考虑交易费用的具有不确定收益的投资组合模型*

宋慧慧，龙宪军，何 光

(1.重庆工商大学 国家智能制造服务国际科技合作基地,重庆 400067；2.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；3.重庆工商大学 经济社会应用统计重庆市重点实验室，重庆 400067)

0 引 言

对传统的投资组合理论的研究是基于充分的历史数据，用一些预测的方法准确预测未来收益，预测的收益为随机变量。1952年，哈里·马科维茨[1]首先提出了均值-方差模型来研究投资组合，为国内外学者对投资组合的深入研究奠定了基础。以往的投资分析模型，主要以概率论的方法来处理投资中的不确定性，但金融市场有许多不确定性，例如受国家政策、突发事件、国际因素的影响使已有的证券或股票的历史数据失去了原有的参考价值。特别是对一些新兴股票来说，压根就没有或者有很少的数据可供参考,因此原有的方法处理这类问题就非常的困难。2007年，刘宝碇[2]提出的不确定理论是处理这类问题强有力的工具。

刘建军[3]研究了具有不确定收益的新的投资组合优化模型，并设计出新的混合智能算法来解决这一新的优化问题。但是在计算收益时，并没有把投资需要的额外费用，如专家咨询费和股票交易费考虑在内，可能对结果有一定的影响。张晓斌和韩颖[4]研究了不确定风险环境下的投资组合决策模型，模型考虑了专家咨询费用以及交易费用，但在具体处理时将其假设为一个常数，而在实际股票的交易过程中，交易费用往往不是一个常数。因此，分别将线性交易费用和非线性交易费用引入到模型中，分析它对投资模型的影响。通过数值验证了新模型的可行性。

1 不确定理论的相关定理

首先回顾一些基础知识：

定理1 若ε为一线性不确定变量，且服从线性不确定分布L(a,b)，其中a，b都为实数，且a

φ-1(α)=(1-α)a+αb

定理2 若ε为一之字形不确定变量，且服从之字形不确定分布(Zigzag分布)，标记为Z(a,b,c)，其中a,b,c均为实数，且满足a

定理3若ε为一不确定变量，且服从正态不确定分布N(e,σ)，其中e和σ是实数且σ>0，则N(e,σ)的逆分布为

定理4[5]假设一个系统包含不确定变量ε1,ε2,…,εn，并且系统中有一个损失函数L，使得某些特定损失发生，当且仅当L(ε1,ε2,…,εn)≤0，那么风险指标为

Risk=M{L(ε1,ε2,…,εn)≤0}

定理5[6]假设ε1,ε2,…,εn是n个独立的不确定变量，且有正则的不确定分布，分别是φ1,φ2,…,φn，如果函数f(x1,x2,…,xn)相对于x1,x2,…,xm严格递增，相对于xm+1,xm+2,…,xn严格递减，那么不确定变量ε=f(ε1,ε2,…,εn)的期望为

定理6[6]假设ε1,ε2,…,εn是n个独立的不确定变量，且有正则的不确定分布，分别是φ1,φ2,…,φn，如果函数f(x1,x2,…,xn)相对于x1,x2,…,xm严格递增，相对于xm+1,xm+2,…,xn严格递减，若某种特定的损失发生，当且仅当L(x1,x2,…,xn)≤0，那么风险指标为Risk=α，其中α是方程(1)的根

(1)

定理7[5]假设ε1,ε2,…,εn是n个独立的不确定变量，且有正则的不确定分布，分别是φ1,φ2,…,φn，如果函数f(x1,x2,…,xn)相对于x1,x2,…,xn严格递增，那么不确定变量ε=f(ε1,ε2,…,εn)有逆分布，且逆分布为

2 具有线性交易费用的不确定收益的投资组合模型的建立

在投资组合的研究中，为了简化模型便于求解，大部分往往会忽略股票或证券中的交易费用。而在实际的金融市场中，投资交易需要手续费、印花税等一些额外的交易费用，若忽略了交易费用的投资组合往往会对实际收益影响很大，可能会使投资失效。随着投资组合不断地发展，专家学者也越来越重视交易费用对模型的影响，并逐渐把交易费用规范为交易费用函数。交易费用函数有两种形式，线性交易函数和非线性交易函数。1996年，Yoshimoto[7]研究了带有V型交易费用函数形式的投资组合模型，V型交易费用函数为

