“自主探究”中的推理能力培养

陆允香

摘要：在“自主探究”理念下，对学生推理能力的培养，主要包括以下一些做法：在“自学知识”时注意推理方向;在“展示交流”中学会推理方法，包括在观察、实验、操作中学会归纳推理，在知识、方法、经验的迁移中学会类比推理，在数据的收集、整理、分析中学会统计推理，在有机渗透中初步培养演绎推理能力;在“练习运用”中鼓励推理的综合与创新运用，包括“一猜、二联、三悬”。

关键词：自主探究推理能力推理方向推理方法

推理是根据一个或几个已知的判断推出另一个新的判断的思维过程。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”在深入进行课堂教学改革的今天，教学方式已发生了深刻的变化，但是，培养学生的推理能力，仍是数学教学重要的任务之一。笔者在“自主探究”理念下，对学生推理能力的培养，主要包括以下一些做法：

一、在“自学知识”时注意推理方向

数学推理是蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中的。因此，在让学生自学教材中的数学知识时，教师要为学生设计导学提纲，既根据教材“展现知识背景—提示知识形成—揭示知识联系”的过程，引导学生发现数学规律，又引领学生在发现数学规律的过程中，注意推理的方向。

在一次苏教版小学数学五年级下册“异分母分数加、减法”的教研活动中，笔者先在一个班级试教，采用如下导学提纲：自学例1、例2并完成例1中的计算。（1）仿照书本上的方法，用纸折一折并涂色看一看。（2）能否化成同分母分数来计算？在学生自学后的展示交流中，教师提问：你们怎么想到12+14=24+14=34的。学生有的说：从折纸、涂色中看到12就是24，所以12+14=34。有的說：根据提示“能否化成同分母分数”想到了通分。还有的只能对照折纸图知道12+14=26是错的，但是说不清楚错的道理……课后，经过研讨，我们认为，导学提纲注重了知识的理解，但忽视了推理方向的引导，导致学生说不清楚想法的来源（做法的道理）。

接着，笔者在另一个班级教学时，采用的导学提纲中增加了“为什么将异分母分数化成同分母分数”的问题。突出了推理的方向（算理）的分析，学生发言的情况就大不一样了。有的说：通分可以使分数的单位相同，表示2个14加1个14是3个14，即34。有的说：整数和小数都是相同计数单位相加，12+14通分后计数单位都是14，3个14是34，所以12+14=26是错的。也有的把12和14分别化成小数后相加，得到和是0.75，即34，证明了异分母分数相加，先通分，再分子相加、分母不变的道理……这样，在推理方向的引导下，学生不仅提高了自学思考的力度、展示交流的深度，更促进了对算理、算法的深刻理解，使知识、思维同步得到了发展。

以上课例充分说明，引导学生自学时，获取数学知识与培养推理能力是相依相关、相互联系、相互促进、相得益彰的。其实，数学课程的各个学习内容中都蕴含着推理的思维。在让学生在自学教材时，教师应该深入钻研教材，发掘其中的推理因素，有计划、有目的地提出类似的引导学生推理的问题。例如，在概念、性质、定律的自学中，可以提出“你是怎样得出这个规律的？”的问题;在面积和体积计算公式的自学中，可以提出“你是从原来的什么图形中得到启示的？”的问题;在应用题解决中，可以提出“先算什么，后算什么？为什么？”的问题;在概率与统计的自学中，可以提出“你从这些数据中想到些什么？”的问题……这样，推理思维的导向明确，能够帮助学生逐步积累数学活动经验，提高自学的实效。

二、在“展示交流”中学会推理方法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理。”而《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》指出：“归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的三种重要形式。”经过自学、小组交流之后，各小组都要派代表展示交流自学成果，进行相互讲评。这个过程既是学生将对数学知识理解的内隐过程转化为用语言表达的外显过程，也是教师引导学生学习推理方法、培养推理能力的过程。

（一）在观察、实验、操作中学会归纳推理

归纳推理是从特殊到一般的推理方法。数学知识，特别是起始性数学知识的教学，一般都要引导学生对提供的数学材料进行观察、实验、操作等活动，经过分析、归纳的过程，理解数学概念和规律。因此，在学生展示交流时，教师应该要求学生说出获得数学概念和规律的思考过程，把内隐的心智活动外显，让其他同学进行补充、修正、完善，再经过教师总结，从而学会归纳推理。

