基于Pythagorean犹豫模糊集成算子的多属性决策方法及其应用*

张俊芳，张春芳

(1.安徽大学 数学科学学院,合肥,230601;2.中国民航大学 经济与管理学院,天津，300300)

0 引 言

近年来,关于运用模糊理论解决模糊多属性决策问题的研究已引起学者们广泛关注[1-6].然而,到目前为止,Pythagorean犹豫模糊理论和模糊多属性决策理论都还不太成熟,有待于进一步细化和完善.Pythagorean犹豫模糊集[7]是基于Pythagorean模糊集[8-9]及犹豫模糊集[10]而提出的一种新概念,因比传统模糊集更能细腻地描述出客观问题的模糊本质而越来越受到重视.

针对复杂模糊决策信息的混合加权集成算子这一方向,很多专家也做出了努力.文献[11]和文献[12]提出了直觉模糊有序算术平均算子和直觉模糊有序加权平均算子;文献[13]提出了直觉模糊混合加权算术平均算子集成直觉模糊决策信息;文献[14]提出了犹豫模糊有序加权算术平均算子、犹豫模糊有序加权几何平均算子、犹豫模糊混合算术平均算子和犹豫模糊混合几何平均算子.但是关于Pythagorean犹豫模糊集集成算子的研究相对较少,文献[7]研究了Pythagorean犹豫模糊数的加权算术平均算子和加权几何平均算子.随着研究及应用范围的不断深入,如何对Pythagorean犹豫模糊信息进行有效集成和处理已经成为一个非常重要的问题.仅仅依靠文献[7]提出的Pythagorean犹豫模糊集的基本运算法则及一些集成算子已经远远不能满足实际应用的需求.

因此,在上述文献的基础上,首先提出了Pythagorean犹豫模糊有序加权算术平均算子和Pythagorean犹豫模糊有序加权几何平均算子;基于对Pythagorean犹豫模糊决策信息本身及其信息顺序位置重要性的兼顾,随后又提出了Pythagorean犹豫模糊混合算术平均算子和Pythagorean犹豫模糊混合几何平均算子;最后,提出了基于Pythagorean犹豫模糊信息集成的多属性决策方法,并通过智慧医疗评估体系的例子说明提出的决策方法的可行性.

1 基本概念

定义1[10]设X为论域,A={|x∈X}称为X上的一个犹豫模糊集,其中hA(x)表示X上元素x∈A的所有可能隶属度组成的集合.

记hA={h1,h2,…,hl}为犹豫模糊数,且满足条件0≤hi≤1,hi≤hi+1.

为x属于A所有可能的犹豫度的集合.其中,α=为一个Pythagorean犹豫模糊数(PHFN).

定义4[11]设α=∈PHFN,则称

为α的得分函数;

定理1[7,11]设α=∈PHFN(i=1,2).

(1)若s(α1)>s(α2),则α1≻α2;

(2)若s(α1)

(3)若s(α1)=s(α2),则：

(i)当h(α1)>h(α2),则α1≻α2;

(ii)当h(α1)

(iii)当h(α1)=h(α2),则α1=α2.

定义5[7]设α=∈PHFN,αi=∈PHFN，i=1,2,且λ>0,μi=Mαi,vi=Nαi,则有如下定义：

(4)αc=.

定理2[7]设αi=∈PHFN(i=1,2),且λ>0,则：

(1)α1⊕α2=α2⊕α1,α1⊗α2=α2⊗α1;

(4)(αc)λ=(λα)c,λ(αc)=(αλ)c.

2 复杂模糊决策信息的混合加权集成算子

文献[7]提出了Pythagorean犹豫模糊数的加权算术平均算子和加权几何平均算子,并证明Pythagorean犹豫模糊加权算术平均算子(PHFWA)和Pythagorean犹豫模糊加权几何平均算子(PHFWG)均满足单调性和有界性,同时举例说明它们都不具有幂等性.下面给出关于PHFWA和PHFWG的定义:

PHFWA:PHFNn→PHFN

PHFWAw(α1,α2,…,αn)=w1α1⊕w2α2⊕…⊕wnαn，则称PHFWA为Pythagorean犹豫模糊加权算术平均算子,简记为PHFWA算子.

(1)

PHFWG:PHFNn→PHFN

则称PHFWG为Pythagorean犹豫模糊加权几何平均算子,简记为PHFWG算子.

(2)

考虑到PHFWA算子和PHFWG算子仅仅是对Pythagorean犹豫模糊决策信息本身进行加权,但是忽略了这些信息的顺序位置的重要性,基于有序加权平均算子的思想[9],提出Pythagorean犹豫模糊有序加权算术平均算子(PHFOWA)和Pythagorean犹豫模糊有序加权几何平均算子(PHFOWG),具体定义如下：

PHFOWA:PHFNn→PHFN

PHFOWAw(α1,α2,…,αn)=w1ασ(1)⊕w2ασ(2)⊕…⊕wnασ(n)

其中,ασ(i)是一组数据(α1,α2,…,αn)中第j大的元素,即ασ(i)≥ασ(i+1);则称PHFOWA为Pythagorean犹豫模糊有序加权算术平均算子,简记为PHFOWA算子.

