小学数学教学中“逻辑推理”的培养

彭亮 徐文彬

【编者按】推理能力（素养）的培养是数学教育的重要目标之一，也是当下数学教育研究的热点之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“推理能力”作为十个核心概念之一，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“逻辑推理”作为六个数学核心素养之一。本期《热点透视》栏目，集中呈现三篇这一方面的研究成果。

摘要：《长方形和正方形的面积公式推导》一课的教学设计，通过对苏教版小学数学教材内容做一些改编，可以体现“逻辑推理”的两个方面，即合情推理和演绎推理。在小学数学教学中，培养学生的合情推理能力，要注意给学生猜测的空间和可能，让学生对发现进行验证和运用;培养学生的演绎推理能力，要注意渗透说理的方式（演绎推理的基本规范），建立基于逻辑的学习共同体。

關键词：逻辑推理合情推理演绎推理长方形面积公式

陈省身先生说过，学生应该学会推理，推理很要紧，不仅在数学中，在其他学问里也是要用到的。作为培养学生推理能力的主阵地，数学教育的地位无疑是突出的。然而，推理与证明在基础教育中存在着过渡和衔接的问题：在小学阶段，学生主要学习计算，很少涉及严格的推理与证明，教师也很少渗透“寓演于算”的思想。这导致进入初中后，学生学习数学非常吃力。因此，研究小学数学教学中“逻辑推理”的培养不仅具有一定的理论价值，而且是切实改善小学数学教学、提升学生核心素养的一种实践追求。

一、“逻辑推理”培养的一个案例

本文选取的案例是《长方形和正方形的面积公式推导》一课。

（一）教材呈现

苏教版小学数学三年级下册中，《长方形和正方形的面积公式推导》一课内容是这样编写的：通过用1平方厘米的正方形“摆”出不同的长方形（如下页图1），“量”出不同长方形的面积（如图2），让学生意识到长方形的长、宽与面积之间的关系（如图3），从而得出长方形的面积公式，并根据长方形和正方形的关系，得出正方形的面积公式。

由此可见，教材一方面想让学生学习长方形和正方形的面积公式，另一方面想让学生在推导面积公式的过程中感知和体会合情推理。

（二）教学设计

从培养学生逻辑推理能力的角度来看，在教学设计中，可以对上述教材内容做一些改编：

首先，将教材例4（见图1）中的表格改编成表1（“正方形个数”“长方形面积”两列放在前面，“长方形长”“长方形宽”两列放在后面）。教学中，教师可以先让学生用几个1平方厘米的正方形摆出一些不同的长方形，再请几位学生展示自己摆好的长方形;然后，出示表1的前三列，引导学生数出组成长方形的正方形的个数并填入表中，从而得到长方形的面积并填入表中;接着，出示表1的后两列，引导学生算出长方形的长和宽并填入表中。

/cm2长/cm宽/cm第1个长方形第2个长方形第3个长方形之所以进行这样的改编，是因为我们认为例4解决的逻辑思路是先有几个正方形，再摆出长方形，由此可以直接数出正方形的个数，就是长方形的面积，可以间接算出长方形的长和宽。也就是说，这样摆出的长方形，其面积与长和宽没有直接关系——之所以将长和宽列在表格中，是为推出一般规律，即长方形面积公式的特殊例子而准备的。

其次，将教材例5（见图2）中的第一个图作为“第4个长方形”，第二个图作为“第5个长方形”，给教材例5增加一个表格，即表2（“长方形长”“长方形宽”两列放在前面，“正方形个数”“长方形面积”两列放在后面）。教学中，教师可以先让学生量出两个长方形的长和宽并填入表中，再让学生用1平方厘米的正方形量出两个长方形的面积并填入表中。

/cm2第4个长方形第5个长方形之所以进行这样的改编，是因为我们认为例5解决的逻辑思路是先有给定的长方形，由此，量出长方形的长和宽比较简单，量出长方形的面积比较复杂。量长方形的面积时，可能会出现两种情况（假设1平方厘米的正方形是足量的）：（1）将长方形内部摆满，从而数出正方形的个数便是长方形的面积;（2）沿着长方形的长和宽（一行和一列）摆满，从而分别数出（一行和一列）正方形的个数，算出长方形所包含的正方形个数便是长方形的面积。无论如何，此时，长方形的面积依旧是由1平方厘米的正方形的个数得出的，与长方形的长和宽还没有建立实质性联系——增加这个表格，也是为推出一般规律，即长方形面积公式的特殊例子而准备的。

再次，教师可以将填好数据的表1和表2并在一起展示出来，然后用技术掩盖住“正方形个数”这一栏。教师可以说：如果不管1平方厘米的正方形个数，我们看看，长方形的面积、长、宽之间有什么关系呢？引导学生发现、探索长方形的面积与长和宽之间的关系。

