建立表象感知属性——《认识直角》教学片断与解读

宋煜阳

（本文作者系朱乐平名师工作站“一课研究”组成员）

在数学史上，“角”是一个具有多重属性的几何概念。小学教材中，涉及到角的属性主要有三种，分别是“质”“量”和“关系”。“质”指的是形状和特征；“量”指的是大小；“关系”指的是两线之间的关系。对直角来说，“质”的属性表现为直角的表象，“量”的属性是指“90 度”，“关系”的属性反映两条直线的垂直关系。二年级的《认识直角》一课不涉及“量”的属性，主要落实“质”的属性，也涉及到“关系”属性，如找生活中的直角、平面图形中的直角，在本质上都是反映两条线之间的垂直关系。

通过前测访谈笔者发现，尽管多数学生听说过直角，但对直角的认知基本停留在“直直方方”“一横一竖”的表象上，对三角尺中的直角、非水平方位的直角、直角的大小都不清晰。为此，本节课的主要学习目标是形成直角表象，感知直角“质”的属性并初步感知“关系”的属性，集中反映为建立标准角和运用标准角描述。依据学习目标，在教学设计中就要通过比一比、转一转、折一折、拼一拼、画一画、找一找等大量操作活动，加强概念的变式与运用，力求掌握直角“质”和“关系”的属性，形成正确的直角表象，建立标准参照意识。

【教学片断与解读】

一、抽象归类，说说对直角的直观印象

1.出示钟面、剪刀、国旗三幅图，组织学生找角，抽象出相应的角（如下图所示）。

回忆：它们有什么共同特点？

生：每个角都有一个顶点，两条边。

2.将后面四个角圈在一起（如上图），观察讨论：这些角有什么特点？

生：直直的、方方的。

师：这就是今天要认识的一类特殊的角——直角。

【解读：钟面、剪刀、国旗三幅实物图，相应抽象出钝角、锐角、直角三类角，回忆复习了角的一般特点，紧接着将国旗中不同方位引出的四个直角进行归类，组织学生观察直角的特点，通过“直直的”“方方的”等直观描述，初步感知了角、直角之间的一般与特殊的关系。】

二、观察比较，发现三角尺上的直角一样大

1.出示教师教学用的一副大三角尺，观察讨论：这两把三角尺上有直角吗？你能指一指直角吗？（学生指认）

2.教师不断转动三角尺，观察讨论：你还能找到这把三角尺上的直角吗？（学生指认）

3.观察讨论：这两把三角尺上的直角一样大吗？（多数学生认为不一样大，部分学生认为一样大）

（组织学生将两把三角尺的直角重叠比较，进行点拨，发现两把大三角尺虽然形状不同，但尺上的直角一样大）

4.观察讨论：找一找自己三角尺上的直角，指给同桌看，并和同桌比一比，三角尺上的直角一样大吗？（学生通过操作发现，小三角尺上的直角是一样大的）

5.观察讨论：老师这把大三角尺上的直角和你们小三角尺上的直角一样大吗？

生：不一样大，老师的大，我们的小。

（组织学生将大小三角尺用重叠法进行比较，发现大、小三角尺上的直角还是一样大）

6.观察讨论：猜一猜，北京小朋友三角尺上的直角和我们三角尺上的直角一样大吗？

生：一样大。

总结：不管是大的三角尺还是小的三角尺，不管是国内的三角尺还是国外的三角尺，所有三角尺上的直角都一样大。

【解读：本环节中通过不断旋转三角尺，组织学生指认同一个直角，感知到不同方位直角的形状，从而不断丰富直角三角形的表象。在角的初步认识中，“角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关”一直是难点，对于直角来说也是如此。学生习惯于用形的大小决定角的开口大小。针对这一难点，本环节分别安排了两个大三角尺上直角的比对、学生之间小三角尺上直角的比对、大小三角尺上直角的比对等多次实证活动，逐步帮助学生接受“虽然三角尺有大小，但所有的直角开口是一样大的”这个数学事实，体会标准角的统一性，同时多次感知了直角这个标准开口，有利于形成正确表象。】

