“有为而教”与“无为而教”共济

刘霞

一、想象交流，导入新课

师：有12个完全一样的正方形，如果将它们拼成一个长方形，请大家想象一下，每排摆几个正方形？可以摆几排？

生：（静默想象）

师：能把想象出来的摆法用乘法算式表示吗？

生：（举手回报）

师：（多媒体随机呈现图形和算式）

①12×1=12;②6×2=12;③4×3=12。

师：如果每排摆5个正方形，可以摆几排？会怎么样？

生：（七嘴八舌）

师：（多媒体呈现，每排摆5个，摆两排，剩余2个）拼成的长方形，必须把12个同样的正方形都用上，才可以表示为“12×1=12，6×2=12，4×3=12”。通过这三道算式，大家能发现什么吗？

生：（先同桌讨论，再全班交流）

师：（顺势而为，导入新课）

【评析】执教者先要求学生：“有12个完全一样的正方形，如果将它们拼成一个长方形，请大家想象一下，每排摆几个正方形？可以摆几排？”再引导学生用三道乘法算式表示所想象的摆法，然后启发学生：“通过这三道算式，大家能发现什么吗？”不但增强了学生的空间观念，而且发挥了学生的想象能力，更提高了导入新课的实效。关于呈现“每排摆5个正方形，摆了两排，还剩余2个正方形”的摆法，目的很明显，就是引领学生通过直观比较对整除与非整除略加区别，让学生初步感悟到：倍数、因数是在整除范围内研究。

二、合作探究，進行新课

1. 认识倍数和因数

师：（投影出示）根据6×2=12存在的关系口答：①12是6的（  ）数;②6是12的（  ）数;③12是2的（  ）数;④2是12的（  ）数。

生：①12是6的倍数;②6是12的因数;③12是2的倍数;④2是12的因数。

师：能根据12×1=12和4×3=12，分别说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？

生：（分别叙述）

师：（投影出示）

下列两种说法对吗？如果不对，为什么？

A. 12是倍数;B. 12是5的倍数。

生：（各抒己见）

师：（小结）A的说法是错的，需说清楚谁是谁的倍数。B的说法也是错的，因为12个完全一样的正方形，如果将它们拼成一个长方形，每排摆5个正方形，摆两排，就会有2个剩余，所以12和5之间不存在倍数关系。大家对老师的这一番小结满意吗？

生：（点头微笑，表示满意）

师：（投影出示）分别说一说：在9×7=63和8÷2=4中，（  ）是（  ）的倍数，（  ）是（  ）的因数。

生：（逐一口述）

师：根据乘法和除法算式都可以找到两个数之间的倍数关系或因数关系，这就是我们今天所要学习的“因数和倍数”（揭示课题）。不过，老师得提示一下，倍数和因数是在自然数（零除外）范围内进行研究的。

【评析】 数学教学中，不能让学生沦为被动接受者，也不能让学生沦为被灌输者，应让学生成为消化认知加工信息的主体，即意义建构者。教师不应是传授知识和灌输知识的“专业户”，而应千方百计地扶持、帮助和促进学生进行意义建构。执教者在引领学生认识倍数和因数的过程中，先用填空题让学生初步感知倍数和因数;再用简答题让学生通过“正迁移”进一步感知倍数和因数;然后用判断题让学生辨析、比较、感悟倍数和因数，清除学生的“负迁移”;最后用加深理解题让学生形成倍数和因数的数感，建立倍数和因数的概念。

2. 探究倍数和因数

（1）探究倍数。

师：根据4×3=12，可以知道12是3的倍数。还能找到哪些数是3的倍数呢？

生：（在随练本上写）

师：（有意识地挑选两学生的随练本）甲同学写的这些数都是3的倍数吗？（投影呈现）

生：（评价）

师：乙同学写的这些数都是3的倍数吗？（投影呈现）

生：（评价）

师：甲同学和乙同学都借助了3乘几的乘法算式找3的倍数，然而，谁的写法比较好呢？好在哪里呢？

生：乙同学的写法比较好，他写得有序。

生：像乙同学这样按顺序写，既不重复又不遗漏。

师：（提示）一个数的倍数，一般写五到六个就可以了，还有很多省略不写。下面请大家自己确定一个数，并写出所确定数的倍数。

生：（先独立完成，再全班交流）

师：找一个数的倍数，有什么规律？一个数的倍数有什么特点？请大家先讨论，再交流。

……

（2）探究因数。

师：能找到36的因数吗？

生：（在随练本上写）

师：（有意识地挑选两学生的随练本）甲同学写的这些数都是36的因数吗？（投影呈现）

生：（评价）

师：乙同学写的这些数都是36的因数吗？（投影呈现）

生：（评价）

师：甲同学找36的因数，用了两种方法，一种方法是36除以几等于几，另一种方法是几乘几等于36。而乙同学用的是几乘几等于36的方法，有序且成对地找。谁的找法比较好呢？好在哪里？

