浅议拐点的定义

马纪英， 薛力峰， 吴 勇

(石家庄邮电职业技术学院， 河北 石家庄 050021)

拐点在高等数学中是一类比较重要的点，在导数和微分的应用中占有重要的地位，在函数的凹凸性中表征着平面曲线的一种内在几何特征，在函数作图和图像描绘中分隔着单调性相同的凹弧和凸弧。

1 拐点的定义

数学教材中一般把曲线的凹凸性和拐点放在一起讲述，首先定义凹弧和凸弧及其性质，然后引出拐点。比如：

例1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的。并把连续曲线上凹凸部分的分界点称为此曲线的拐点。

注：拐点不仅是凹凸部分的分界点，而且必须是曲线的连续点，即它是一个有序实数对(x0,f(x0))[1]。

例2 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2， 恒有

那么称f(x) 在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

定理 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

(1)若在(a,b)内f″(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

(2)若在(a,b)内f″(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

一般地，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点[2]。

总之，我们可以看到这些高等数学教材中是把拐点定义为了“曲线上凹凸弧的分界点”，至多是稍微严格了一些，把间断点排除出来，“连续曲线y=f(x)上凹凸弧的分界点”。

2 拐点定义的反例

例3 我们考虑单位圆周x2+y2=1上的点(1,0)，我们会发现平面直角坐标系中第一象限的曲线都位于各点切线的下方，即为凸弧；第四象限的曲线都位于各点切线的上方，即为凹弧，而点(1,0)即为凹弧与凸弧的分界点，故为拐点，同理点(-1,0)也是圆周的拐点。

由于圆周上的点具有圆对称性，适当地旋转平面直角坐标系，可以使圆周上的点都位于(1,0)或(-1,0)的位置，可以得到每一点都是拐点！我们发现，由于平面直角坐标系的旋转位置不同，曲线上的同一点既可以在这个平面直角坐标系下是拐点，又可以在另一个平面直角坐标系下不是拐点，显然这样定义的拐点不能表征平面曲线的内在几何特征，其定义显然存在不合理的地方。

例4 考虑曲线

我们发现，x<0 时，函数y=f(x)的图形是凹弧，x≥0时，函数y=f(x)的图形是凸弧，点(0,0)正是凹弧和凸弧的分界点，按照上述拐点的定义，曲线上的点(0,0)即为曲线y=f(x)的拐点。

实际上，根据《数学大辞典》的解释，这种点称为尖点，也就是在曲线上该点处存在着不同的左右切线的点。尖点和拐点是不同类型的点，在尖点处不存在曲线的切线。

3 拐点的重新定义

许多著名的著作对拐点的定义更严密，很严格一些。比如：菲赫金哥尔茨著的《微积分学教程》中就这样定义：

曲线上一点M(x0,f(x0))叫做曲线的拐点，如果它把使函数f(x)为凸的那部分曲线(向下凹)和使这函数为凹的那部分曲线(向上凹)分开；曲线在这点由切线的一侧进入另一侧[3]。

所以，我们可以重新定义：

如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧为凹弧；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线弧为凸弧。设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线，且在切点两侧近旁曲线凹凸向不同，这时称点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点，过拐点的切线称为拐切线。

4 拐点的计算和应用

根据凹凸性和拐点的定义及定理可知，由f″(x)的符号可以判定曲线的凹凸性，而拐点由位于凹弧和凸弧的交界处，所以拐点左、右两侧邻近f″(x)符号相异，只要找出f″(x)符号发生变化的分界点即可，也就是找出f″(x)=0的点和f(x)二阶导数不存在的点。

所以，若f(x)由一个函数表达式表示时，可以总结如下步骤：

(1)求函数定义域；

(2)求出f″(x)；

(3)令f″(x)=0，解出方程在讨论区间内的实根，同时求出讨论区间内f″(x)不存在的点；

(4)对求出的每一个实根和二阶导数不存在的点x0进行判断，检查f″(x)在x0左、右两侧邻近的符号，当两侧符号相反时，点(x0,f(x0)就是拐点，当两侧符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

若f(x)不是由一个函数表达式表示，而是分段函数的类型，需要考虑分段点处的情形：(1)分段点处左、右两侧邻近f″(x)的符号是否相反；(2)分段点处的切线是否唯一，也即左、右斜率是否相同，也即左、右导数是否相同。

5 小 结

拐点绝不是单单用于函数图像的描绘，在许多领域，尤其是工程领域有着广泛的应用。拐点作为上凹和下凹趋势的分界点，形成了专门处理各种趋势的拐点法，在材料力学、流体力学、热力学、空气动力学、土木工程、机械工程、信号处理，甚至金融学的股票、期货分析等方面都有着广泛而深入的应用。

因此，在应用之前，弄清楚拐点的确切定义有着非凡的意义。