三、工具判断，认识直角的开口是一样大的

1.提供《学习单》，判断下面哪些是直角？这些直角有什么不同和相同的地方？

生 1：1、3、5 不是直角，2 和 4是直角。

师：你是怎么想的？

生1：1号角太小了，3号角太大了，5号是斜的，不是直的。

生2：我认为5号也是直角，把练习纸转一下，它就变直了。

师：前四个角大家一眼就看出来了，但遇到像5号这样用肉眼很难判断的时候怎么办？

生：用三角尺量。（学生示范，教师指导：顶点对顶点，一条边对一条边，完全重合就是直角）

师：这几个直角有什么相同的地方？又有什么不同呢？

生：都有一个顶点两条边，都与三角尺上的直角一样大。

2.2.3 选择其他护理专业相关职业 有受访者表示不会局限于选择高校或临床工作，会考虑与专业相关、能力能得到体现和提升的工作或创业。B：“我可能会开一家健康管理中心这种类似的机构。”G：“我可能不想局限在学校或医院，想去比如世界卫生组织、跟艾滋病相关的那些机构工作，可能不完全属于护理，希望自己得到提升或者发展空间比较大的那种环境，能力得到体现和不断提高。”

生：边的长短不一样，开口方向也不一样。

小结：这些直角虽然边的长短不同，开口方向也不同，但是它们的大小相同。

2.学具操作变式，感悟直角的变与不变。

●操作一：利用叠合的直角学具进行旋转，黑板上板贴不同方位的直角学具。

观察讨论：调皮的直角动了起来，旋转后这三个角还是直角吗？

组织学生用三角尺对方位变化后的直角进行验证，发现这些角的确是直角。

操作一 操作二

●操作二：将直角的一条边拉动，黑板上板贴。

观察讨论：现在这两个还是直角吗？

生：不是直角。

质疑：为什么刚才变出来的都是直角，现在却不是了呢？

生：刚才只是开口方向变了，开口大小没有变。现在开口变了。

小结：不管怎么转，只要直角的开口大小不变，转动后它依然是直角；如果直角的开口变大或变小，它就不再是直角了。

【解读：《学习单》中提供了不在水平方位的直角，引起肉眼无法判断的冲突，产生用三角尺比对的需求，使学生认识到三角尺上的直角不只是一个直角，而且是衡量其他角是否为直角的参照标准。在直角变化的两次操作对比活动中，学生将直角的大小聚焦到开口大小这一本质上来，有效呈现了直角“质”的属性。】

四、寻找直角，感受两条直角边所在线的关系

1.找身边的直角。

（1）观察讨论：在我们的身边你能找到直角吗？

（2）观察讨论：你能用手势比划一个直角吗？

同桌间互相用三角尺验证。

2.猜直角，数直角。

出示图1，观察讨论：老师画了一个角，可是被云朵挡住了，你认为它是直角吗？

电脑验证后延长直角的两条边（图2），观察讨论：现在你能找到几个直角？

生：4个。（组织学生指认）

出示图3，观察讨论：现在有几个直角了呢？

生：8个。（组织学生指认）

3.寻找直角路线。

出示下图，思考讨论：小红从家里出发，怎么走经过的路线可以成一个直角？

【解读：检验学生是否正确建立了直角的表象，关键在于学生能否调用直角表象进行描述，为此本环节安排了多维活动进行体验。“找身边的直角”活动既有静态的物体表面直角材料，又有动态的手势直角比划。“猜直角，数直角”活动首先进行观察估计、工具验证，接着将直角边延长形成四个直角，让学生感知到两条线相交会形成直角，最后在正方形内数直角，都围绕两条线段之间的位置进行直角判断思考。寻找直角路线活动，既有标准的直角路线，又有变式的直角路线。一系列寻找直角的活动，既是对直角表象的巩固，又是对直角“关系”属性的呈现。】