“分式”章起始课教学研究

（江苏省扬州市江都区浦头中学）

目前，在教学过程中，教师淡化教材章头图的作用，轻描淡写，甚至不予处理的现象仍然存在.怎样在章起始课利用章头图，使学生形成对本章所学内容的整体感知，引导学生从“见木”转向“见林”，搭建章节内容的学习方法，让单薄的章头图散发浓浓的数学味道呢？笔者结合苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“苏科版教材”）八年级下册第十章“分式”的内容，阐述章起始课的教学立意，并给出教学建议与思考.

一、“分式”起始课教学设计

1.发现

问题1：用代数式表示图1中“？”线段的长度.

图1

问题2：现有一些糖果要分给回答问题的学生，平均每名学生能分到几块糖果？

教师设问：解决问题2需要知道哪些量？如何表示？假设有甲、乙两种糖果，甲种糖果有a块，乙种糖果有b块，回答问题的男生有4人，女生有m人，平均每名学生能分到几块糖果？

【设计意图】问题1承接教材的序言，在学生已掌握的用字母表示数、整式加减乘法运算的知识技能储备处“播种”，使学生初步感知解决现实问题时产生的数式和两个整式相除的运算；通过问题2，进一步丰富和发展学生用字母表示数的意识，在设元中产生整式运算需要进一步完备的迫切需求.

2.探索

数学实验，小组合作，辨析形式.

一个信封中有六张卡片，每张卡片中各有一个式子.六张卡片中的式子分别为2，x，m2，5，a+1，π.活动规则如下：（1）每组4名学生共同完成游戏；（2）甲同学从信封中抽取一张卡片；（3）乙同学再从信封中抽取一张卡片；（4）丙同学用甲、乙抽出的两张卡片上的式子组成形如的式子，并贴到黑板上；（5）丁同学负责代表小组发言.

问题1：组成的形如的式子中哪些是你熟悉的？你能类比已学知识给它们命名吗？

【设计意图】上述数学实验在开放的实践活动中激活教材呈现的知识，在异同中比较、感知整数相除与整式相除的区别和联系.通过分母不为0的限制条件，为整式相除时，分母出现字母的“另类”辨识提供了分类的标准，在数与式的融合中从特殊走向一般，为分式概念的自然生成寻找生长点.

问题2：刚刚接触的分式和分数的形式类似，对照小学阶段学“分数”时的内容（分数乘法，分数除法，分数的意义和性质，分数加法和减法），类比想一想“分式”这一章节可能会学习哪些内容？

【设计意图】引导学生对照分数对分式进行命名，并启迪学生对比小学学段分数的学习内容，自主思考分数的学习内容是否可以迁移到分式，从而解决“学什么”的问题.类似地，通过问题2，引导学生思考分数的性质运算能否迁移到分式，为“怎么学”做铺垫，同时渗透类比思想.

问题3：分式是否具有类似分数的基本性质呢？

观察思考：取M个宽为am、长为bm、面积为10 m2的长方形，重合长方形的长，拼接成如图2所示的大长方形，如何用不同的式子表示b？

图2

追问：将如图3所示的长为am、宽为bm、面积为10 m2的大长方形沿长所在边折叠，分成N个小长方形，如何用等式描述边长b不变的现象？

图3

教师小结：分式具有类似分数的基本性质.

问题4：分式可以运算吗？

观察思考：根据面积拼图，你会用含a的代数式表示图4中的c+d吗？

图4

追问：将图4的活动材料改成面积分别是Pm2,Qm2的两个矩形拼图（如图5），则怎样表示c+d？

图5

师生总结：同分母分式是可以相加减的，运算方法与分数类似.

【设计意图】该环节中，教师采用学生熟悉的情境，借助面积拼图求矩形边长，将学生已经掌握的整式运算的内容，结合数形结合思想方法顺向夯实，使学生初步感受到同分母分式可以进行加减运算，其运算方法类似于同分母分数的加减运算.在教学中，教师引导学生尝试知识的迁移，促使学生产生探究欲望，进而引发学生思考：异分母分式的加、减、乘、除运算也可以类比分数来学习吗？

3.应用

教师出示教材章头图中的问题情境：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一.

如果货车的速度为akm/h，客车的速度是货车速度的2倍，那么：

（1）货车从北京到上海需要多少时间？客车呢？

（2）从北京到上海货车比客车多用多长时间？

（3）已知货车从北京到上海比客车多用6小时，你能用方程描述其中的数量关系吗？

针对学生所列式子，教师预设如下问题.

