关注数学隐形知识促进理解

朱晓勇

摘 要：线和角是图形与几何的基础知识，它们是构成平面多边形的主要元素。四年级的线段教学，线段不仅仅是教学的起点，引入端点的知识从而确认线段的长度有限性，从没有端点的讨论去开启射线和直线的认知大门。文章就“线段”的内涵和外延、“隐形”线段的引入以及课堂形态的构建进行了相关探讨，以期为提高数学课堂教学效果提供一些参考和借鉴。

关键词：小学数学;教学艺术;隐性知识

近日，笔者参加市级优质课评比，课题是《线段、射线、直线和角的认识》，在评比结束后的五天内，笔者接到各种信息，但自己的思维却处于混沌状态。赛后经过一段时间的沉淀和反思，笔者略有所得，故记之一二，以期争鸣。

一、此“线段”还是彼“线段”吗？

（一）线段再认识

四年级学生认识的线段还是在二年级时所认识的线段吗？从认识对象上看答案是肯定的，从数学概念的本质属性看依然如此。但是，从小学生认知线段的形态看，即从概念的外延上看，還是吗？也许不是也许是。如此看来，四年级的线段认识该有新发展。

二年级上册的数学课本对线段的定义：“拉紧的一段线，可以看作一条线段。”显然，那时的认知，线段是直直的线，而对端点的认识是非常浅显的。

在开始认识到物体的边是线段时，小学生对线段的长短感觉既是现实的，也是直观的、具体的，再后来，随着对“测量”和“长度单位”的进一步学习，从微米、厘米、分米到米、千米的学习，尤其是认识千米后，小学生对线段长短的认识已经无法停留于一种直观的现实感受，也许这时学生们的头脑中已经闪过这样的念头：最长的线段有多长？它有终点吗？

（二）线段的端点认识

于是便有了讨论线段端点的需要。四年级上册的数学课本对线段的定义为：“一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看成线段。线段有两个端点。”笔者惊叹于教材如此及时地点明了四年级线段教学的第一个教学要点——端点。

一条直直的线，有了两个端点，线段终于在学生的头脑中呈现了一个完整的身姿。毫无疑问，认识线段的端点，不仅仅在于需要给予线段一个完整的身姿，而在于这里的端点是从线段认识通往射线和直线认识的钥匙。而从线段到射线和直线认知突破的关键就在于从有限到无限的一种极限数学思想，在这里，端点就是这个思想的有效载体。

（三）完善线段知识

至此，笔者做个小结：

关于四年级的线段教学，教师要认识到，线段不仅仅是教学的起点，它本身就是一个再认识的主体，其中端点认识是核心。端点的认识要从学生对已知线段的长短序列建构开始，重现学生对线段长短极限的疑问，这样就真正产生了后续认知的起点。

端点的引入虽然起始于线段长短极限的疑问，需要在具体的、直观的物体的边的起点和终点设定开始，并逐步引导学生想象线段的起点和终点的情形，从而确认线段的长度有限性。最后，从没有端点的讨论去开启射线和直线的认知大门。

二、隐形的线段，需要认识吗？

四年级的学生能想到三角形中的高也是线段吗？四年级的线段教学，教师需要引导学生寻找看不见的线段。生活中诸如黑板边、桌子边、书边都可以看成线段。还有哪些东西的边可以被看成线段呢？线段是直的，可以量出长度。这样的认知储备肯定不足以给学生后续学习提供完全的认知需求。

比如：在长方形ABCD中，长边AB是长，短边BC叫宽。这样，就需要学习：为了表述方便，可以用字母来表示线段，如线段AB。

比如：在认识三角形的的时候，要认识三角形的高。而在通常情况下，三角形的高确实存在，却又是隐形的，这时候的认知，需要想到一种合理存在却又看不到的线段。又如长方形、正方形等图形的对角线，平行四边形和梯形中的无数条高等，这些隐形线段的知识，是否需要纳入本节课的学习中来呢？

细细想来，如果要认识到平行四边形中有无数条高，首先要认识到线段是由无数个点组成。也许这样的认知对于小学生来说过于复杂，但后续的学习却需要这样的认知准备，对于隐形线段需要种下一棵认知的种子。