假定投资者的初始投资为0，考虑到中国的金融市场不允许卖空，则投资比例xi不能为负，则此时V型交易费用函数就可以变为单位线性函数，则线性交易费用函数为:c(xi)=kxi，i=1,2,…,n。假设投资者用c万元进行投资，通过咨询股票专家后，将购买股票A1,A2,…,An，其中专家咨询费为m万元，第i种股票的投资额为xi，εi表示第i种股票的收益率，且εi是独立的不确定变量，且有正则的不确定分布Φi，β表示所能承受的最大风险指数，则损失函数表示为

则具有线性交易费用函数的投资组合模型为

(2)

则由定理5和定理6将模型式(2)转化为线性规划问题为

3 具有非线性交易费用的不确定收益的投资组合模型的建立

(3)

同理，由定理5和定理6可以将模型(2)转化为如下模型：

4 数值实例分析

假设某投资人选择4支新股票进行投资，xi(i=1,2,3,4)表示对第i支股票的投资金额，投资前投资者向3位股票专家咨询并提出4支股票的收益率(权重相同)如表1。

表1 专家给出的股票收益率的分布

则第i支股票的收益率为

由定理1,2,3及定理7可求出收益率的逆分布，分别为

可以计算出目标函数中的收益系数为0.340,0.300,0.265,0.365，我国股票交易市场的交易费用主要是佣金(不超过3‰)和印花税(一般为1‰)[9]，所以设定线性交易费用中的系数k=0.002 5，专家咨询费m=2万元。而对于非线性交易费用，系数a,b会随着交易时期不同而变化，所以借鉴郑希阳[10]确定系数的方法-通过二次拟合和遗传算法随机寻优，设定a=-0.000 1,b=0.005，假设投资者将用100万进行投资，即c=100，且对每支股票的投资额不低于10万元且不高于50万元，当β=0.32时，利用MATLABR2016a分别计算出具有线性交易费用的模型的最优解为(30.32,10,49.68,10)，目标函数值为27.87；具有非线性交易费用的模型的最优解为(31.85,10,48.15,10)，目标函数值为28.09；而不具有交易费用的模型的最优解为(30.21,10,49.78,10)，目标函数值为28.11。由此可见，股票的交易费用对投资组合模型有一定的影响。

假设投资者严格控制投资风险β在0.32～0.34之间，下面利用MatlabR2016a，当β在0.32～0.34之间变化时，计算出2种具有交易费用模型以及无交易费用的模型对应的最大收益期望和4种股票的投资金额，如表2,表3,表4所示。并比较分析3种模型的收益风险关系图，如图1。由表2,表3,表4可以看出，随着风险的增加，收益也逐渐增加，符合“高风险，高收益”的一般规律，从图1也可以看出，3种投资组合模型风险和收益呈现正相关关系，且具有线性交易费用和具有非线性交易费用的模型的图像比无交易费用的模型更加平缓，所以具有交易费用的投资组合模型具有更好的稳定性，值得更加深入的研究。

表2 具有线性交易费用模型的最大风险指数与最大收益期望关系

表3 具有非线性交易费用模型的最大风险指数与最大收益期望关系

表4 不具有交易费用模型的最大风险指数与最大收益期望关系

图1 收益风险相关关系图

5 总 结

研究了具有不确定收益的投资组合模型，并将线性交易费用函数和非线性交易费用函数考虑在模型中，用不确定的相关理论及软件MatlabR2016a求解各个模型的最优解和目标函数值，并将模型进行了灵敏度分析，表明模型符合随着风险的增加，收益也逐渐增加的一般规律，同时表明具有线性交易费用和非线性交易费用的两种投资组合模型比无交易费用的投资组合模型有更好的稳定性。下一步将继续探究当交易费用函数中的参数发生改变对模型的影响以及线性交易费用和非线性交易费用的区别和联系。