问题促发思维，复习水到渠成——“一元二次方程的复习”的教学与设计

☉浙江省宁波市海曙区田莘耕中学 姚立婧

章末复习课作为一章的结尾，必须促成学生思维的自发点，让学生自己梳理知识框架，自然地整理本章所要掌握的知识点、需要解决的主要问题、渗透的思想方法，以及自我存在的问题等，这样才能改变以往复习课中以“练”带“引”、以“题”带“思”的常规复习方式，让复习水到渠成.本文以“一元二次方程的复习”为例，聚焦问题引领，探索复习课的自然生成.

一、课例呈现

环节1：引入课题

活动1：出现题目“一元二次方程的复习”（PPT）.

师：同学们，数学是思维的体操，而思维是由质疑和问题开始的，大家看这张PPT，猜测一下老师会从哪里入手来复习一元二次方程？

生：（齐）一元二次方程的定义.

师：那定义是？

生：（齐）①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

环节2：巩固一元二次方程的定义

活动2：请结合定义将下面不完整的题目设计完整.

下列方程中是一元二次方程的是（）.

师：结合定义观察，哪些是一元二次方程？若不是，请说明理由.

生1：A不是，等式的右边是分式，不符合定义.

生2：B不是，方程展开后为x2+6x+8=x2，x2左、右两边抵消，所以是一元一次方程.

生3：C是.

生4：我反对，C没有明确a是否为0，因此不能确定.

师：（追问）那b、c呢？

生：（归纳）判定一个方程是否是一元二次方程，要根据定义，特别要注意二次项系数a≠0，与b、c的值无关.

师：能在D选项补充一个一元二次方程吗？

话音刚落，学生相继举手，教师请其中的四名上黑板写出他们的一元二次方程.四个一元二次方程分别是：①x2=1；②；③2x2+6x=1；④x2+x+1=0.

环节3：巩固一元二次方程的解法

活动3：选择合适的方法完成上述四个方程.

四个学生继续解答自己所列方程，其余学生同时完成这四个方程.

师：（追问）你选择什么方法解这个方程？

生：（归纳）①是形如x2=a（a≠0）的方程，用直接开方法；②是形如A·B=0的方程，用因式分解法；③可以化成二次项系数是1的一元二次方程，然后用配方法，也可以用公式法，公式法是“万能方法”；④可用配方法，得出，无解.

师生细细聆听，个别学生订正修改.

师：实际上是通过“降次”的方法，把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.

师：（追问）对于④，不解方程，能否判定它无解？

生5：可以.用根的判别式Δ.Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，无解.

师：你能概括根的判别式和一元二次方程的根的关系吗？

生6：b2-4ac＞0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；

b2-4ac=0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；

b2-4ac＜0⇔方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.

生7：一元二次方程的根与系数也有关系：

如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么

教师满意地点头，同时指出生7所说的内容是书本上的选学内容，学有余力的学生可以尝试掌握！

环节4：巩固一元二次方程的根的判别式与根的关系

活动4：尝试用一元二次方程的根的判别式与根的关系编一道试题.

学生纷纷尝试，来黑板上展示他们编写的试题.以下选取有代表性的试题：

①4x2-4x+3=0（不解方程求方程根的情况）；

②x2-（k+3）x+k=0的根的情况；

③kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

④若α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则的值是多少？

教师惊喜于学生的表现，他们出的试题涵盖了这个知识点的方方面面.

师：大家出的试题很棒！现在请大家说一说以上四题的解题思路及注意点.

生8：①②③差不多，只要算一下根的判别式“Δ”就行.对于④，先把通分，得到然后用公式就能算出答案.

生9：③有陷阱，要分类讨论：k=0，k≠0.

生10：③虽然有陷阱，但这个题不用分类讨论，因为题目已经指出“有两个不相等的实数根”，所以它肯定是一元二次方程，因此k≠0.