问题1：所列出的代数式是分式吗？

问题2：和以前学过的哪种运算比较类似？

问题3：类比异分母分数的加减运算说说应该怎样计算？

问题4：分数通分、约分的依据是什么？类比分数的基本性质说说分式的基本性质.

问题5：是我们学过的整式方程吗？

问题6：方程中有分母，我们该怎样处理？

问题7：将去分母后，就转化为什么方程？

问题8：结合前面所学知识猜想“分式”一章可能要学习哪些内容？

师生活动：（1）学生合作解决问题1至问题8；

（2）比照如图6所示的苏科版教材七年级上册“一元一次方程”一章的编写目录，引导学生借助去分母感受转化的数学思想方法.

图6

（3）教师呈现如图7所示的将要学习的“分式”一章的编写目录，验证猜想.

图7

【设计意图】以上环节中，教师始终引导学生类比分数来学习分式.在学生以为已经掌握章节学习内容，思维“疲惫”时，教师通过问题5～7呈现式子的变化，引发学生思考方程的变化，经历数与式的变化过程，感受分式学习章节与分数的拔高之处，再次引导学生将知识从“陌生”向“熟悉”转化.同时，教师借助题组将整章将要学习的内容在梳理中完成知识网络建构，凸显章起始课要解决的三个问题，即为什么学？学什么？怎样学？在符合模型发展的过程中达到“既见树木，又见森林”的目的.整个活动过程借助分数和一元一次方程，让学生在类比中体验分式的学习过程.

4.感悟

问题1：随着生产与生活的需要产生了数，用字母表示数之后就有了代数式.如图8，观察数系和代数式的发展与扩充，和大家交流你的想法.

图8

【设计意图】通过数系的扩张与代数式的发展过程，让学生知道为什么要学习分式；通过初中数学知识编排结构图让学生了解分式的发展方向，并从中领会类比的思想方法；通过数与式的类比，引导学生感悟我们研究某些数学对象的一般套路.

问题2：你还有怎样的疑惑？还有怎样的思考？

【设计意图】采用开放性小结激发学生的发散思维，促使学生产生有一定广度和深度的总结，为后续详细研究分式做好铺垫.

二、章起始课的地位及教学建议

1.起始课发挥统领章节整体结构教学的功能

基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，多个版本的教材在每章的开头都有章头图和章引言，以两者作为一章的起始.章头图和章引言常为本章要学习的知识要点和思想方法做铺垫，或者展现本章知识的前后关联，知识发生、发展的顺序，通过实际应用凸显章节知识的必要性，或者传递学习方法，形成整体的学习套路.

以“分式”一章为例，教师如果忽视章头图的统领功能，在教学中只是照着教材讲，组织学生学习分式的概念，大量训练分式有无意义和列出分式等习题，这应该是比较低级的应试课型.由于学生没有明白运算发展的规律，之前学习分数、解方程等知识积累而来的研究方法和基本套路等都没有得到应用.这种割裂、分散的被动学习，使得学生的学习停留在碎片化的单一层面，难以形成整体能力，并加以创新运用.

基于以上认识，为挖掘教材章头图的潜在功能，在教学“分式”章起始课时，可以从学生已有的研究经验出发，通过数学内部和外部的情境解决“为什么学”；在分数、整式、一元一次方程的基础上引导学生感知“学什么”“怎么学”；通过问题驱动，辨析新、旧知识的相同与不同处，感悟类比思想.

布鲁纳曾提出，学习任何一门学科，主要是使学生掌握这一学科的基本结构，同时掌握研究这一学科的基本态度和方法.我们以案例实践的模式推进结构主义教学理论的学习，遵循章起始课“为什么学”“学什么”“怎样学”的主线结构，通过对章头图的开发利用，让章起始课在结构教学中发挥统领功能.这就需要教师重视章起始课的教学，把章起始课与教学本章的第1课时区分开，坚定“怎么教”比“教什么”更重要的观点，立足于先行组织者的整体学，以单元为例构建完善的数学知识结构并掌握研究问题的基本方法；从自己先学，到学校教研组统一学，借助“一人一课”等校本教研机会推进章起始课的教学研究，利用章头图素材的教学，为学法形成，素养积淀提供可能.

2.章起始课的教学价值在于其内容为这一章的先行组织者

奥苏贝尔指出，先行组织者是指安排在学习任务之前呈现给学习者的引导性材料，它比学习任务具有更高一层的抽象性和包摄性.在学习新知识之前，章头图通过简洁明了的图文，借助引导性材料粗线条地勾勒出本章节要学习的内容，在创设问题情境时，顺应学生的知识储备和认知结构，用已学过的方法去解释、整合、联系当前学习任务中出现的新疑问，激发学生产生积极探究的欲望，用疑问点燃思维的火花，在新、旧知识中达成“非学无以致疑，非问无以广识”的心理预期状态.

