例说初中生数学解题反思的教学指导

☉扬州大学数学科学学院 易子晴

著名数学家波利亚曾经提到：数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题以后对问题解决过程的反思与回顾.但现在仍有很多中学教师并没有意识到解题反思对学生的重要性，也很少针对解题过程进行引导反思，许多学生也只知道一味地机械地多做题而不懂得对解题过程进行回顾、反思、总结，致使他们的解题能力没有明显提升.本文主要针对这一现象提出了教师应注重解题反思并适时引导学生对自己的解题过程进行多维度反思.

一、反思对题意的理解过程

学生在解题中遇到的困难之一是对题意的理解，以信息论的观点，“题意理解”就是从问题中“如何获取信息”和“如何加工信息”.

在解题教学中，教师需要引导学生对自己的题意理解中的“获取信息”和“加工信息”的过程进行反思.具体表现为：引导学生去反思当初在理解题意时，对每个已知条件的解读是否正确，是否漏掉了关键信息，是否漏掉了与已知条件关联的知识点（获取信息过程）；每个已知条件是否得到了很好的解释、组织、转化（加工信息过程）.

1.对“获取信息”过程进行反思

例1（新题型）有一架雷达探测仪探测目标位置的结果如图1所示，如果记图1中目标点A 的位置为（2，90°），则其余各目标的位置分别是多少？

①学生错解：可得点B（3.5，30°）、C（-2.5，240°）……

学生错解思路：以点B为例，横坐标是过点B作x轴的垂线的垂足的横坐标，仿佛在3～4之间，应该是3.5，所以横坐标为3.5.

②学生错因：学生没有很好地理解题中横坐标表示的意义，并且已学的“直角坐标系中横坐标”的意义使他们产生了思维定式.

③正解：由图可知，点A的位置为（2，90°），表示点A在第二个同心圆上且在90°的方向上.点B在第四个同心圆上且在30°的方向上，故点B的坐标为（4，30°），同理，点C（4，240°）、D（3，300°）、E（6，120°）.

④引导学生反思：这是一个新定义题目.教师要引导学生发现自己是否没有很好地获取已知信息，是否忽略了题目中横、纵坐标的意义，是否已学的“直角坐标系中横坐标”的意义使自己产生了思维定式……教师要适时启发学生反思：做新定义题时，要抛开之前在书本上学到的基本公式、定理，根据具体题目中的具体定义来做题.

2.对“加工信息”过程进行反思

例2（扬州市中考题）如图2，在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分为面积相等的两部分，则m的值为______.

①学生疑惑：无法判断直线的大致方向或位置，无法将“直线l把△ABO分为面积相等的两部分”这一条件进行转化.

②加工已知信息.信息1“在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，点B的坐标为（0，2）”可转化为点A（1，1）”.

信息2“直线l：y=mx+m（m≠0）”，由于直线表达式的两项中都有参数m，可提取公因数，则将直线方程转化为y=m（x+1）（m≠0），进而发现直线过定点（-1，0），这样就能初步确定直线l的大致方向及确定直线l与线段AB有交点D（如图3所示）.

信息3“直线l把△ABO分为面积相等的两部分”，由于直线l的表达式中有未知参数m，故我们要将“分为面积相等的两部分”转化为“含参数m的等式”形式才能求参数m.因此转化为“2S△BDC=S△AOB”，接下来的工作就是用参数m表示S△BDC.

③引导学生反思：反思教师是如何将题中直线方程进行转化得到大致位置的，反思如何考虑将“分为面积相等的两部分”转化为“含参等式”.

在解题教学中，教师要有意识地引导学生对题意理解过程进行反思.当学生积极主动地配合教师进行反思时，学生反思获得的知识会内化为自己的经验，经验能够被再次调用，从而提高解题效率.

二、反思解题所涉及的知识

在数学解题活动中，会涉及许多数学的公式、定理、定义.教师要适时引导学生在解题中自主调节知识间的分析与转化过程，引导学生在解题后对题目涉及的知识及知识间的联系进行反思、总结，进而帮助他们建构知识网络.

例3（南京市中考题）如图4，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：∠BOD=∠C.

①加工已知信息.信息1“∠C=2 ∠BAD”且要证明∠BOD=∠C，由信息1得即证∠BOD=2∠BAD.

信息2“OA=OB=OD”怎样利用？

方法1：联想外接圆的相关知识（A、B、D三点共圆，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）.

方法2：联想三角形外角的相关知识（延长AO至点E，∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO）.

②引导学生反思：反思与题目相关的知识，反思通过共点三边相等（OA=OB=OD）就能联想到“三点共圆”，反思“要证∠BOD=2∠BAD”，可以联想到“三角形的外角等于不相邻的两内角之和”，反思“一题多解”.

三、反思解题所蕴含的数学思想方法

在数学解题活动中，总会蕴含一些重要的数学思想方法，因此反思数学思想方法成为反思活动的重点之一.教师需要引导学生反思这些思想方法是如何在解题中运用的，它们是否能在其他类型的题目中运用.这样不断地引导反思，有利于学生对数学思想方法进一步理解、领悟、运用.

例4（苏州市中考题）如图5，已知AB=8，P为线段AB上一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°，M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N间的距离最短为______.

①学生错解：如图6，作点M（或点N）关于线段AB的对称点Q，然后连接QN（或QM）与AB交于点H，认为点P在点H时，点M、N间的距离最短.

②学生错因：求最短距离时，学生惯用“作对称点”的方法来解题.此时，学生的思维定式影响了解题过程.

③正解：最小值还能利用函数的思想方法来求解.

根据信息1“AB=8，P为线段AB上一个动点”可设AP=x，则PB=8-x，如图7，连接PM、PN，接着可用x来表示线段PM、PN的长度.

信息2“点M、N分别为两菱形对角线的中点”，则∠MPN=90°，再利用勾股定理进一步表示MN的长度，最后通过函数求最值.

④引导学生反思：反思“作对称点”的方法适用于哪种题型，此题（点P、M、N都是动点）为什么不能用此方法，反思利用函数思想求最值问题.

四、反思解题的思考过程

教师要引导学生在数学解题活动过程中或结束后，努力回忆解题的全部思考过程，回忆自己是怎么理解题意的，怎么运用知识的，怎么进行知识点的转换与变形的；回忆自己的思路与老师或者同学的思路之间存在哪些差异，走过哪些弯路，为什么会走弯路，有什么经验可以吸取.引导学生进行这种全方位的反思，有利于培养学生的反思习惯，有利于使学生获得解题经验并提高解题能力.

五、结语

数学学习离不开解题活动，解题活动亦离不开解题反思.解题反思能帮助学生更好地理解问题、总结问题、得到经验，进而提高解题质量.当然，除了上述解题反思角度，教师还可以引导学生反思错题、反思一题多解等.因此现代教师必须了解解题反思的重大意义，在课堂上积极帮助、引导学生对解题活动进行多方位反思.久而久之，学生会乐于通过解题反思来帮助自己形成批判、创造性的思维，从而实现波利亚曾指出的“掌握数学意味着什么？这就是善于解题.不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题”的境界.