空间观念的内涵、特征及建立要点

王强国

（宝应县实验小学，江苏 宝应县 225800）

在小学数学的核心词中，“空间观念”自诞生以来名称从未变更，是教师十分熟悉的核心词之一。但一线的教师似乎更擅长能力的培养，如运算能力等，一旦定位为“观念”，不少教师觉得有些玄乎，从内涵的解读到策略的探寻，因而“空间观念”也成为教师“最熟悉的陌生人”！尽管提出多年，但实际教学效果不容乐观，有必要引起重视，更好地落实相关课程目标。

一、“空间观念”的内涵解读

（一）课标的诠释

教育部《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》认为：“空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转换；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动与变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描绘问题，利用直观进行思考。”[1]

教育部《义务教育数学课程标准（2011 年版）》修改为：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描绘的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描绘图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”[2]

两种表述均从行为表现的角度陈述“空间观念”。“课标实验稿”的内容很丰富，涉及空间想象方面的表现，包括两种转换；动手操作方面的表现：制作与画图；空间分析方面的表现：复杂图形的分解、分析；空间描述方面的表现：描述运动变化、位置关系；用图形描述问题和直观思考，相当于课标的另一个核心词“几何直观”。相比而言，“课标2011 年版”的解释更为精炼、概括，意在突出重点、削枝强干。在空间想象方面，增加了想象方位和位置关系，补充根据特征抽象出几何图形。这里的特征显然是指几何特征，“几何图形”应该包括平面图形、立体图形及其三视图与展开图。两种表述中的“想象”，都是以空间表象水平的再认、再现及联想为主，也都体现出这样的过程：从形象到表象，从表象到抽象，从抽象到形象，引领学生经历完整的“数学化”的过程。

（二）相关的解读

美国新泽西州的数学课程框架认为：空间观念是对于图形和空间的直观感觉，它涉及传统的几何概念，例如对于几何图形的识别、想象、表征、变换的能力；也包含其他的一些非正式的方式去看待二维和三维的空间，例如折纸、变换、镶嵌、对称、投影等[3]。全美数学教师理事会（NCTM）在《学校数学的课程与评价标准》中指出：空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于二维、三维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面[4]。

国内，一些专家学者围绕“课标”中的解释，给出更为学术化的描述。王林全认为，学生的空间观念包含图形的识别与理解能力、图形的分解与组合能力、图形的建构与探索能力、对图形的运动与变换的欣赏和利用几何直观解决问题能力五个基本成分。其中，图形的识别与理解能力是空间观念的基础，图形的分解与组合能力是空间观念得以健康发展的基本条件，良好的图形的建构与探索能力是空间观念发展的标志，对图形的运动与变换的欣赏是空间观念逐步成熟的前提，利用几何直观解决问题的能力是空间观念成熟的标志[5]。刘晓玫认为，小学生的空间观念的成分与要素主要包含轴对称、旋转、方向与位置、视图四个方面，并将小学生的空间观念的发展划分为直观想象阶段、直观想象与简单分析抽象阶段、直观想象与复杂分析阶段三个水平[6]。

二、“空间观念”的基本特征

对“空间观念”的认知，除了对其内涵的深刻理解，还应当关注儿童形成与发展“空间观念”的特征，体现主体与客体的双重推进。实践中，对“空间观念”特征的把握，有助于我们理性地面对教学中的得与失，继而寻找出更为丰富有效的教学对策。

1.直观性

直观性是“空间观念”最基本的特征，也是学生形成与发展空间观念的起点与支撑。“空间观念主要是指根据物体特征……”从其内涵中可见：“形象的建立”与“适度地抽象”是“空间观念”培养的关键。首先，直观性体现于认识图形属性时的选择性层面。对直观性较强的属性学生容易感知，而那些不太明显的属性特征往往会被忽略。如长方形、正方形的各部分名称以及周长与面积的计算容易理解，而对圆的相关概念的理解困难许多，因为前者都是显现的，后者有些则是隐现的，以半径为例，在正式画出前，学生是看不见的，也是难以想象的。其次，直观性表现为解决相关实际问题的思维层面，学生更擅长图文结合类的题型，对于纯文字表述的问题理解困难。最后，“空间观念”的直观性还表现在学生对概念或性质的描述层面。低年级的儿童对图形的描述通常会用日常生活的语言表述，如三角形学生会说成“三角”，正方形会表述为“方块”等。

2.过程性

过程性首先体现于学生的空间表象的建立，研究表明：学生的空间表象不是以他们的空间环境感觉读出的，而是从早些那些环境的活动操作中构造的，他们是依靠经验开始几何学习并逐步形成空间观念的[7]。学生相关经验的积累是一个不断重建的过程。其次，“空间观念”相关内容的编排体现出过程性。以苏教版小学数学教材中的“平面图形”为例，教材分多次教学，低年级重点是从实物中抽象出图形，中高年级完成图形特征的认知以及面积与周长的计算，中间穿插图形的位置转换等知识点，时间维度几乎跨越了整个小学阶段。类似的学生从二维空间进入到三维空间，从平面图到三维图也有一个过程。最后，课程目标的表述方式也体现出“过程性”的特征。“课标2011年版”在空间与图形课程目标的表述中，多使用“经历”“体验”“探索”等词汇，而这些都是描述过程性目标的词汇。

