嵌套类图形的几何作图方法研究

寸江峰， 王淑红

(陕西交通职业技术学院 建筑与测绘工程学院， 陕西 西安 710018)

0 引 言

嵌套图形作图是工程制图类课程中比较有技术难度的作图训练项目，通常用来进行学习者的思维拓展训练[1,2]。这类图形一般由简单规则图形嵌套组合而成，其作图过程不管是采用传统手工作图方式还是采用当下计算机作图方式，均对学习者的作图基础能力形成有较大帮助。特别是采用传统尺规作图，还能开拓学习者思维，提高其独立解决问题的能力。借助计算机绘图技术下的参照缩放命令，嵌套类图形的作图大多能实现基于数字化的高精度作图。但要仅靠传统尺规工具来实现基于尺规作图理论的准确作图，就必须得进行一定的技术分析与方法设计。

计算机绘图手段应用到工程制图领域以来，传统手工绘图方法在工程应用中使用地越来越少，仅在某些特定情境下使用。但作为长期被使用的一种经典作图方法，尺规制图曾经被大量研究，同时它也是包括计算机绘图技术在内的一些其它绘图技术的基础。至今，仍有许多专家和学者热衷于尺规作图规律和方法的研究[3]。

1 问题描述与分析

案例1：绘制如图1所示嵌套图形，已知正方形边长为a，两大圆圆心分别在矩形两条相邻边的中点上，直径与正方形边长相等，小圆嵌套于正方形与大圆之间，分别与两大圆及正方形相切。

该图是一个非常典型的嵌套图形，其作图首先要解决的是内嵌小圆的定形和定位问题。如果采用计算机绘图借助CAD手段，只需要用相切画圆命令就能解决这两个问题实现高精度作图[4,5]。但如果采用常规传统作图方法，实现其理论上的准确作图却很难实现。其作图必须经过一定的技术分析，首先解决绘图参数(一般包括定形参数和定位参数两个参数)与已知参数之间的关系问题。

图1 研究案例图示

1.1 定形参数的选取

圆形的定形参数只有一个，通常可以选取半径、直径、周长、面积等。几何作图当中最常用的定形参数是半径。因此，选用内嵌小圆半径r作为定形参数。

1.2 定位参数的选取

定位参数一般与定位基点的选取以及定位方法有关。

圆形的定位基点一般是圆心。该图形是一个关于下斜对角线对称的轴对称图形。根据对称性，内嵌小圆圆心必然在下斜对角线上。这一特点，对内嵌小圆作图定位提供了很大的帮助，但仍然不足以确定内嵌小圆的具体圆心位置。因此需要进一步研究圆心定位方法问题。

综上分析，定位采用角点-切点二次定位法，选用内嵌小圆半径 作为定位参数。

1.3 参数的推求

如前所述，通过选用合适的定位方法，定形参数与定位参数统一为内嵌小圆半径r。参数的求解，一般可以采用几何法和解析法两种方法。以几何法为例推求如下。

(1)

图2 几何法求解绘图参数图示

2 绘图方法设计与绘图步骤

2.1 绘图方法设计

得到绘图参数与已知参数之间的解析关系后，要实现几何作图还必须进行一定的方法设计，把解析关系转换成几何图形关系。

由上述关系式可见，嵌套类图形的绘图参数与已知参数之间的关系一般包含两部分：有理数部分和无理数部分。有理数部分一般可以通过尺规作图的直线扩倍、等分、截取等方法来实现；无理数部分可以通过绘制直角三角形来实现。

(1) 有理数关系的几何作图实现。本例中，有理数解析关系为2a，只需将正方形边长a延长一倍即可实现。需要注意的是，延长不同的边，作图简易程度不同。本例中，由于内嵌小圆处于正方形左上角，根据就近原则应选AB或AC(以选择AB为例)。

(3) 几何作图设计。解析关系式中，无理数关系部分与有理数关系部分之间为一般为加法或者减法关系，故在作图中应将二者作在同一直线上，且端点对齐便于延长或者截取。辅助求解作图部分应布置在作图边缘区域。

