强化数学概念，提高初中数学教学效率的策略

蓝伟兴

【摘要】数学概念是数学知识的灵魂，是学生理解数学、喜欢数学、学好数学的前提，是学生理解数学定理、推导数学公式、掌握数学运算法则的基础，没有重视数学概念，一切课堂教学都是低效甚至是无效的教学。本文结合本校生源比较薄弱的实际情况，谈谈在教学中强化数学概念的四个策略探究。

【关键词】初中数学；创设情境；转换角度；抓住本质；反复训练

一、创设情境，产生概念

“教学情境是指在课堂教学中，根据教学的实际内容，为实现三维目标所设定的，能产生一定情感反应，并且能使学生主动积极参与建构性学习的，具有学习背景和学习活动条件的学习环境。广义来说，是指作用于学习主体，产生一定的情感反应的客观环境。从狭义来说，则指在课堂教学环境中，作用于学生而引起积极学习情感反应的教学过程。”在课堂教学中，如果教师能够联系学生非常感兴趣的例子，即使那些经常打瞌睡的学生也会抬起头，用兴奋和期待的眼光看着老师和屏幕。知识本身具有丰富生动的实际内容，而表征它的语言（包括文字语言、符号语言和图形语言）则是高度抽象的。所以创设教学情境，犹如汤中加点盐。盐只有溶入汤中，才能被吸收，知识只有融入情境之中，才能显示出活力和美感。“在教学中如何创设情境，突出数学概念的形成过程，凸现数学思想方法，让学生领悟数学概念的本质，是教学中不容忽视的问题。”

创设教学情境的方式很多，可以是实验创设、故事创设、问题创设、科技史话创设、生活常识创设、语言描述创设、典型事例创设、活动创设、媒体创设、时事热点创设、角色扮演创设，等。在《椭圆及其标准方程》这一课的教学中，有些老师通过让学生观看卫星发射的轨迹引出椭圆的概念，使学生对本节课产生了极大的兴趣，有些老师通过让学生动手画椭圆的方程，从而引出椭圆的概念。这两种引入方式都是重视数学概念的结果，因此取得了很好的教学效果。然而有些老师只是叫学生自己阅读书本上的探究，然后在黑板上把椭圆的概念写出来或在PPT上直接投影椭圆的概念，最后让学生读两次，这样就完成了椭圆概念的教学，结果很多学生对椭圆的概念还没有弄清楚，就要继续学习椭圆的标准方程，后面的课堂练习也就没有信心完成了，这样的课堂教学是低效的甚至是无效的。创设课堂情境的方法有很多种，可以通过创设与概念密切相关的问题或问题串引出概念，可以通过观察实验引出概念，也可以通过学生的动手操作引出概念。所谓“磨刀不误砍柴工”，花8到10分钟时间展现数学概念的发生发展过程，让学生真正理解概念，对于后续的学习是非常有必要的。

当然，不恰当的教学情境会使学生对数学概念产生误解，所以创设教学情景必须慎重，不能为了激发学生的学习兴趣而随意创设一些与数学概念关系不大甚至是无关的教学情景。

二、转换角度，理解概念

“杜宾斯基认为，学生学习数学概念需要进行心理构建，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成理解”。在《集合的基本运算》这一课的教学中，并集概念是本节课的重点，更是本节课的难点，如何让学生理解并集的概念呢？教材中通过思考题引出并集的概念，这是一种很好的引入方式，教师可以通过启发式教学帮助学生理解并集的概念，通过多次转换角度引导学生掌握并集的概念，下面是我的課堂教学实录：

教师：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以相加呢？

学生：不知道

教师：大家观察下面三个集合之间有什么关系？A={1，3，5}，B={2，4，6}，

C={1，2，3，4，5，6}

部分学生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中。

教师：（微笑，不说话）

部分学生：集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

教师：（微笑着说话）同学们的观察能力很强，回答得非常好！大家再看看下面三个集合之间又有什么关系？A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}

个别学生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中，集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

其他学生：对，果然是这样。

教师：同学们回答得很好，上面两个问题中，集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。那么集合C与集合A，B之间形成一种什么样的运算呢？

学生：不知道

教师：这种运算可以叫做并集运算，上述两个问题中，集合C就是集合A与集合B的并集。集合A与集合B的并集可以用什么数学符号表示呢？

学生：不知道

教师：集合A与集合B的并集可以用数学符号记作“ A∪B”。那么 A∪B怎么读呢？

学生：读作“A并B”。

教师： A∪B表示什么意思？

学生：表示集合A与集合B的并集。

教师：回答正确，那么，什么叫做集合A与集合B的并集？

学生：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集。

教师：回答得很好！（微笑点头）那么 A∪B用数学符号怎么表示呢？请李煜同学到黑板写出来。

学生：（在黑板上写） A∪B={x|x∈A，或x∈B}

教师：写得很好！那么，能不能用Venn图来表示A∪B呢？请张春红同学到黑板上试着画一画.

