论中值定理在不等式证明中的应用

孙静茹

摘  要：该文主要对中值定理在不等式证明过程中的应用问题做简单介绍。在应用泰勒中值定理证明不等式时，给出了泰勒公式中展开点选取的4种情况，同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式。这一方法促进了学生在具体的应用场景中，更加深入地理解中值定理，加强了学生对理论知识的掌握，提升了其知识迁移和分析综合能力。

关键词：泰勒中值定理  不等式证明  理论知识

中图分类号：O172   文献标识码：A            文章编号：1672-3791（2019）07（a）-0117-02

不等式证明是数学学习中的重要内容，与应用题及计算题相比，其在函数构造和证明思路上存在较大难度，研究不等式证明对发展学者的数学思维、逻辑思维具有重要作用。不等式证明的方法有很多，但初等证法往往需要较高的技巧。泰勒中值定理和积分中值定理在数学分析中具有举足轻重的地位，以它为工具能较好地研究函数形态，有些用常规方法难以证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，运用泰勒和积分中值定理将其进行巧妙的构造，把不等式问题转化为函数问题。

1  应用泰勒中值定理证明不等式

泰勒中值定理建立了函数在一个区间上的增量与这个函数在区间内某一点处的高阶导数之间的联系，而利用泰勒中值定理证明某些抽象函数的不等式是比较难理解的，探究其原因主要是因为泰勒公式中展开点的选取，那么能否找到一个有效的方法和技巧来掌握泰勒公式中的展开点呢？通过探究发现，这是有一定规律的，下面就各种情况的范围和特点做出说明，以便更好地利用泰勒中值定理证明不等式。

1.1 展開点选取区间的中点

这是比较常见的一种情况，在泰勒公式中取适当值，通过两式相加减，并对这些项进行缩放，便可将多余的项去掉而得到所要的不等式，下面以实例说明。

由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性。若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理，如在证明例5时，可以先估计定积分的值再证明不等式比较简单。

伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系”，数学中存在着概念之间的亲缘关系。因此，探索数学中各种各样的联系是指导数学研究的一个重要思想。在应用中值定理证明不等式时，我们容易思维定式，今后应当注重研究中值定理之间的联系，以便更好地应用中值定理解决不等式的证明问题。中值定理在微积分中占有重要的地位，深入挖掘渗透在定理中的数学思想，对于启迪思维、培养创造能力具有重要意义。

参考文献

[1] 刘新波.数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009：53-56.

[2] 吉米多维奇.吉米多维奇数学分析习题全集[M].合肥：安徽人民出版社，2005：208-284.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010：123-144.

[4] 白永丽，张建中.略谈积分中值定理及应用[D].平顶山工业职业技术学院，2003.