2.2 绘图步骤

由图3可见，线段BG及线段GE对线段AF的几何求解作图并不影响，故可省去对线段AB的延长及线段BD的平移操作。

根据上述分析和设计，该嵌套图形作图步骤如下：

(1)以已知线段a为边长作正方形ABCD，并分别以正方形两邻边中点为圆心，a为直径在正方形内部作两个半圆，如图4所示；

图3 几何作图设计示意图

图4作图过程图1图5作图过程图2图6作图过程图3

(2)如图5，延长正方形边长CD至E点，使DE=a；

(3)以E点为圆心，CE为半径画圆，交AB于F点，则AF即为内嵌小圆半径r；

(4)连接正方形对角线AD；

(5)如图6，以F为圆心，AF为半径画圆交AD于点O，则O点即为内嵌小圆圆心；

(6)以O点为圆心，OF为半径画圆，得解。

3 其它例子验证

绘制如图7、图8所示两个嵌套图形案例。

图7案例2图示 图8案例3图示

案例2：绘制如图7所示嵌套图形，已知外圆半径为R，内嵌小圆半径相等，中心小圆圆心与大圆圆心重合，且每个小圆均和与其相邻的小圆或大圆彼此相切。

案例3：绘制如图8所示嵌套图形，已知矩形长为a，内嵌圆半径相等，且各圆均和与其相邻的圆或矩形边相切。

此两案例均可按照前述方法确定定形参数和定位参数。选择合适的定位基点和定位方法，可以把定位参数与定形参数进行统一。然后建立绘图参数与已知参数之间的关系，并设计作图方法。此两案例的具体定形参数可以取为内嵌小圆半径r，其与已知参数之间的关系分别为：

(2)

(3)

据此设计案例2作图步骤为：

(1)作一对正交直径AB、CD，并以D点为圆心，以CD为半径作圆弧交AB延长线于E、F两点，如图9所示；

(2)以F点为圆心，以OA为半径画弧，交EF于G点；

图9案例2作图过程图1图10案例2作图过程图2图11案例2作图过程图3

图12案例2作图过程图4图13案例2作图过程图5

(3)11等分EG即得内嵌小圆半径r，如图10所示；

(4)以O为圆心，以r为半径画圆得内嵌中心小圆；

(5)以O为圆心，2r为半径画圆得辅助圆，与CD交于O1、O2两点；

(6)分别以O1、O2为圆心，2r为半径画弧交辅助圆于O3、O4、O5、O6，得内嵌第二环各圆圆心，如图11所示；

(7)分别以O1-O6为圆心，2r为半径画弧，两两相交于O7、O8、O9、O10、O11、O12，即得内嵌第三环小圆圆心，如图12所示。

(8)分别以O1-O12为圆心，r为半径画圆，得解。如图13所示。

案例3作图步骤如下：

(1)如图14，分别过A、B两点作直线AB的两条垂线AC、BD，且使BD=AB=a；

(2)以D为圆心，以2a为半径画弧，交AC于C点，则AC即为矩形的宽；

(3)以AB为长，AC为宽绘制矩形ABEC；

(4)四等分AC或BE即得内嵌小圆半径r，如图15所示；

图14案例3作图过程图1图15案例3作图过程图2

图16 案例3作图过程图3

(5)在长边AB上截取r并做垂线，交点O1、O2、O3、O4即为与矩形相切的四个内嵌小圆圆心。

(6)以O1为圆心，2r为半径，画弧交中间水平线于O5，即为中间内嵌小圆圆心，如图15所示。

(7)分别以O1、O2、O3、O4、O5为圆心，r为半径画圆得解。如图16所示。

4 结 语

本文通过对嵌套类图形的特点分析，精心选择绘图参数，然后利用解析法或者几何法求解绘图参数与已知参数之间的解析关系。在此基础上，重点研究设计了两种参数之间解析关系的尺规作图实现方法。

需要指出的是，得到绘图参数与已知参数之间的关系后，其绘图实现方法并不唯一。如何在这些方法中找出最便捷的实现途径也是值得研究的一个问题。另外，本文研究的方法和思路对同类图形的作图具有重要的参考意义。