生：乙同学的找法比较好，他是成对找的，显得有序。

生：像乙同学这样有序且成对地找，既不容易重复也不容易漏掉。

师：是的，有序与成对相结合，从1开始考虑，找到1和36;再考虑2，找到2和18……下面请大家先写出15的因数，再写出16的因数。

生：（先自主写，再全班交流）

师：一个数的因数有什么特点？请大家先讨论，再交流。

……

【评析】 基于由点到面、由特殊到一般的教学原则，执教者在引领学生探究倍数时，先让学生探究3的倍数，再让学生自定一个任意数，写出自定数的倍数;在引领学生探究因数时，先让学生在随练本上尝试写出36的因数，再在全班交流、评价和比较，然后拾级而上，要求学生写出15的因数和16的因数。基于因势利导、循循善诱的教学原则，执教者在学生找3的倍数和36的因数出现了不同写法时，发动学生“品头论足”，好中选优。基于教师为主导、学生为主体的教学原则，执教者针对“一个数的倍数、因数有什么特点”，大胆放手让学生讨论和交流，凸显学生是学习的主动建构者。

三、思维发散，巩固练习

师：（多媒体呈现）下列说法，对吗？

（1）在19÷6=3……1中，19是6的倍数。

（2）因为16×5=80，所以16和5是因数，80是倍数。

（3）25的最大因数和最小倍数都是它本身。

（4）一个数的最大因数是14，这个数就是14。

生：（逐题明辨是非）

师：（多媒体呈现）从0、1、4、8、24中自选两个数，确认谁是谁的因数、谁是谁的倍数。

生：（自选并确认）

师：大家发现了吗？五个数中有较为特殊的数，特殊在哪儿呢？

生：（发表见解）

师：（多媒体呈现结语）任意一个自然数（0除外）都是1的倍数，1是任意一個自然数（0除外）的因数，倍数和因数一般是在自然数（0除外）范围内研究。

生：（齐读结语）

师：下面我们一起做游戏，我每说出的一个数，如果是你学号的因数或倍数，你就拍拍胸脯。

……

【评析】 明辨是非、自选确认和师生游戏，既能让学生加深对倍数和因数的认识，又能让学生的思维得到发散，更能让学生巩固课上所学的新知。明辨是非，学生会知其然又知所以然。自选确认，学生会领悟到任意一个自然数（0除外）都是1的倍数，1是任意一个自然数（0除外）的因数，研究倍数和因数通常是在自然数（0除外）的范围内。师生“共舞”一起做游戏，会把学生的学习热情进一步激发出来，并把教学活动推向高潮。

四、总评

（1）执教者的“有为而教”。“有为而教”，即教师在教学过程中有所作为，引领学生发现、分析和解决问题。执教者在学生建构倍数和因数意义的过程中，选择合理的教学方法和手段，促进学生知识建构，彰显执教者的“有为”。具体表现：①选取“有意义建构”的策略，助推学生建立倍数和因数的概念。②运用辨析比较的方法，引导学生理解一个数的倍数和因数，如“下列两种说法，对吗？”“谁的写法比较好呢？”“谁的找法比较好呢？”“五个数中有较为特殊的数，特殊在哪儿呢？”将学生的思维引向深入，让学生达到真正意义的自主建构。

（2）执教者的“无为而教”。“无为而教”，即教师在教学过程中对学生能想、能说、能找的，不越俎代庖。学生在探究一个数的倍数和因数时，执教者给学生充足的时间和空间，让学生走到前台，尽情地想、积极地找、主动地说，彰显执教者的“无为”。具体表现：①对于一个数的倍数，是无序写呢？还是有序写呢？对于一个数的因数，是无序写呢？还是有序且成对写呢？均由学生在互动交流中优选。②“一个数的因数的特点”“一个数的倍数的特点”“找一个数的倍数，有什么规律？”都让学生讨论、交流、平等对话，从而无痕地生成出一个数的因数、倍数的特点和找一个数的倍数的规律，进而发展学生的思维。