一道三角高考填空题的解法赏析

福建省三明市将乐县水南中学 (365300) 罗继淼

一、原题呈现

(2018年江苏卷第13题)在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

二、试题解析

分析：首先寻求a和c的关系，再运用均值不等式或判别式法求解.

解法1(等面积法)：如图1，∵SΔABC=SΔABD+SΔBCD，

图2

解法5(坐标法)：如图2，以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xoy.易求B(0,0),C(a,0),

又A,D,C三点共线，故kAC=kDC.又kAC=

证明：如图3，如果三点共线，那么SΔPAB=SΔPAC

图3

图4

解法7(几何法)：

后续解法：此题若能求出a和c的关系式a+c=ac，则接下来求4a+c的最大值也是有多种方法进行求解的.即有如下解法：

解法3：a+c=ac⟹(a-1)(c-1)=1，则

4a+c=4(a-1)+(c-1)+5≥