以上述“分式”章头图为例，教师以面积问题呈现当两个整数相除，且不能整除时产生分数，从特殊向一般过渡，即当整数与字母相除，字母与字母相除时如何用式子表示.这样的式子如何类比分数来命名？它的学习内容与之前分数的学习相同吗？分数的性质运算是否可以类似地迁移到分式？等等.教师通过这些疑问引领学生充分感知学习新知的必要性.接下来，教师围绕行程问题设计问题串，引导学生主动建构章节内容的框架示意图，就思维的最近发展区进行变式追问，从而解决“学什么”的困惑.以“同分母分式如何学”为例，以点带面阐述类比分数学习分式的学法本源.

章起始课的教学，教师既需要在备课时思前，即结合章头图呈现问题，回顾已学过的知识点，融入新变化，在问题解决中激活学生的学习动机；又需要在授课时顾后，即在新、旧知识相同与不同处精选设问，搭建新知内容框架的“脚手架”，让章起始课在学而生“疑”、思而破“疑”的氛围中悄然发挥先行组织者的作用.

3.起始课的教学设计在于把握适时、适度、适量的原则

有学者认为，章起始课的教学要把让学生明确本章内容研究的基本套路作为重要的教学目标.可见，章起始课具有为新知的教学铺路，并兼有统领全章的功能，教师需要适时创设合适的问题情境演绎好“前概念”教学.目前的教材大都独立成章，前后章节的跨度较大，这就需要教师克服章头图教学可有可无的想法，摆正章头图的位置，从学生已有的知识储备处，结合生活实际适时抛出新问题，让课的伊始阶段为整章学习奠定基石.

若教学时，教师将章头图一带而过，这就混淆了单元教学的整体建构与局部单一学习的教学目标.教师若要在知识网络处整体适度设计，需要将其立足于框架与结构的构建，立足于思想方法的渗透，立足于已有经验的优化，立足于对将要学习的新知识的观念改变的促进，而不是知识点的表述.教师可以围绕新、旧学习内容的相同与不同处，选取章节最为重要的核心思想方法，适量介绍怎么学，窥一斑而知全豹，让学生感受本章数学知识的发生、发展过程，加深学生研究本章核心问题的基本套路的意识.

例如，上述“分式”一章的案例中借助数式运算，教师逐个出示数系的发展过程，类比数系的扩张揭示式子的发展方向，让学生从式子不够表示了，到数学体系的完备性，感受本节课所学知识的内在价值，使学生充分感悟分式能表示许多整式不能表示的数量关系，从分式向外扩张形成宏观代数式体系，到内在微观的知识建构，类比方法的运用顺势而成.教师若把握好教学设计，精挖教学思想的主线，在完成课时显性知识的教学过程中，就能将策略性知识渗透贯穿其中，使得教学具有灵魂，提升课堂的思想性和厚重感.

章起始课的教学应该从激趣起航，向形成学生积极的、有意义的学习心理迈进，站在宏观的视角领略章节的概貌全观，整体把握教材；教师在授课过程中，要遵循学生的认知能力和知识储备，螺旋上升，引领学生经历知识的发生、发展过程，感悟其中蕴涵的数学思想方法，在实践中实现“根据学生已有经验，并使之不断丰满”的理念追求.

三、结束语

教无定法，章起始课的教学模式可以多样化.教学时间也可以灵活处理，是选择章头图单独成“课”，还是嵌入到新一章的首节新授课中，或者把它分解到更多的常态课中，或者在章起始课的开头呈现，还是在结尾探究，这需要教师结合具体章头图和章节特点，按照“用教材教，而不是教教材”的理念，在理解教材、理解编者意图的基础上，基于学情做出进一步的探讨和研究.

跳出热议的章起始课，思考章中课、章末课的课型，追求整体的单元教学，并思考：怎么教整体？如何教关联？教师需要重视章起始课，在教学中关注学生对于前后知识关联性和整体性的理解程度，引领学生了解知识的发生、发展过程，了解研究数学的方法，在知识的理解和迁移中形成创新应用.对于不同内容的章头图如何组合教学，优化思维品质，建构知识体系，形成学习方法，在“以生为本”的生成课堂中陶冶生命情操，应该是广大教师需要进一步探索和研究的课题.