师：（追问）能否把这个题改编一下，让它需要分类讨论？

生11：只要把③中“有两个不相等的实数根”改成“有实数根”就行.

师：限于时间关系，课堂上就不完成具体解答了，请同学们课后完成解答过程.

环节5：巩固一元二次方程的应用

活动5：数学源于生活又服务于生活，那么一元二次方程又能帮助我们解决怎样的实际问题呢？

生12：销售问题，增长率问题，面积问题，动点问题……

师：你能用一元二次方程编一个实际应用问题吗？

学生再次尝试，合作完成此题，以下选取一组有代表性的试题：

增长率问题：华为手机发展迅速，凭借着强大的科研能力和全面发展的战略，目前已经稳坐手机厂商第一的位置，据统计，2017年底销售量为2亿台，预测到2019年底，销售量可以达到2.88亿台，求平均每年的增长率是多少.

销售问题：某商场销售一批华为手机，平均每天可出售30台，每台赚500元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定降价销售，如果每台手机每降100元，商场平均每天可多售2台，若商场平均每天要赚8800元，手机应降价多少元？

面积问题：为了配合新款的华为手机，外包装厂重新生产了它的盒子.现准备在一张长40cm、宽25cm的长方形硬纸板上，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示的无盖纸盒（盖子另外设计，图略）.若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？

教师再次肯定学生的实际应用能力，归纳：问题情境—建立模型—模型解答—回归实际情境.

环节6：梳理一元二次方程知识脉络

活动6：尝试整理本章的知识框架.

学生归纳、补充整理得到整章的思维导图.

二、课例反思

怎样的问题引领才能促成学生思维的触发点？

1.问题的设计建立在学生原认知的基础之上.

“问题是数学的心脏，有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力.”因此，如何设计问题对数学教学的展开和数学思维的促发有极其重要的意义.

活动1中，教师出示课题“一元二次方程的复习”引发学生思考，基于学生对本单元复习的疑问点，以学生的真实问题为目标引领，回顾一元二次方程的概念，由问而思，引发学生的思维发展，激发学生的问题意识.

活动2中，教师创设基于学生思考空间的问题情境，学生通过对一元二次方程定义的深刻理解，分享自己的解题经验，暴露自己的解题障碍，在一问一答及辨析中凸显问题的矛盾点，再一次深刻理解一元二次方程的定义，并就自己的理解列出符合定义的一元二次方程.学生亲历知识形成的内在联系及蕴含的数学思想方法，体现了数学课程标准中“观察—理解—辨析—建构”的认知过程.

2.问题的驱动设置在学生的“最近发展区”

问题能驱动学生思维，引导学生主动而有深度地学习，因此问题设计应始终以学生为本，设置的起点应在学生的最近发展区.

活动3以活动2为起点，顺应学生思维发展，打破常规复习课先复习知识点后解题的复习策略，变“被动”为“主动”，激发学生的复习欲，让复习课成为学生知识内化、方法再建、思维提升的平台.

活动4在掌握一元二次方程的基本解法的基础上，充分提升学生现有的水平，在学生的最近发展区帮助他们解决认知矛盾，促使学生的问题向已有水平转化，把知识、经验与问题解决进行有效对接，在教学过程中回溯学生的探究原因，不断升华学生的最近发展区，并最终构建成完善的知识体系.

数学问题解决最终目的是学生能灵活运用已有的数学知识和方法解决生活实际问题.活动5就是让学生联系实际，继续开放性地引导学生自己提出问题，同伴解决问题.这种编拟问题的成就感会触动学生的深度思考，放逐思维的空间，最终达成既定的教学目标.

建构主义认为：知识的获得在于学习者本身能否根据自身经验去建构对自己有用的知识体系，而不取决于施教者讲授的内容.本节介绍的章末复习课，更多地关注学生如何“学”、如何“思”，关注学生自己钻研、领悟和感受的过程，让学生在亲历亲为中，享受问题促发思维、理解真知的快感.