聚焦算法多样归类追溯算理——三年级《两位数乘两位数》思考与教学

吴恢銮

【课前思考】

研究学情，可以帮助我们深入了解学生的“前状态”和“潜状态”。所谓“前状态”，主要是研究学生在学习新知识前已有的个人经验、学习新知识的需求和学生群体之间的差异；所谓“潜状态”，主要是研究学生在新知识学习中的可能状态，如学生在解决两位数乘两位数过程中可能出现的算法的丰富性程度，它们所反映出的学生思维可能存在的层次性差异，以及可能存在的困难和障碍。

三年级学生学习两位数乘两位数，我们可以追问这样两个核心问题：两位数乘两位数，学生已有的逻辑基础在哪里？学生的现实困惑在哪里？设计问卷调查时，可以把核心问题细化为两个具体问题：学生能独立研究出几种两位数乘两位数计算方法？学生对两位数乘两位数竖式计算困难在哪里？

按照正常的教学进度，笔者选取了使用浙教版新思维《数学》教材的三年级70名学生进行调查。需要强调，该教材是在学生学习了乘法结合律和分配律后，再借助长方形面积模型来学习两位数乘两位数的，而其它同时期的教材还没有学习乘法结合律和分配律，它们是基于乘法意义来理解两位数乘两位数笔算算理的。还需要补充说明的是，本次调查的样本来自于城市学校，该校教学质量在该城区名列前茅。

表1 学生解决两位数乘两位数的计算方法统计表

竖式计算 70 42 60.0%30×12-5×12 70 12 17.1%（10+10+5）×12 70 2 2.9%25×20-25×8 70 2 2.9%25×（4+8） 70 2 2.9%25×（6×2）或25×（2×6） 70 38 54.3%25×4×3 70 46 65.7%5×（5×12） 70 26 37.1%十字交叉相乘 70 2 2.9%

通过对上表分析可知学生已经具备了算法多样化的基础，教学重点在于梳理这些算法背后的算理；可以引领学生从乘法运算定律的角度对各种算法进行归类分析，提高思维的深刻性和灵活性。

表2 学生两位数乘两位数竖式计算与算理理解统计表

上表给教学带来的启示是：要加强点子图、横式计算和竖式计算每步之间的沟通，从具象到抽象，再从抽象到具象，加深算法与算理之间的联结性理解。

【教学内容】

一、研究前置，多元选择

研究内容：25×12的计算方法。

研究要求：以下有两张学习单，选择一张最适合自己的学习单完成研究任务。

学习单 A：计算 25×12。

要求：你打算怎么计算，请详细地写出计算过程。还有不同的计算方法吗？有几种就写几种。

学习单B：学校举行列队表演，共有12行，每行25人，有多少人参加表演？

要求：可以先在图上圈一圈，再写出详细的计算过程；也可以先写出计算过程，再在图上圈一圈每一步的含义。

收集全班学生的作品，并完成对学生作品质与量上的数据分析，为课中学习提供学情支撑。（具体数据见课前思考的表1、表2）

【设计意图：研究前置，可以给学生充足的解决问题的时间和空间，同时又可以作为学情的“微调查”。待学生作品收集上来，可以全面地解读每位学生个性化的计算方法，探寻学生的思维过程，为课中师生、生生开展深入交流奠定基础。】

二、聚焦算法，追溯算理

1.呈现多样算法。

任务一：你想出了几种计算方法？分别用到了哪些知识？

任务二：哪些计算方法你没有想到？现在你能看懂吗？

2.全班交流算法。

第一类：拆分为两数之积运用乘法结合律的计算方法。

生：（出示算法①）我把12拆分成4×3，然后先算出 25×4等于 100，再算 100×3等于 300。

师：把12拆分成4×3，组块来计算，很不错。你能从点子图中找出25×4这部分吗？100×3呢？（根据学生回答演示点子图分割过程）

师：想一想，在这里用到了哪些知识？

生：在这里我用到了乘法结合律。

师：是的，在这个拆分过程中，用到了一个重要的思想方法：把两位数乘两位数转化为两位数乘一位数，也就是把新知识转化为旧知识。大家再从剩下的七种计算方法中找一找，哪些方法也是用这种转化思想的？