3.迁移性

数学知识的环环相扣与螺旋上升，使得迁移学习普遍存在。“空间观念”的建立中也是如此。一方面体现在几何概念的理解。如长方形、正方形、三角形、圆的周长，虽然在具体叙述时有一定的差异，计算公式有所区别，但本质都是指围成一个图形的所有边长的总和，这为学生后续的理解认知提供正向指引。另一方面，还体现在对几何图形的研究方式上。比如对一个图形的研究我们通常从它的边和角开始。当然，在实际的教学中，由于学生对“直观性”的偏重以及“标准样式”的依赖，我们也要注意“负迁移”的影响，小学数学中主要是二维图对三维图的影响。如“6 根一样长的小棒摆同样的三角形，最多能摆出几个？”学生往往想到的是二维图（图1），想不到三维图（图2）。

图1

图2

三、“空间观念”的教学要点

（一）加强两种直观

1.动作直观

动作直观通过实际的动作达到直观的效果。在小学图形与几何内容中主要包括实验活动（如图形的拼摆、折叠、测量等）与画图两种。实验活动丰富了数学课程的教学资源，关注了小学生的年龄特征与认知特征，是一种行之有效的教学对策，备受追捧。而作为学习几何的常规的直观手段，画图至今没有受到应有的重视。一方面，在小学阶段，“课标2011 年版”关于画图的目标设置比较单一，仅在第二学段提出：在方格纸上简单画图，会用圆规画圆、能画指定度数的角等；另一方面，在教学实践中，画图处于可有可无的地位，“平时用不着、用时想不到”。与实验活动相比，画图是对客观条件要求最低，能够“随身携带”的直观手段。教学中，需要注意以下三点：一是加强画法指导。教者应该将作图方法的讲解纳入教学的流程之中，适时、适度地讲解画法，可结合具体的题型，采用教师的板画的方式，呈现完整的作图过程。二是简化画图的过程。淡化一些形式化的东西，如画图一定要用直尺等，允许学生“画草图”，只要能表达出题意，反映出数量关系即可。三是感悟画图的价值。要精选合适的题型，让学生在问题解决中充分感受画图的价值，注重画图解题的习惯与意识的培养。

2.视觉直观

观察是智力活动的门户，是一种有思维参与的积极的感知活动。对于小学生而言，其观察能力的发展与空间观念的发展几乎一致，主要表现为：从感知强刺激成分到感知弱刺激成分；从认识单一要素到认识要素关系；从熟悉标准图形到熟悉变式图形。[8]视觉直观的呈现方式主要有静态和动态两种：静态的视觉直观价值主要在于提供参照、建立表象；动态的视觉直观则有揭示规律、建立联系等功能。在空间观念培养的教学中，一线教师存在偏静态轻动态的倾向，原因一是过高估计了学生的认知能力，二是动态呈现的前期准备相对繁琐，应该给予纠正。这里的“动态”应该是广义的，可以分为两类：一是多个元素的相互比照。如“长方形与正方形的认识”，教学中，借助方格纸出示两个完全一样的长方形，然后将其中的一个演变为正方形，观察比较两者的异同。二是同一元素的前后变化。如“圆的面积”教学，将一个圆若干等分，拼成一个近似的长方形，推导其计算公式。值得注意的是，无论是静态或动态，在视觉直观的基础上，一定要引导学生比较与归纳，体会其中的变与不变。当然，动作直观中必然有视觉的直观，视觉直观中也常常包含动作直观的成分。实践中，应该紧扣实质：通过直观，丰富学生的几何认知，促进空间观念的形成。

（二）注重两个结合

1.语言与形象的结合

在学生空间观念的培养中，语言是仅次于直观的重要手段。实质上语言是一种用符号表示的有一定法则的形象系统。形象与语言在某种程度上是纠结在一起的，处于一种互补的关系之中。两者的结合，能够促进学生对表象的建立。实践中，一方面要突出口头语言对形象的表征。如“认识三角形”，出示一组图形，让学生判断哪些是三角形。在这个过程中，可以引导学生说说这样判断的理由，以突显三角形的本质特征。值得注意的是，在学生表述的过程中，教师应该恰当指导，适时引入几何语言同化、矫正日常用语。以“平移和旋转”为例，在描述位置关系时，学生的说法可能较多，教者要引导学生表述为：“绕（）点，（）时针方向，旋转（ ）度。”另一方面，要注重书面语言对形象的定性。即出示图形时，要配以适当的文字说明。如“长方形的面积”，出示一组长方形，习惯用语是“求下列图形的面积”，其理由是小学几何是直观几何，允许学生“看出像什么，就是什么”，理所当然但值得商榷，应该准确地表述为“求下列长方形的面积”，有意识地语言介入，会帮助学生逐步摆脱单纯的直观依赖。

