学容易导致学生对知识的形成一知半解,对概念的本质理解不透,“四基”将成为贫瘠的土地,核心素养无法生根发芽.此时,教师就需要以问题为导向促活课堂,提升教学质量,发展学生“四基”,让数学核心素养生根发芽.

二、基于数学学科核心素养的数学教学设计

数学核心素养需要落实在每一次课堂当中,需要进行精心地设计才能将课堂这个主阵地的利用程度达到最大化.因此,很有必要探讨基于数学学科核心素养的教学设计.本文在整合、优化第八届全国数学青年教师优质课的6 篇“函数的单调性”教学设计的基础上,结合相关文献,尝试进行了基于数学学科核心素养的教学设计：

(一)课例背景

“函数的单调性”选自《高中数学人教A 版》(必修1)1.3.1 节,主要内容是通过“数”与“形”的结合来理解概念,根据图象判断函数的单调性以及应用定义证明某些函数在给定区间上的单调性.学生在此之前学过基本函数的概念及表示,可以大致感知函数增减性的概念,并具备一定的抽象、概括和语言表达能力.本节课的重点是构建增(减)函数的数学化定义,难点是用定义规范证明函数的单调性.

(二)教学目标

拉夫尔-泰勒指出：“阐述清楚的目标包括行为方面和内容方面两个维度,有时可借助二维表格简明清晰地阐述目标”,因此本设计根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》的要求并结合教学内容、学生情况,将教学目标分解如下：(见表1)

表1 教学目标

(三)教学模式

将数学学习心理学中的概念形成模型[2]与周莹教授的“六何”认知链[3][4]整合成模型,并依此进行教学设计.模型如下：(见图1)

图1 教学模型

(四)教学过程

1.追溯从何,引入新知

对于“函数单调性从哪里来? ”的思考,设计了生活情境来引入新知,然后通过观察具体函数例子,得出共性.

问题1展示小孩“上楼梯”的动画,并问道：在爬楼梯时,小孩的位置随台阶的变化是如何变化的?

问题2展示本地某天的气温变化图像,提出问题：温度与时间有什么联系? (见图2)

图2 温度变化折线图

图3 一般函数图象

设计意图托尔斯泰曾说过：“成功的教学,所需的不是强制,而是激发学生学习的兴趣”.此环节从生活着手创设情境,激发学生的学习兴趣.学生对实际例子中“上升”、“下降”的描述,完成对函数单调性概念的首次感知.

问题3观察函数f(x)=x、f(x)=-x+ 1 以及f(x)=x2的图象(投影函数图象),回答问题：

(1)从左往右看,图象有什么样的“上升”、“下降”规律?

(2)图象的这种“上升”、“下降”规律,反映了当自变量的变化时,函数值是如何变化的?

设计意图直观感知,导入概念.通过从具体函数的图象观察“上升”、“下降”,让学生感知单调性的图形特征,培养学生直观想象能力,由此完成对单调性的第二次认识.

2.把握是何,形成概念

对于“单调性是什么? ”的思考,对上述函数进行提问,从而抽象本质,形成定义.

问题4如何描述函数“上升”、“下降”的变化趋势?

设计意图学生根据自己的了解用自然语言描述“上升”、“下降”,从而由“图象直观”转变到“定性描述”,不同方式的描述有利于提高语言表达能力.

问题5以函数f(x)=x2+1 为例,请用数学符号语言描述“f(x)在(0,+∞)上为增函数,也就是在(0,+∞)上f(x)随x的增大而增大”?

引导：第一步：将“x增大”符号化,类比“x增大”得到“f(x)的增大”;第二步：将“随”字符号化;第三步：再将隐含语言“区间”符号化;

设计意图通过提问和引导,学生可以突破思维的瓶颈,初步掌握符号语言描述概念：“在区间(0,+∞)上任取两个数x1,x2,当时x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)”来描述“在(0,+∞)上f(x)随着x的增大而增大”,把对单调性的认识由感性认识转化到理性认知层面.完成对概念的第三次认识的同时,树立了学生的自信,激发了探索欲望.

问题6请模仿对增函数下定义的方法,用准确的符号语言描述“f(x)在(-∞,0)上是减函数”?

问题7如何用数学语言准确刻画函数在区间D上递增(或递减)呢? (见图3)[5]

设计意图从对初中特殊函数直观图形的研究逐渐过渡到对一般函数单调性的抽象定义研究.运用数学符号进行描述,感受两种语言在描述上的不同关键点,培养学生在图形语言、自然语言和符号语言之间的转换能力.通过类比推理,形成增减函数概念的过程,培养逻辑思维能力.激发类比思想的同时,渗透分类整合的方法,让学生学会完善知识结构过程.