生：算法③和算法⑥。

第二类：拆分为两数相加或相减运用乘法分配律计算的方法。

师：（出示算法⑧）同学们找出了与算法①计算方法相同的算法③和⑥，但我觉得算法⑧也很像，也出现了小括号，为什么不把它归为一类呢？

生：这里不是把12拆成两数相乘，而是把12拆成两数相加的。

生：应用的是乘法分配律不是乘法结合律。

师：真有一双会分析的数学眼光。你能从这点子图中找出各部分的含义吗？

生：（学生上台指着点子图）25乘10就是先算出每行25人，10行是250人；25乘2就是每行25人，2行是50人。

师：在这里把12拆成了两数相加，然后运用乘法分配律，把两位数乘两位数转化为两位数乘整十数和两位数乘一位数。你们为什么不把12拆分成9加3，而是10加2呢？

生：10加2计算时更加简便一些。

师：在转化新知的时候，还要考虑它的简便性。

师：（出示算法②）有些同学是用竖式计算的，你觉得它和横式有共同的地方吗？谁愿意来先介绍一下竖式是怎么计算的？

生：坚式也是先算2乘25，得到50，再算10乘25，得到250，第二步只要把5写在十位上就可以了，个位0可以不用写，然后再把两部分加起来。

生：我有一点补充，第二步的“25”的5一定要写在十位上。

师：补充的很好，请大家一起思考：（1）竖式第一步中的“50”，代表点子图多少行的人数？（2）竖式第二部中的“25”，代表点子图多少行的人数？（3）这里的“50”和“25”谁大谁小？为什么？（学生回答略）

师：观察点子图、横式和竖式计算，它们之间有什么联系？

生：竖式中的50，在横式中就是25×2，在图中就是表示2行的人数，竖式中的“25”，在横式中就是25×10，在图中就是表示整10行的人数。

师：两位数乘两位数横式计算和竖式计算有什么相同的地方？

生：它们都是把12拆成10加2，都用到了乘法分配律。方法一样，只是形式不一样。

师：找一找，和算法②、⑧计算方法类似的还有哪些？

生：算法④和算法⑤。

生：我觉得算法⑦也一样的。这里也用到了乘法分配律。

师：我们回到点子图去找一找各部分的含义，再判断是不是用到了乘法分配律。谁能结合点子图来说一说？

生：我是这样想的，先假设每行是30人，那就是30乘12，因为每行多算了5人，所以要减去5乘12。（教师根据学生的叙述动态演示过程）

第二，通过双学位联合培养项目可以丰富学生的人生阅历，开拓学术视野，优化知识结构，提高实践能力，同时加深校际的交流与合作。

3.比较异同。

出示：第一类：①、③、⑥

第二类：②、④、⑤、⑦、⑧

师：我们把这八种计算方法，分成了两类，大家观察一下，每一类的计算方法有什么共同的地方？第一类和第二类有什么不同的地方？第二类五种方法又有什么不同的地方？

师：这八种方法，你喜欢哪一种？为什么？

生：我喜欢竖式计算，感觉它是万能的。

生：我觉得如果能转化25×4这样的整百数，其实也是简便的。

生：哪种方法好，还要看数据特点。

4.更一般的计算。

（出示：23×19）

师：刚才哪些方法还适合计算23×19？请你选择合适的方法试一试。

生：这两个数都不能拆成两个数相乘了，所以我把19拆成了10+9再来计算。

生：第一类的方法都不合适了，可以用第二类的方法来计算。

生：用竖式方法肯定可以。

师：请大家用竖式计算23×19。

（分析错例，巩固竖式计算，进一步内化算理）

【设计意图：展示八种典型的计算方法，然后选取最具代表性的两种计算方法①和⑧，借助点子图，让学生自主分析每种算法的依据与策略，从拆分方法、运算律、转化思想三个角度，进行了追溯分析，抓住了数学本质。然后安排学生寻觅与①和⑧相同的方法，引领学生对八种典型算法进行归类讨论，使学生认识到两位数乘两位数众多的算法，其实就是两类：一类拆成两数相乘，用乘法结合律完成运算；一类拆成两数相加或两数相减，用乘法分配律完成运算，而竖式计算与横式计算道理都是一样的，只是形式上不同而已。最后通过算式23×19，聚焦竖式。至此，学生完成以两位数乘法计算为载体，经历了算法的分析、辨别和算理的反思、应用的过程，发展了运算能力。】

三、应用练习

师：我们班一位同学用这样连线的方法计算出了25×12的结果。请问，你到底是怎么计算得到的呢？请向大家更加详细的介绍一下。

生：我是想用25的5和12的10相乘得50，然后5和2相乘得10；再用25的20和12的10相乘得200，然后20和2相乘得40，再加起来就是300。

师：我们借助点子图来演示一下他刚才介绍的计算方法。

师：我们也可以借助表格来理解他的计算方法。

师：其实这位同学在计算中也是应用到了乘法分配律，这样的乘法分配律在初中整式乘法中会经常用到，有兴趣的同学课后可以再研究，当然也鼓励大家课后去收集更多更有趣的两位数乘两位数的计算方法。

【设计意图：展示一位学生的“十字交叉相乘法”，目的不在于让每位学生都掌握，而是为了拓开学生的思维视野，引发学生探究兴趣，也为今后乘法分配律在整式乘法中的应用积累一点基本经验。】