巧用“组合坐标系”妙解复合函数的零点个数问题

浙江省宁波市第四中学 (315016) 蒋亚军

随着浙江省新课程改革的推进，从原来的文理分科到现在的7选3选课走班，随之而来的每年学(选)考对数学高考复习的连贯性产生了不小的冲击，使得数学知识的微专题教学备受关注，微专题以切口小、内容精为两大优势，能够达到针对不同层次学生的精准教学.为此，浙江省宁波市的教研室开展了微专题教学设计比赛，笔者作为参赛选手，现将微专题教学设计整理成文，请同行批评指正！

1.内容分析

复合函数的零点问题是高中数学教学的一个难点，也是高考、模拟考的一个热点,通常以选择题和填空题的形式出现，不仅涉及到函数的各种性质,还蕴含着丰富的数学思想与方法，如函数与方程、数形结合、分类讨论及转化与化归思想,同时还具有“内”“外”两层函数的特殊性,从而增添了解题所需的思维难度.如：

高考试题(2014年浙江省高考理科第14题)

学考试题(2011年11月学考第18题)

已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，记集合A={x∈R|f(x)≤0},B={x∈R|f(f(x)+1)≤0}，若A=B≠Ø，则实数a的取值范围是( ).

A.[-4,4]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,4]

对于这类问题,学生普遍感觉难以把握,本设计试图从复合函数的典型题例着手,归纳出一种通性通法——利用数形结合的方法来解决复合函数的零点个数问题.

就上述两个问题而言，学生已掌握函数与方程的关系、函数的零点、复合函数及分段函数等知识，能利用图形解决一些简单的零点问题；并对函数与方程思想、分类讨论、数形结合及转化化归等重要的数学思想的运用已有了初步体验，但学生对复合函数理解不够深入，特别是带参数的零点个数问题缺乏一定的研究方法和信心.

2.教学策略及目标

本节课的学习是温故知新，先从学生熟悉的复合函数零点个数出发，从代数的分类讨论思想和几何的数形结合的数学思想加以解决，再提出建立一个“组合坐标系”的思想，优化学生处理复合函数零点问题的方法，最后通过含参复合函数零点个数问题，使学生感受到建“组合坐标系”带来的优势.由于本节课始终贯穿数形结合的数学思想，因此利用几何画板的动态演示，让学生更加直观的感受，并希望达到如下的目标：

(1)能利用分类讨论和数形结合的思想解决复合函数零点的问题；

(2)理解和掌握一种“组合坐标系”的建系方法，并能利用这一方法解决复合函数零点的问题，以及含参复合函数的零点个数讨论问题；

(3)体验函数与方程、数形结合、分类讨论及转化与化归等重要的数学思想，培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

3.教学过程

3.1 判断复合函数零点的个数

解法优化：对于复合函数y=g(f(x))，设t=f(x)，则y=g(t)，先建立横轴x正方向向右、纵轴t正方向向上的坐标系xot，作函数t=f(x)的图像.然后在该坐标系左边建立t轴正方向向上、y轴正方向向左坐标系toy，并使y轴和x轴在同一条直线上，两个t轴单位一致.用这种方法建立的坐标系称为“组合坐标系”，利用“组合坐标系”解决这类问题，比通常建两个横轴正方向都向右，纵轴正方向都向上的坐标系，更容易理解掌握.

图2

设计意图:考虑到y=f(x)为分段函数，故可利用分类讨论的方法得到y=f(f(x))+1的表达式，结合函数与方程的关系，求得对应的零点，从而得到解法一.解法二则是通过换元和数形结合的思想，将函数的零点个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题，让学生直观感受.解法三是解法二的优化，将两个坐标系中的图形直接画在一个“组合坐标系”中，再将交点做x轴的平行线，看其与右边图形象的交点，这些交点的个数就是该复合函数零点的个数.

3.2 讨论含参复合函数零点的个数

例2 (2006年湖北高考题)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：

(1)存在实数k，使得方程恰好有2个不同的实根；

(2)存在实数k，使得方程恰好有4个不同的实根；

(3)存在实数k，使得方程恰好有5个不同的实根；

(4)存在实数k，使得方程恰好有8个不同的实根；

求其中假命题的个数.

图3

3.3 与导数结合判断函数零点的个数

例3 (2013年安徽高考题)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，求关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0不同实数根的个数.

解：令t=f(x)=x3+ax2+bx+c，则原方程转化为3t2+2at+b=0，构造函数y=3t2+2at+b=f′(t)，作出图像(图4).因x1,x2是函数f(x)的极值点，且f(x1)=x1，当x1是函数f(x)的极大值时，过函数y=3t2+2at+b与横轴t的垂线与t=f(x)的图像共有3个交点，即方程有3个实数根；同理当x1是函数f(x)的极小值时，此时x1<0方程同样有3个实数根.综上所述，方程不同的实数根有3个.

图4

3.4 反馈练习

1.(2016湖南衡阳一模)函数f(x)的定义域为[-1,1]图像如图5所示，函数g(x)的定义域为

[-2,2]，图像如图5所示，方程f(g(x))=0有m个实数根，方程g(f(x))=0有n个实数根，则m+n=( ).

A.14B.12C.10D.8

图5

3.(2017沈阳一模，2018镇海中学模考，2018广东珠海六校联考题)已知函数f(x)=

A.4B.5C.6D.7

4.(2018年金华十校联考题)已知函数f(x)=2|x-2|+1，对任意实数a,b,c关于方程a[f(x)]2+bf(x)+c=0的解集不可能是( ).

A.{1,3}B.{1,2,3}

C.{0,2,4}D{1,2,3,4}

5.已知函数f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰好有七个不相同的实数根，则实数b的取值范围是( ).

A.(-2,0)B.(-2,-1)

C.(0,1)D.(0,2)

A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)

A.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点;

B.无论k为何值，均有2个零点;

C.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点;

D.无论k为何值，均有4个零点.

设计意图:反馈练习中设计了三类常见考点，如不含参的零点个数问题有1、2、3；含参二次函数复合型零点个数问题有4、5；已知零点个数讨论参数范围问题有6、7、8.

4.教学反思

上述问题的解答，告知我们，求函数零点的值，判断函数零点的范围或零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，往往通过对图形的分析构造两个函数，再利用数形结合的方法进行求解.在这里也要提醒同学们，不能单纯依靠图形得到答案，由于作图的局限性，答案出错且难以发现，如y=x2与y=2x的交点个数是2个还是3个问题(正确的是3个)，再如2014年高考数学天津卷理科第14题：

已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.(答案：09).所以，在解这类问题时，一要做到作图相对要准确；二要做到解方程或不等式的等价性，以及数形相结合的方法来处理这类问题.