3.联结与何,拓展概念

增(减)函数的定义与单调区间有何关系? 怎么用定义证明单调性? 设置以下提问：

问题8你能分析一下增(减)函数定义的要点吗?

问题9例题：试用单调性的定义证明f(x)=x2+2 在[0,+∞)上是增函数.

设计意图问题8 使得学生加深对增(减)函数的认识.在此过程中还需要规范学生的语言表达,同时引导学生理解概念的内涵和外延以及关键词,为接下来运用概念进行解题、证明做准备.问题9 探究单调性定义与单调区间、证明步骤关系的过程中,培养学生的直观想象、数学抽象素养.在讲解“用定义证明”的例题时,使学生掌握用定义证明函数单调性的方法和书写的规范步骤,同时培养学生的逻辑推理和数学运算素养.

4.操作如何,应用概念

学生学习了单调性的概念和单调区间之后,效果如何?课堂中穿插习题进行考察：自学教材P29页例题完成题目：

问题10整个上午(8：00—12：00)天气越来越暖,中午时分(12：00—13：00)突然下雨,天气变得凉爽许多.雨后变晴,温度回升,直到太阳落山(18：00),太阳落山之后又变凉了.请画出8：00—24：00 期间气温与时间之间的函数图象,并指出单调区间.

设置意图自学例题,培养学生的自学能力;学以致用,及时训练,可根据学生反馈调整教学.学生动手绘制函数图象并利用图象准确指出单调区间,体会函数的单调性与函数图像之间的联系与转化,加深对函数单调性的抽象概念的理解,进一步培养学生的数学抽象素养.

5.重视变何,理解概念

问题11根据上述例题,完成以下变式训练：

变式1用定义证明函数y=x2+2 在(-∞,0)上是减函数.

变式2用定义证明函数上是减函数.

变式3用判断函数在(8,20)上是增函数还是减函数? 你能证明你的判断吗?

设计意图运用定义法证明函数的单调性,进行代数推理的过程时体验其严谨性、逻辑性,感悟数学思维,培养学生的逻辑推理素养.变式1 与例题的函数相同,通过类比可进行解答;变式2 在变式1 的基础上更换了函数,增加计算难度;变式3 在函数形式、单调区间上都增加了难度.总之,梯度化的变式训练中,能够更深入地理解单调递增(减)函数的定义以及证明方法.

6.把握有何,构建体系

问题12今天的内容就要收尾,我们来梳理一下整个学习的思路流程好不好? (师生梳理教学环节,见图4)

图4 教学环节图

问题13接下来我们最后一个任务是根据教学环节做总结,哪位高手能来说说个人收获呢? (师生共同总结,绘制思维导图,见图5)

图5 课堂小结思维导图

设计意图用串联教学环节的方式回顾,可以让学生了解课堂梗概,掌握学习研究的流程,达到“授之以渔”之功效.紧接着依据“教学环节图”总结本节知识、技能以及思想方法,将其纳入认知系统,完善数学知识体系.

三、教学反思

(一)在目标、策略的设置上,定位核心素养

教学目标是施教的方向标和目的地,要培养数学核心素养,必须在目标的设立时将“三维目标”进行拆解,融入核心素养.哪个知识点蕴含核心素养? 哪个过程发展核心素养?都需要在目标中通过“行为”和“内容”进行精准定位,提高目标可视化、可操作性.教学策略作为方法论,将“六何认知链”与“概念形成模型”整合起来进行指导教学环节的设立,使得每个环节符合学生的学习心理,利于达成教学目标,发展素养.

(二)在教学活动的开展中,培养核心素养

依据核心素养的表现形式,开展教学活动,培养核心素养：在获得概念和形成方法中培养数学抽象;在探索论证和表述交流中培养逻辑推理;在确定思路和演绎推理的过程中培养数学运算素养.以具体函数为例,抽象出共性和本质,由图形语言和自然语言到符号语言的过程发展数学抽象素养;理解函数单调性中的逻辑用语、类比增函数定义得到减函数定义等过程发展逻辑推理素养;用定义证明函数单调性的过程发展数学运算素养.

(三)在问题的精心设计下,发展核心素养

依据目标和教学模型设计问题,“师导生探”式教学营造活跃的课堂氛围;以“最近发展区”为理念设计问题,兼具合理性与挑战性,调动学生的积极性.设计问题进行反馈,检测学生的核心素养发展程度.如问题10 的设置可反映“数学抽象”素养是否得以发展.通过提出问题、解决问题的方式,不断的促活课堂,发展核心素养.培养学生的核心素养任重而道远,需要教师提高对其重视程度,不断的尝试新方法,发掘新渠道,探究出一条发展学生数学核心素养的有效之路.