例如，教学苏教版小学数学五年级上册《小数的性质》一课时，在学生自学完例4、例5并完成例5中的填空后，笔者要求学生说出发现“在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变”的过程。学生的发言丰富多彩。有的说：例4中0.30元是30分，也是3角;0.3元也是3角，所以0.30元=0.3元。有的说：商店里某件商品的单价是3角，而标签上写的是0.30元，所以0.30元与0.3元是相等的。有的根据课本上的长条图和方格图以及小数的计数单位说：0.3是3个0.1，0.30是30个0.01，也是3个0.1。有的在例5中通过观察直尺图，得出0.100米、0.10米、0.1米的实际长度相等。还有的把例4中的“0.30元=0.3元”和例5中的“0.100米=0.10米=0.1米”联系起来进行思考后说：如果把两个等式从左向右看，在小数的末尾去掉一个、两个0，小数的大小不变;如果从右向左看，在小数的末尾添上0，小数的大小也不变。此时，笔者重点表扬了最后这位学生观察、分析、归纳推理以及有根有据的思维过程，强化了全班学生不完全归纳推理的思维方法，加深了他们对小数基本性质的理解。

（二）在知识、方法、经验的迁移中学会类比推理

类比推理是根据两个不同的对象之间有一部分属性相类似，从而推出它们在其他属性上也有相类似的思维过程。数学知识的教学，往往需要引导学生将已有的知识经验迁移到新知的学习中，以理解和掌握数学知识。在这样的过程中，教师可以引导学生根据两类问题相同或相似的地方发现本质联系，利用一类问题所具有的属性思考另一类问题也具有的属性，学会类比推理。

例如，苏教版小学数学六年级上册《比的基本性质》一课的教材例题，要求学生计算4个比的比值，并把比值相等的比填入等式，再回答问题：“观察上面的等式，联系分数的基本性质想一想，比会有什么性质？”这是一道典型的用类比推理方法让学生发现新知的思考题。因此，在学生展示交流时，教师应该引导学生根据比与分数除法的关系，由商不变的规律联想到分数的基本性质，进而猜想比的前项、后项同时扩大或缩小相同的倍数，比值不变。这样，既沟通了知识联系，完善了认知结构，加深了对比的基本性质的理解，又学会了类比推理。

除了在知识的迁移中运用类比推理，还可以在方法和经验的迁移中运用类比推理。例如，教学百分数的应用问题时，可以引導学生用分数应用题的解题思路和方法解决百分数应用问题，因为这两类问题有许多内在联系：都要根据单位“1”的量、比较量以及对应的分数之间的数量关系来判断解题方法。

此外，在归纳推理和类比推理的教学过程中，值得注意的一个问题是，必须适当多举一些例子验证，以表示得出结论的普遍性。例如，从12-13=16=12×13，13-14=112=13×14……可以得出“分数减法等于乘法”的规律，但这是特例，只适用于分子是1、分母是0以外的连续自然数的情况。

（三）在数据的收集、整理、分析中学会统计推理

“统计与概率”中的推理统称统计推理，它是一种可能性推理。与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去证实，只有靠事实来检验。小学数学中的统计推理是在新一轮课改中提出来的。而且，教材从一年级起就编有“统计”内容，从四年级起就编有“概率”内容，让学生学习和研究现实生活中的数据信息和客观世界中的随机现象，通过收集、整理、分析数据以及刻画事件发生的可能性，帮助做出合理的决策，从中学会统计推理。培养学生的统计推理能力，必须组织他们小组分工协作，参加收集、整理、分析数据以及推理判断的全过程。

例如，教学苏教版小学数学二年级下册《数据的收集和整理（一）》一课时，先拿出混杂在一起的正方形、三角形、圆形纸片，引导学生提出“各有多少个”的问题，让学生产生对统计策略的需求。通过交流和比较，学生发现打钩的方法既清楚又简便。再让学生练习抛圆片，以及记录跳绳、拍皮球、踢足球、打乒乓球的人数，来感受统计随机事件的不同结果，用打钩的方法比较简便。在学生掌握了统计方法的基础上，引导学生对统计的结果进行分析和判断，让学生说说他们从表里知道些什么，想到些什么。学生有的说：抛圆片向上、向下的次数可能差不多。有的接着说：三（1）班的男生与三（2）班的男生比赛拔河，以前胜负的次数差不多，今天都有可能获胜。有的说：根据喜欢跳绳、拍皮球、踢足球、打乒乓球的学生人数，体育委员可以在课前准备好活动器材，使大家更开心地活动。有的接着说：学校可以决定购买体育器材的数量……这样，学生经过了收集、整理、分析数据以及推理判断的全过程，不仅学会了统计的方法，形成了统计的观念，而且培养了统计推理的能力，形成了分析数据解决实际问题的意识和能力。