之所以隐去“正方形个数”这一栏，就是要向学生传递这样一个信息：作为“脚手架”或“证明中介”的1平方厘米的正方形此时就要完全退出了。

然后，教师可以在学生运用长方形面积公式解决例6（见图3）的同时，让学生用1平方厘米的正方形进行验证，然后隐去1平方厘米的正方形，让学生更为抽象地理解和内化长方形的面积公式。

最后，教师可以引导学生由图4中两个图形之间的关系，从长方形的面积公式推导出正方形的面积公式;在图形变化的过程中，认识到正方形的面积公式是长方形的面积公式的一种特殊情况。

上述改编教材内容后的教学设计较好地体现了“逻辑推理”的两个方面，即合情推理和演绎推理。其中，合情推理集中体现在例4到例6的改编过程中，其核心在于充分展现从特殊到一般的过程，帮助学生得出长方形的面积公式。从合情推理的角度来说，长方形的面积公式只是一个结果，这中间的过程才是学生学习这部分内容时应该习得的数学素养。此外，演绎推理集中体现在由长方形的面积公式得到正方形的面积公式的改编过程中，其核心在于从公认的前提出发，经过合乎逻辑的推导，得出相应的结果。在教学中，需要引导学生通过图形变换的方式来“说明”（其实就是推理或证明）正方形面积公式的由来。

二、“逻辑推理”培养的注意事项

在数学教学中，强调合情推理能力和演绎推理能力的培养，是充分发挥数学育人功能的关键所在;只有强调合情推理和演绎推理的联系与综合，把培养学生灵活运用合情推理与演绎推理解决数学问题的能力放在核心地位，才能真正有效促进学生数学能力和素养的发展。上述案例反映了小学数学教学中“逻辑推理”培养的可能性，也体现了“逻辑推理”培养需要注意的问题。

（一）合情推理的培养

合情推理是小学数学“逻辑推理”的主要形式，而归纳推理是小学数学合情推理的主要内涵。严格来说，归纳推理是科学发现的一种思维方式。数学上的诸多结论都是数学家通过归纳方法得出的，比如费马大定理：当整数n>2时，关于x、y、z的方程xn+yn=zn没有正整数解。合情推理的关键在于猜测、直观，在于从特殊中发现事物存在的一般规律，并加以合理的说明或辩护。合情推理的培养需要注意以下两点：

1.给学生猜测的空间和可能。

一方面，教师应该在需要让学生进行猜测和探索之处给予学生相应的空间。比如，上述案例中，教师提问学生长方形的面积与长和宽有什么关系，即让学生进行猜测和探索，为其发现结果做好铺垫。然而，此时有些教师可能会这样提问：怎样计算长方形的面积更简便？倘若如此，前面的摆和量等操作以及由此得出的表格中的数据都将毫无作用。对于学生来说，掌握长方形的面积公式不是什么困难的事。有些地方的学生甚至不上这节课，也知道长方形的面积公式，并会用其解决问题。我们就曾在听课中遇到过这样一种现象：一位学生从上课一开始就迫不及待地要让老师知道他会长方形的面积公式，并在上课过程中对摆和量等操作的兴趣不大。遇到这样的学生，教师再做上述那样的提问，可能40分钟的课只要10分钟即可上完，但是学生不能从中体会到从特殊到一般的思维过程。

另一方面，教师应该创设学生能够猜测和探索的“最近发展区”，从而帮助学生形成较为合理的发现。比如，教学乘法口诀时，一位教师呈现口诀“二二得四，二三得六，二四得八，二五得十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八”后，提问学生：你有什么发现？仅就这一段口诀的呈现形式而言，有多种可能的发现：有的学生会说“有的有‘得，有的没‘得”，有的学生会说“第一个数字都是二”，还有的学生会说“得数不超过二十”，等等。究其原因，教师在让学生进行猜测和探索时，没有创设“最近发展区”，导致学生无法得到教师想要的结果或较为合理的结果。再如，教学“圆的周长公式推导”时，要让学生感知到周长和直径之间的关系，教师就要通过一些方式帮助学生得到较为准确的数据，否则π的得出会让学生觉得很意外。正如上述案例中，之所以在例5中增加表格，就是要将例4和例5联系起来，从而在后续猜测和探索中，帮助学生进一步明晰长方形的面积与长和宽的关系。如此，学生得出相应的结论，就既较为自然，也符合自身的认知发展水平。

2.让学生对发现进行验证和运用。

一方面，合情推理（尤其是小学数学中最常见的不完全归纳法）的发现需要经过验证（通常是返归特殊）才能保证准确性，这是科学发现必经的环节。上述案例中，将例6改造为学生验证活动的目的即在于此。如果学生仅仅通过表格中的数据得到长方形的面积等于长乘以宽，而没有进行进一步的验证，那么结论的有效性是可疑的。