(3)

PHFOGA:PHFNn→PHFN

其中,ασ(i)是一组数据(α1,α2,…,αn)中第j大的元素,即ασ(i)≥ασ(i+1);则称PHFOGA为Pythagorean犹豫模糊有序加权几何平均算子,简记为PHFOGA算子.

(4)

例1 设有3个Pythagorean犹豫模糊数,α1=<{0.6,0.8},{0.4,0,5}>,α2=<0.5,0.6,0.7},{0.6}>,α3=<{0.7,0.8},{0.2,0.3}>,w=(0.2,0.3,0.5)是其权向量.

根据定义4,α1、α2、α3的得分函数值分别为

0.295 0

0.006 7

0.500 0

由上可得,s(α3)>s(α1)>s(α2),即α3≻α1≻α2.

根据定义8、定义9,可得：

PHFOWAw(α1,α2,…,αn)=w1ασ(1)⊕w2ασ(2)⊕w3ασ(3)=w1α3⊕w2α1⊕w3α2=

0.696 7,0.785 3,0.618 5,0.655 4,0.700 6,0.693 1,0.721 1,0.756 0},{0.426 5,0.456 0,0.462 5,0.494 5}>.

0.674 6,0.728 6,0.580 2,0.635 5,0.686 5,0.632 5,0.692 8,0.748 3},{0.496 9,0.521 6,0.504 9,0.529 0}>.

由上述可知,PHFWA算子和PHFWG算子仅对Pythagorean犹豫模糊决策信息本身进行加权,但是忽略了这些信息顺序位置的重要性,而PHFOWA算子和PHFOWG算子仅对Pythagorean犹豫模糊决策信息的顺序位置进行了加权,却忽略了这些信息本身的重要性.为弥补这个缺陷,提出基于Pythagorean犹豫模糊决策信息的混合集成算子,这个算子能够同时对Pythagorean犹豫模糊决策信息本身进行加权,也能兼顾它们顺序位置的重要性.

PHFHA:PHFNn→PHFN

PHFHAλ,w(α1,α2,…,αn)=

(5)

PHFHG:PHFNn→PHFN

(6)

3 基于Pythagorean犹豫模糊信息的决策方法

基于Pythagorean犹豫模糊信息的决策问题可以描述如下：

Step1根据实际情况,建立Pythagorean犹豫模糊决策矩阵;

Step2利用定义10、定义11及定理7、定理8集成算子PHFHA和PHFHG,对每个方案进行集成;

Step3 利用定义4求出每个方案的得分函数;

Step4根据得分函数,对方案进行择优.

例2随着卫生信息化的发展,国内已基本建立医院信息系统、影像归档集通信系统、实验室信息管理系统、电子病历、电子健康记录以及医院信息平台、区域卫生信息平台、远程医疗平台等各种信息系统,卫生行业正在进行全新的信息化大发展时代.智慧医疗也是卫生信息化发展的一个重要组成部分,智慧医疗可以有效实现医疗流程规范化,提高卫生服务水平和管理效率.

智慧医疗评价体系的建立可用于综合评价医院的智慧应用和管理水平,指导和促进医疗机构的智慧应用与建设.文献[15]提到,国家智慧医疗评估体系中的3个一级指标分别为：能力(c1)、应用(c2)、成效(c3),其属性权重为W=(0.13,0.75,0.12),最后由专家推荐、评议,对各个指标进行打分,再进行统计处理,最后确定出4所医院的医疗评估指标体系作为候选xi(i=1,2,3,4),且规定权重向量为λ=(0.3,0.2,0.35,0.15).由于专家对同一所医院的医疗评估体系所给出指标值并不相同,因此经过统计处理后的每个候选方案在各指标下的属性值以Pythagorean由于模糊数的形式给出,具体如表1.

表1 专家小组对方案的评价数据

试根据表1中专家决策小组提供的数据,选出最合适的智慧医疗评估体系.

Step1根据实际情况,建立Pythagorean犹豫模糊决策矩阵R=(αij)m×n;

Step2利用定义10 及定理7中提到的PHFHA集成算子,对方案xi(i=1,2,3,4)进行集结;

Step3 求出每个方案对应的得分函数;

表2 各方案的得分函数

Step4 根据得分函数实现方案的排序择优.

由s3>s1>s2>s4可知,4个方案排序为x3≻x1≻x2≻x4,即方案x3是最优的.

4 结束语

在基于前人研究的基础上,首先提出了两种基于Pythagorean犹豫模糊集的集成算子,即PHFOWA算子和PHFOWG算子.为了更好地解决Pythagorean犹豫模糊决策信息环境下的决策问题以及兼顾Pythagorean犹豫模糊决策信息本身及其位置顺序的重要性,又给出了PHFHA算子和PHFHG算子,此外,还给出了这些算子之间的相互关系,最后,提出了基于Pythagorean犹豫模糊信息集成的决策方法,并通过智慧医疗评估体系的选择,举实例说明了该决策方法的有效性和合理性.

提出的基于Pythagorean犹豫模糊环境下的集成算子具有较高的应用价值，为基于Pythagorean犹豫模糊信息的决策问题提供了一条有效途径，这不仅丰富和发展了Pythagorean犹豫模糊集理论，而且为促进其实际运用做出了有益的尝试。