促进数学思考积累思维经验

朱向明

数学是思维的体操。回顾数学课程目标的变化历程（从“双基”到“三维目标”，再到“核心素养”）可以发现：无论数学课程怎样改革，数学思维始终是数学课程目标的核心。因此，数学课程的重要任务就是促进儿童的数学思考，帮助儿童积累丰富的数学思维经验，让儿童通过数学学会思考。实际教学中，可以从优化数学学习素材、巧妙设计探究活动、注重经验内化反思等方面促进学生展开数学思考，积累思维经验。

[?]一、优化数学学习素材，为数学思考“加料”

数学思维是一个由数学思维材料、数学思维方法、数学思维方式、数学思维观念组成的立体结构。在这个结构中，材料是思维的基础。数学教材作为一种重要的数学学习素材，为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。对数学学习“原料”——教材的研究和使用，主要体现在对例题和习题的优化处理。

1. 突出例题思维张力，促进数学思考

例题是数学教材的主体，是帮助学生建构新知、强化理解的重要载体。它既是教学的出发点，又让学生在亲身经历知识形成的过程中理解数学本质。但受篇幅限制，教材不可能完全展开数学活动，这就需要教师充分挖掘例题蕴含的思维训练点，精心加工例题“原材料”，促进儿童数学思考。

例如，《三角形的认识》一课，苏教版教材（下文举例均为苏教版教材）在例1后安排了“试一试”：让学生从方格纸上给定的4个点中任选3个作为顶点画出一个三角形，再交流有什么发现。教材意在让学生通过画图体会“不在同一直线上的3个点才能画出三角形”。

笔者教学“试一试”时，分了三个层次：首先，在方格纸上提供3个点，让学生用这3个点作为顶点，画一个三角形再交流发现。接着，出示教材的“试一试”，引导学生完成并交流发现。最后，在方格纸上呈现一条线段（突出两个端点），引发学生思考：画一个三角形需要3个顶点，另一个顶点可能在哪里。教师借助动画，不断变化另一个点的位置，让学生在头脑中画出三角形（根据第3个点的位置画出不同类型的三角形）。

上述教学就以例题为“原料”进行了精细加工，通过层次递进的活动促进学生在“画”中展开积极的数学思考，让学生在头脑中形成“三角形”准确的内涵与丰富的外延：第一层次可以体会到“只要三个点的位置确定了，三角形的大小、形状就确定了”;第二层次就是教材意图的体现;第三层次通过变化的第三个点让学生在脑中不断画出形状不同的三角形，形成不同形状三角形的表象，丰富三角形的外延，同时发展学生的空间观念，积累思维活动经验。

2. 突出习题思维张力，促进数学思考

习题作为数学教材的重要组成部分，不仅可以帮助学生巩固新知、形成技能，还可以发展数学思维，促进学生会想问题。但教材在编排习题时，往往受教材篇幅、习题数量、难度及梯度等影响，习题内在的“思维张力”很难体现。为此，教师在教学时，应准确把握习题意图，合理二次加工，变“教材”为“学材”，变“原料”为“猛料”。

例如，认识11～20各数，教材提供了一道习题：让学生看着一把0～20数尺图，从0读到20。笔者分四个层次教学这一题：第一层次——填。将习题中给出的11～20各数变为□，让学生填数。第二层次——读。看着完整的数尺，先从左到右读和从右到左读;再2个2个跳着读、3个3个跳着读、5个5个跳着读。第三层次——比。先找出比10小的数，再找出比10大的数。第四层次——数。从15开始向右数3个数，数到几;向左数3个数呢？如果从15开始向右数6个数，数到几？

杜威指出：思维只是随心所欲、毫不连贯地东想西想是不够的。有意义的思维应是不断的、一系列的思量，连贯有序，因果分明，前后呼应。上述的教学，教师以教材上的一道习题为原料充分彰显“数尺”中蕴含的思维内核，精心组织一系列连贯有序的思维活动，既帮助学生形成完整的认知结构，又发展了数感，也为数的运算积累了思维经验：第一层次打破完整的“数尺”，学生在自主填写中将新知纳入原有的认知结构。第二层次既强化了20以内数的顺序，又丰富了“单数”“双数”的概念。几次跳着读，为2、3、5的乘法口诀积累了思维经验。第三层次的比，让学生体会到“在数尺上，越往右，数越大，越向左，数越小”，进而建立“数序”。第四层次的数，不仅凸显了加法和减法的本质：加法是向后数的策略，减法是向前数的策略;而且扩展了认数的范围，为后续学习百以内的数积累了经验。

[?]二、巧妙設计探究活动，为数学思考“上色”

数学思维是人脑对外部的数学信息的接收、分析、选择、加工和整合的过程。“素材”只是外在的信息，由外在信息成为思维结果，还需要经过一系列的从外感到内化的交互作用过程。要实现这样的交互作用，教师需要跳出知识的层面，从促进学生学会思考的高度巧妙设计探究活动，为学生展开数学思考不断“上色”。