2.数值与图形的结合

“数形结合”包含两方面的转化：一是从数量的解读到图形的解读，以形助数；二是从图形的解读到数量的解读，以数解形。小学数学的教学中，前者运用较多，即在图形的辅助下，化抽象为直观，实现规律的寻觅与解法的探究。但在图形与几何领域的教学中，我们既需要对图形以及位置关系等进行定性的刻画，又离不开定量的刻画。在空间观念的培养中，数与形的结合其价值主要表现在以下两个方面：一是降低空间想象的难度。如“面积单位”总复习，有这样的习题：一间舞蹈房的地面面积大约40（ ）。要求在括号里填入合适的面积单位，教学中有一定的难度，个别学生正确填空后，仍然无法确定，因为学生脑中有1平方米的表象，40平方米有多大，即使成年人也不一定能够想象。这时，我们可以进一步丰富数值，根据长方形面积=长×宽，将“40”拆分为两个数的积：40×1，20×2，10×4，8×5，然后引导学生展开想象。二是提升空间推理能力。如“用12 个边长1 厘米的小正方形，拼成一个长方形，有几种拼法？拼成的长方形周长、面积各是多少？”由于数值的参与，题目的内涵深刻许多，在拼组与计算的过程中，学生会发现：面积一定，当长、宽越接近时，周长越小，反之也成立。同样的逻辑在立方体的相关题型中一样具备。事实上，在小学数学的教学中，“数形结合”既是一种数学思想，同时也表现出一定的教学法的意义。

（三）化解两种障碍

1.前概念障碍

生活中，学生对于线、体、面的大小、长短以及位置关系等有着广泛的接触，前概念的影响明显。一方面来源于先入为主的日常生活经验。以“线段、射线、直线”的认识为例，在生活中，线段是学生接触最多的，如物体的边沿等，而射线、直线很少见（尤其是直线几乎见不到），学生很难想象，直线、射线可以无限延伸、无限长，在学生的认知中，只要是直的线就是直线。即使对于线段，所见到的也没有端点，因此，学生经常忘记标记线段的两个端点，无法确信直线和射线的长度无法比较等。另一方面来源于语词带来的曲解。如“角的认识”，在学习这一几何概念前，学生已有的经验是语文学科教学中的“墙角”“桌角”“牛角”“羊角”等，并且学生知道，牛角比羊角大。因而，在教学角的大小与边的长短的关系时，学生困难重重。此外，教学中，标准图形的过渡强化也容易产生干扰，比如“等腰三角形”，教材给出的多为顶角在上、底边水平放置的图形，这样的图示，有利于结合生活经验理解概念（腰、顶角、底角），但过渡的强化，往往使得学生在面对倒立或者斜放的等腰三角形时，无法判断相关概念。面对学生的前概念，教学中，教者应该适时地引入相关几何概念的生活原型，注重变式（形体位置等）练习，在对比中强化概念的教学。

2.知觉障碍

从知觉层面看，以下两种障碍影响着学生空间观念的形成：一是空间识别障碍，是指对物体的形状、长度、高度、大小以及位置关系等的识别障碍。这一障碍也体现出学生空间识别能力发展的阶段性，如小学低年级学生对于比较近的对象有一定的识别能力，而对于比较远的对象识别困难。再如两个大小不同的正方体，起初学生只能进行定量的判断，谁大谁小，随着认知能力与水平的积累，学生逐渐可以进行定量的刻画，大一点还是大得多？两者大约是几倍的关系等。当然，空间识别能力在学生个体发展中具有差异性，有的学生发展得比较快，稍加练习即可，有的学生则需要多次训练、不断强化。二是视觉知觉障碍。主要表现为：不能积极而有效地运用视觉知觉符号与大脑中储存的图式与概念建立联系[9]。如观察长方体，学生会习惯性地猜摩它的原型（是一个什么物品的包装盒）、大小、颜色等。而不能联结“长”“宽”“高”“棱”等概念，无法建立“表面积”“体积”等表象。在面对具体的问题情境时，熟知表面积、体积的计算公式，可能还会十分困难。事实上，知觉障碍不仅存在于学生的学习中，成年人同样具有。教学时，一方面要基于直观也要超越直观，及时地抽象；另一方面，要引导学生经历完整的“数学化”的过程，学会用数学的方式观察思考等，从而巧妙化解上述障碍。

综上所述，“空间观念”的建立有其自身的特征。小学生“空间观念”的培养需要立足生活的原型，也需要一定的想象能力。教学中，应该直面学生的认知障碍，引领学生多种感官的参与，注重教学方式的丰富性，以促进学生“空间观念”的发展与提升！▲