再如：在计算多边形面积的时候，各种不同位置的等长线段之间数值关系的转换就是线段之间的平移和旋转。那么，是否可以将线段的认知和已学的“图形的运动”结合起来呢？

这样看来，四年级线段的学习不再是一个简单的重复过程。该内容的学习，已经不能停留于原先的学习。基于这样的认识，笔者认为：对于学生来说，最有意义的学习不仅是将已知的生活经验和认知活动完善成一个知识体系，而且更需要提升、发展到后续学习所需求的水平上来。从某种角度讲，教学目标的确定，更多来源于后续学习的需求。

三、三角形中的角还是角吗？

1. 学生的困惑

笔者在完成《角的认识》的教学后，有几位爱思考的学生围着笔者问：三角形的角是角吗？教师此时可以清楚地知道学生的思考逻辑：由一点引出两条射线所组成的图形叫作角，而三角形的角是由一点引出了两条线段，所以三角形的角不是这里所说的角。

教学需要传道解惑，而教学却经常让学生不断地产生困惑。对于线段是射线或直线的一部分的教学，教师很少提及，这样自然让学生在学习后续的中角、平行线、垂线在图形解读时产生各种困扰。

2. 困惑的消除

在教学中，如果教师预设线段和射线、直线关系的认知点并实施于教学活动中，主动地将三角形的角和这里的角进行辨析，相信学生对从属关系概念的性质特点会有一个比较成熟的认识。

事实上，教学预设不仅仅关注学生的疑惑，还有许多经验值得关注。比如本节课的过一点画线、过两点画线、学生的画图规范等需要教师加以指导，直线的性质需要教师加以解读。更要注意的是，在后续的学习——三点画线、四点画线、N点画线构成了一个数形结合的训练学生思维的系列题组。笔者认为，一个系列题组有必要做实这样过点画线的教学点。

四、就这样静悄悄地教学吗？

小学第一学段的数学课堂热热闹闹，第二学段却相对静悄悄地进行教学，笔者对此深有体会。

小学第一学段的几何学习从认识立体图形开始，然后逐渐认识平面图形，再认识角以及平面图形的边的长短测量解构平面图形，最后学习计算长方形和正方形的周长和面积。这是一个从整体到局部的结构式认知过程。在这一阶段，学生没有几何知识基础，但有生活经验，教学就是将学生的认知形成共识，成了一种几何基础知识。从认识长方体、正方体到长方形、正方形，再到线段等，由此可见，第一学段的数学学习是直观的，看到什么说什么。这也是教师所熟悉的直观的、感性的教学方式。

而第二学段，学生则在学习线段、直线、射线和角的基础上，逐步研究各种几何体的形状、相对位置、与大小等。这是从基础到整体的一个建构过程。显然，第二学段，更多的是一种发现知识和运用方法的学习过程，在这个过程中，动手操作、发现运用是一种主要学习方式。在发现运用中，必然更多地需要数学概括和逻辑演绎的成分。

比如：在线段、直线、射线和角的教学中，在讨论线段的端点的作用时，学生需要构建射线和直线模型，理清直线、线段和射线的联系和区别。很多时候，这是一种静态的知识整理和发现过程，而在交流的时候，更多地需要学生完成一个较为完整的发现汇报。所以像以下的“想一想、填一填”的學习任务必不可少。

也许，这样的课堂形态大大有别于第一学段的课堂，数学概括和逻辑演绎的教学成为了课堂的主体，从感性走向理性。教师需要顺应学生的这种必然的发展需求，慢慢习惯从热闹的课堂走向理性的、相对静态的课堂，“动静结合”将是教师需要追求的教学艺术。

以前，笔者因接受的信息多，而思想混沌;现在，笔者却因思考得多，而思想混沌。要在一节课完全实现教师的思考也许很难，整合思想，理出教法，还需教师在今后的教学中不断钻研、继续努力。

参考文献

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[2]孙菁，陈庆宪.用好起点引发自学 创设素材加深理解——“线段、直线、射线和角”教学实录与评析[J].小学数学数学版，2015（11）.

[3]王友盛.让学生建立基础几何知识概念的教学探索[J].内蒙古教育，2014（10）.

[4]徐顺湘.多法并举 促进理解——对《认识射线、直线和角》教学设计的思考[J].小学教学设计，2015（35）.