另一方面，科学发现的结论需要能为日常生产和生活所用，以体现其价值和意义。在教学中，需要设置一些实际生活案例，帮助学生深入体会所得结论的价值和意义。而且，科学发现的结论需要能为科学本身服务，即从这一结论出发得出更多或更具价值的发现。若在后续发现的过程中出现错误，则需要重新思考这一原初发现的科学性，而这便涉及演绎推理。

（二）演绎推理的培养

演绎推理是一种严格的数学推理，并集中体现在中学的几何证明中。因此，部分教师认为，很难在小学数学教学中培养学生的演绎推理能力。虽然严格的演绎推理可能较难在小学数学中体现，但是演绎推理内在的思维方式完全可以在小學数学教学中加以培养。这一思维方式是指在数学观念系统作用下，由若干数学条件，结合一定的数学知识、方法，对数学对象形成某种判断的思维操作过程。换句话说，它是在公认的前提下，通过一系列被认可的推导，得出确信的结论的过程。简单而言，就是“说理”。以此观之，小学数学教学中很多情况下，都可以有意识地培养学生说理的精神。

1. 渗透说理的方式（演绎推理的基本规范）。

比如，苏教版小学数学二年级上册中，《平行四边形的初步认识》的内容是这样编排的：先让学生认识多边形，即有几条边就是几边形;再通过生活实例，帮助学生认识平行四边形。在例题的最后，有这样一句话：“像这样的四边形是平行四边形。”这是对实际生活中的平行四边形和学生动手操作感知的平行四边形的概括，目的在于帮助学生对平行四边形形成抽象的认识。大多数教师一般也都是按照教材的思路来进行教学的。

但是，从培养说理方式的角度来看，若像教材那样，仅仅要求学生说出“像这样的四边形是平行四边形”，是不够的：这样的话，判断一个四边形是否为平行四边形是不需要任何依据的，从而与培养演绎推理能力是相背离的。此处，虽然学生说不出“对边平行”的几何定义，但是教师可以适当地引导学生采用自己的语言描述平行四边形，比如，两个相对边的方向是一样的，两个相对的边是一样长的，等等。其目的不在于让学生精确地描述平行四边形，而在于让学生体会到要说明一件事情，需要一些基本条件，比如，首先它需要是四边形（这是前提），其次它的两个相对的边需要方向一样、一样长，然后就能判断它是平行四边形了。这里，“首先—其次—然后”的过程，其实就是演绎推理的基本规范，即在明确的前提下，通过合理的推导过程，得到相应的结论。

如此方式可以在小学数学诸多内容的教学中渗透。我们常说，要培养学生的数学交流能力。其实，数学交流能力的核心就在于数学逻辑能力。

2.建立基于逻辑的学习共同体。

说理其实是为了说服他人，让他人同意自己的观点。因此，要提倡学生互评，让学生有学习共同体的意识。但是，通常的学生互评的问题在于，评价的学生仅仅注意被评价学生的言语、行为的结果和表现等，极少从逻辑的角度进行评价。当然，这与教师对学生评价的引导有关。因此，教师要有意识地引导学生建立基于逻辑的学习共同体：要求学生在交流的过程中形成合乎逻辑的意识。比如，当某一学生向全班其他学生说明为什么这是平行四边形时，其他学生不仅需要关注他说的结果，更应该关注他做这样的判断的前提是否正确，推理的过程是否合理。

正如上述案例中最后由长方形的面积公式得出正方形的面积公式那样：首先，长方形的面积公式已经得到确认，这是后续推导的前提;其次，将长方形的长“缩短”，变成与宽一样长，此时长就变成了正方形的边长，宽也随之变成了正方形的边长，而长方形的面积公式是长乘以宽，则正方形的面积公式是边长乘以边长。在长期的教学中，若能够不断地让全班学生感知这一过程，慢慢地培养这样一种逻辑推导的过程意识，则全班学生也会逐渐地形成基于逻辑的学习共同体，进而培养他们的演绎推理能力。

由上可见，在小学数学教学中培养学生的逻辑推理能力，大有可为。如果做得到位，不仅能提高学生的数学学习品质和数学核心素养，而且能让学生喜欢甚至爱上数学。因为，“到位”就意味着深入学生的心田，不脱离日常生活中的思维运作：观察、类比、归纳、概括、分析、综合、说理、辩解、质疑……乃至“证明给你看”！

本文系江苏省社会科学基金项目“互联网时代下基础教育教师教学观念的转变与实践研究”（编号：18JYC001）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 张孝达，陈宏伯，李琳.数学大师论数学教育[M].杭州：浙江教育出版社，2007.

[2] 陈枫枫.“长方形和正方形的面积公式推导”教学设计探析[J].数学之友，2015（4）.

[3] 连四清，方运加.“合情推理”辨析[J].课程·教材·教法，2012（5）.

[4] 徐斌艳.数学学科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（6）.