五年级下册教材在《解决问题的策略——转化》单元中安排的一道练习（如图1，求这个图形的周长），此题有三种常见解法：把三个半圆分别相加;把两个小半圆合起来看作一个圆的周长，再加大半圆的周长;直接算一个大圆的周长。后面两种方法都运用了转化的策略。笔者教学此题时，并没有止步于图形周长的计算和转化策略的运用，而是立足发展数学思考、积累思维经验，精心设计了四个层次的活动。

第一层次：解决问题，初步探究。课件出示此题，学生独立思考后小组交流自己的算法，教师组织学生比较：这三种方法，你喜欢哪一种方法？进而明确：求三个半圆的周长和可以转化为求一个圆的周长。

第二层次：变化数据，二次探究。课件出示两个图（与原图一样，变化图中数据，大圆半径变为8厘米和20厘米）先引发学生猜测：每个图形的周长可以怎样算？再组织学生计算验证猜测，进而组织比较：所给的数据不同，在计算的方法上为什么相同，如果所给的大圆半径为R，可以怎样计算这个图形的周长？

第三层次：变化图形，三次探究。课件出示图2（单位：厘米）引发学生猜测：这个图形的周长可以怎样算？学生计算验证猜测的基础上组织比较：在计算周长的方法上和前面的图相同吗？

第四个层次：自变图形，四次探究。教师引发学生想象：如果还是用这种方法求这样的图形周长，那么像这样的图形还可以怎样变？自己尝试设计出一个图形后计算，再和小组同学交流。

教育心理学家加涅把“教”定义为“用来激活和支持内部学习过程的外部事件的安排”，把“学”定义为“由于经验而引起的学习者的知识变化”。数学教学过程即学生思维活动过程的优化，既要注意学习的外部材料的组织，使其体现过程性和探索性，更要重视学习的内部条件即思维内部材料的表征，使其体现条件化、结构化、策略化。在上面四个层次递进的探究活动中，学生不仅体会了转化策略对于解决图形问题的价值，而且有效发展了形象思维、逻辑思维、直觉思维、发散思维和创造性思维。正是思维的培养，才为这样一道普通的习题“上色”，使其变为一次有意义的探究之旅，学生也在不断发现问题、解决问题，在发现问题和解决问题的逐次“探险”中，品尝“上色”数学的“美味”！

三、强化活动体验反思，为数学思考“提味”

在数学教学中存在着三种思维活动：数学家的思维活动（一般存在于教材之中）、数学教师的思维活动和学生的思维活动。数学教学过程就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，掌握数学家思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程。因此，学生是数学学习活动的主体，学生必须通过积极的实践体验和思维活动把数学家的思维结果通过“再创造”转化为自己的思维结果。教学中，教师既要“选料”——选择好实践探究的素材，又要“上色”——安排合理的探究活动，更要“提味”——组织活动体验后的反思，活动不等于经历，经历不等于经验。思维的过程和思维的结果只有经过反刍和回味，才能积淀为数学思维经验，才能提升思维品质。

1. 反思解决问题的过程是否简洁

波利亚在《怎样解题》中，特别强调将回顾反思作为解题的一个重要环节，意在通过反思不断调整思维结构、深化思维层次、提高思维水平，同时在反思中再发现和再创造。例如，学生在解决“图3是一个梯形。那么三角形甲的面积是三角形乙的” 时，多数学生都是按照分别求出甲、乙的面积再用除法计算的思路来解决的。教师引导学生反思：如果梯形的高是22.63厘米，你还能解决吗？从而组织学生反思刚才解决问题的过程，进而寻找更简洁的思路和方法：直接求甲的底是乙的底的就可以了。通过对比反思两次解决问题的过程，可以有新的发现：图中高的长度，对解决本题没有影响，如果把高也参与计算，反而使问题解决变得麻烦。

2. 反思结果是否正确

学生已掌握的知识状况和已有的思维方式，将影响着新的学习和解题思维的展开。在刚开始学习某一数学知识时，一定要准确、全面把握其数学本质，否则，将影响后续的知识应用和思维提升。郑毓信教授也指出：“通过数学学会思维，促进学生积极思考，逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”

例如，“列举”所蕴含的数学本质是有序思考和分类思想。只有在分类和有序的基础上才能做到列举的结果不重复、不遗漏。教学中，教师往往关注的是列举过程的不重复不遗漏，却忽视了列举出每种情况后需要对结果进行反思调整。为此，在本课的练习环节，教师提供了一个问题：小芳有50币、30币和20币三种不同币值的乐学币各1枚，用这些乐学币能换多少种不同币值的奖品？

多数学生是把每类付币方法相加，都认为能换7种不同币值的奖品时，教师及时追问：“果真是这样吗？”引发学生对结果进行反思，从而回顾列举过程，发现不能简单把每类结果相加，而应对各类结果进行比较，发现尽管分类合理，列举有序，但是每一类的结果之间会有重复，以此培养学生思维的灵活性和批判性。

思維主要是靠启迪内省，而不是传授，越是传授得一清二楚，学习者就越不需要思维。教师的任务就是适时提示学生回顾反思，内化活动体验，在“有味道”的反思中体会隐藏在数学知识背后的数学思想和方法，感受数学思维方式的力量，以此积累数学思维经验，优化思维方式，提升思维品质，真正实现学会思考。