“多变”的一线三等角——一节变式教学课的教学策略研究

☉广东省深圳市观澜第二中学 王振鑫

☉广东省深圳市龙华区教育科学研究院附属学校 张 璇

一线三等角是初中几何教学中一种常见的数学模型，其本质是在一条直线上有三个相等的角.初一阶段，学生初识全等三角形的判定时，常见的是有三个直角的顶点在同一条直线上，而随着难度的不断增加，这个角可以是直角，也可以是锐角和钝角.有的题目中，需要对不完整的模型通过添加辅助线的方法构建一线三等角，这便需要学生在掌握基础模型后，能够熟练辨析这其中的“变”与“不变”.笔者将结合一节广东省初中数学交流研讨课的执教内容，谈谈通过类比、转化等数学思想的培养，让学生感受专题学习的方式和方法.

一、模型呈现，知性明理

1.固化模型，引发思考

例1如图1，在△ABE中，∠ABE=90°，AB=BE，AC⊥CD，DE⊥CD，你会得到什么结论？如果改变条件：AB≠BE，你又会得到什么结论？

解析：从题目中发现，在图中有三个直角，且这三个直角的顶点C、B、D在同一条直线上，这是典型的一线三等角模型.由于AB=BE，易得△ACB和△BED全等.若AB≠BE，此时△ACB和△BED相似.而题目中的难点便是如何找到除了直角相等以外的角相等.

2.旋转变式，激发兴趣

变：如图2，如果将图1的模型通过旋转变化，此时能够得到哪些结论？

解析：通过旋转变化，转到图2的位置，使得三个角沿着某条直线错开（即在直线的异侧），引发学生的思考，此时如果AB≠BE，能有相似的三角形存在吗？如果继续旋转到特殊的位置，如图3，此时变成了相似中的常见模型——“子母”型，但其本质还是一线三等角模型.通过不断旋转，进一步加深学生对模型的意识，为接下来继续变式奠定基础.

3.角度变化，加深模型

变：如果将上述的直角进行变化，变成锐角、钝角、任意角，（如图4和图5）结论是否仍成立？

分析：在这个过程中，尽管角度不断发生改变，但是其中永远不变的是这三个相等角的顶点都在一条直线上，这便是这个题目的核心.在图4和图5中，与图1模型相同，其找角相等的方法也一样，以 图4 为 例：∠C=180° -∠2 -∠CEA，∠DEB=180°-∠1-∠CEA，由于∠1=∠2，则∠C=∠DEB，此时会得到两个三角形相似.图6是图3的角变换模型，具体找角相等的方法和图3一样，同样可以得到三角形相似.

设计理念：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：几何直观主要指利用图形描述和分析问题，可以把复杂的问题变得简明、形象，有助于探究解决问题的思路，预测结果.教师通过模型化例题让学生感知模型的特点和本质，通过简单变式加深学生对模型的理解，这对接下来通过添加辅助线深入探究一线三等角模型奠定了基础.

二、模型应用，联想构造

1.由45°联想的一线三等角模型

例2如图7，已知反比例函数的图像经过点A（3，4），P为该函数图像上一个动点，若∠POA=45°，则点P的坐标为________.

解析：构造一线三等角，过点A作AB⊥AO交OP的延长线于点B，过点A作x轴的平行线DA，过点B作BC⊥AD于点C，此时构建一线三等角模型，根据全等三角形的对应边相等可以得到点B的坐标，进而求得直线OP的解析式，将直线OP的解析式与反比例函数解析式联立，解方程组便可求出此时点P的坐标.

反思：此题中，出现45°角，引发学生思考，我们常见的什么样的图形中出现45°的角？等腰直角三角形.如果本题能够像图1那样构造等腰直角三角形就会解决问题，那么此类问题就可以总结为：45°→构造等腰直角三角形→构造“一线三等角”——全等，如图9所示：

此种45°角的核心问题就是准确作出垂线，作垂线的方法有很多，但只要保证45°角在直角三角形中，那此时就会构建等腰直角三角形，为构建一线三等角模型奠定基础.不同的构造方式如图10所示：

在作垂直时，可以从不同的顶点作垂直，但核心是包含45°角，而从45°角出发的一条直线（即三点共线的“线”）可以是水平的，也可以是斜的，最终转化为从45°角的端点作“线”的垂线，构建基本模型.

三、模型巩固，识别应用

一线三等角模型在中考中经常应用，如何能够准确识别该模型并能够构造模型则考查学生学以致用的能力，因此教师在上课时应该对比各类习题，加强和巩固学生对相关模型的识别和巩固.笔者以近7年来深圳中考题目中该模型的应用为例.

题1：（2017深圳12）如图11，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，有下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE·OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，其中正确结论的个数是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

构造模型，如图12.

题2：（2016深圳12）如图13，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.其中正确结论的个数是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

构造模型，如图14.

其他年份深圳中考题构建模型前后对比：（题目略）

从上述例题构造模型前后的对比，可以发现试题中所出现的复杂几何图形往往是我们所熟悉的基本图形的整合，由若干个基本模型融合而成.这需要教师在教学中引导学生分析题目本质，关注和提炼基本模型，对分析问题和化繁为简的能力培养有很好的促进作用.纵观深圳中考题，每年都会涉及一线三等角模型，此题目通常出现在深圳的压轴题位置，通过综合性试题的设置来测量学生对知识点的掌握度和综合分析能力，这是命题者所关注的，而教师要善于培养学生的“火眼金睛”，去挖掘、去发现这样的一些基本图形，往往通过对这些基本图形的探讨，对综合题目进行有效分解，可消除学生对综合题的畏惧心理，提高问题解决能力.