（四）在有机渗透中初步培养演绎推理能力

演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则来证明和计算。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第一、第二学段的目标中，并没有提出演绎推理的具体要求，而是要求学生“在观察、操作等活动中，提出一些简单的猜想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，进行有条理的思考，比较清楚地表达自己的思考过程与结果”;在第三学段的目标中，才明确地要求学生“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”。但是，在小学数学教学中，我们也应该注意合情推理与演绎推理之间的密切联系，结合学生的年龄特征和思维水平，有机渗透演绎推理的方法，引导学生尝试说明（证明）猜想结论的正确性，促使学生初步具备有条有理、有根有据的逻辑思维。

例如，教学苏教版小学数学五年级上册《梯形的面积公式推导》一课时，可以先让学生剪出两个相同的梯形拼成平行四边形，猜想梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，再引导学生依据拼的方法，得出拼成的平行四边形的底是梯形的上底与下底之和，拼成的平行四边形的高是梯形的高，进而依据平行四边形的面积公式，得出梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2。

三、在“练习运用”中鼓励推理的综合与创新运用

数学练习的过程不仅是知识、方法、经验巩固运用的过程，更是数学推理综合和创新运用的过程。在教学中，教师应该不断引导学生积极思考，帮助他们逐步形成推理的意识和能力。笔者主要的做法是“一猜、二联、三悬”。

一猜，是指从练习和解法中猜测推理：是否还有其他的解法或应用？例如，教学苏教版小学数学四年级下册“乘法分配律”后，教师出示单元“整理与练习”第11题：

和平路小学四、五、六年级学生人数如下：年级四五六班级数332每班人数454848（1）五年级和六年级一共有多少人？

（2）你还能提出什么问题？

在学生练习后，教师抓住第（2）问，引导学生展示交流，猜测推理。学生首先说：可以求四年级和五年级一共有多少人，运用乘法分配律计算。这时，有学生发问：乘法分配律除了用于加法，是否还可以用于减法？于是，有学生想到：可以求四年级比五年级少多少人，利用（48-45）×3和48×3-45×3计算，结果都是9人;还可以求五年级比六年级多多少人，利用（3-2）×48和48×3-48×2计算，结果都是48人。

二联，是指从练习和解法中寻找新、旧知识之间的联系，进行推理提升。例如，教学百分数的应用问题时，教师出示练习：

工人师傅做120个零件，前3天完成了25%，照这样计算，剩下的需要几天完成？

许多学生按照百分数应用问题的解题思路列出算式（120-120× 25%）÷（120×25%÷3），得到结果9天。这时，教师引导学生把工作总量120看成单位“1”，把原题看成分数工程问题，用“归一倍比”和比例解答，可以列出的算式有：（1）（1-25%）÷25%×3=9（天）。（2）（1-25%）÷（25%÷3）=9（天）。（3）3×（1÷25%）-3=9（天）。（4）设剩下的需x天完成，则3∶x=25%∶（1-25%），得x=9……在此基础上，教师引导学生进一步推理思考，把原有的一些工程问题、工作问题、行程问题都合并成分数工程问题，不仅使新、旧知识充分联系，形成网络，而且简化了解题方法，提高了练习效率。

三悬，是指进一步猜想同类型的知识中是否还有相同或相似的特点与规律，但这些特点与规律因内容所限，需悬而后证。例如，教学苏教版小学数学六年级下册“圆柱侧面积的计算”后，联系“正方体、长方体侧面积的计算”，引导学生进一步猜想正五棱柱、正六棱柱、正三棱柱等的侧面积是不是也等于底面周长乘高。再如，教学苏教版小学数学六年级下册“圆柱体积的计算”后，联系“正方体、长方体体积的计算”，引导学生进一步猜想正五棱柱、正六棱柱、正三棱柱等的体积是不是也等于底面积乘高。此时，学生的认知水平、思维水平可以上升到一个新的层面。而教师必须对学生说明：你们的猜想是合理的，但要在以后的进一步学习中证实。从而为学生的学习留下悬念，促进他们的推理能力向更高的层次发展。

参考文献：

[1] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.