学生：（在黑板上画）

教师：我们来根据并集的概念完成下列题目：

（1）设A={x∈N|1≤x≤3}，B={x∈N|2≤x≤5}；求A∪B；

（2）设A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤5}；求 A∪B。

教师通过不断地转换角度，引导学生通过并集的符号理解、图形理解，文字理解来掌握并集的概念，然后通过由浅入深的例题加深概念的理解。在概念的教学中，如果能够通过不同的角度去引导学生，不但可以培养学生的发散思维，而且可以使学生对概念的理解更加深刻，记忆更加持久。相反地，如果仅从单一的角度去进行数学概念的教学，会让学生感觉数学很枯燥，而且无法调动学生学习的积极性和学习热情，学生对数学概念的记忆仅仅停留在思维的表层。

三、抓住本质，掌握概念

数学概念反映的是一类具有共同属性的事物能区别于其他事物的全体，任何一个数学概念都有它确定的含义以及所确定的对象范围，这就是数学概念的内涵和外延。只有抓住数学概念的要点，才能理解数学概念的本质，从而掌握数学概念。例如，椭圆的概念产生以后，教师就要通过启发式提问让学生掌握椭圆定义中的五个要点：1.椭圆是平面图形，不是空间图形；2.动点只有一个；3.定点有两个；4.动点到两定点距离之和等于定长；5.动点与两个定点能构成三角形。有些概念容易混淆，较难理解，我们可以通过概念对比加深概念的外延理解，从而加深数学概念的理解。例如，通过等差数列与等比数列的概念对比，椭圆与双曲线的概念对比，交集与并集的概念对比等等。通过概念的对比，容易抓住概念的要点，使学生更好地理解概念。平面曲线的切线概念是高中数学的一个重点，同时也是一个难点。理解平面曲线的概念必须抓住四个要点：1.平面曲线的切线是一条确定的直线；2.当平面曲线是函数的图象时，平面曲线在切点处的导数就是该切线的斜率；3.切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程；4.函数的图象在某点处的切线与该函数的图象可能不止一个公共点，所以不能用判别式求切线方程。“作为定义的一种描述，就是要揭示概念的本质特征，‘割线的极限’作为平面曲线的切线定义，所反映的对象指一切平面曲线。”

概念课的教学不能简单地用“一定义、二要点、三注意”的形式讲完就好了，“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学），而不仅是数学活动的结果（数学知识）的教学。”所以抓住概念的要点固然重要，但不是老师直接告诉学生，而是通过教师的启发和引导，让学生主动参与，积极思考，师生共同归纳出概念的要点，从而对概念产生正确的认识。

四、反复训练，巩固概念

心理学上认为，记忆一个抽象的知识，一般要重复7次，如果要持久记忆，需要重复14次甚至70次。数学概念的理解，需要一个循序渐进的过程，在数学概念教学中，我们要停留几秒钟甚至几分钟让学生自由朗读概念，记忆概念，消化概念，然后再通过列举一些具体的例题或练习帮助学生加深概念的理解，从而掌握概念。在学生初步理解并集的概念以后，笔者在PPT投影中给学生训练了下面几道题：

练习1，所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做___________；

练习2，集合A与集合B的并集可以用数学符号表示为___________；

练习3，A∪B可以读作_______。

例1，设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B；

例2，设集合A={x|-1

例3，設集合A={x|-13}求A∪B。

笔者设置练习力求从简单到复杂，从具体到抽象，力求符合循序渐进原则和“小步子”原则。这样设置练习，既有利于培养学生的自信心，又有利于分层教学的实施，更重要的是，通过这样的练习，学生不但可以理解数学概念，而且可以掌握数学概念。在《现代心理学纲要》一书中，详细地介绍了记忆术的六种记忆方法，而重复记忆法是一种很常用的记忆方法。心理学上认为，人的记忆重复了一定的次数，就能产生持久的记忆。同样地，一个数学概念通过不同的角度，让学生反复阅读，反复训练，学生会不断加深对数学概念的理解，逐渐熟悉数学概念。对于某些抽象的数学概念，使用反复阅读，反复训练的方法，的确是一种很好的方法。例如，对数的概念：设ax=N（a>0且a≠1），则x=logaN（a>0，且a≠1），这里，我们把x叫做以a为底N的对数，a叫做这个对数的底数，N叫做这个对数的真数，x就是这个对数，用logaN来表示， 不是数字，就像根号“”一样，仅仅是一个符号。在课堂教学中，笔者让学生先理解这个概念的内涵，接着进行一系列的具体例子反复训练。结果，连班上的倒数第一名都熟悉了对数的概念，无论是文字还是符号表达，他们都能迅速作出反应，一直持续到高三，他们依然对logaN非常熟悉。这种训练方法很枯燥，也很低效，但对于一些抽象而且极端重要的数学概念，我们不得不出此下策。反复训练，仅仅是为了让学生熟悉数学概念。

数学概念是数学的核心知识，学生要掌握数学的定理、公理、性质、法则、公式，要掌握常用的数学解题方法，理解常用的重要数学思想，首先必须理解数学概念。数学概念是学生入门的基础，学生放弃数学，是从不理解数学概念开始的，学生喜欢数学，是从理解数学概念开始的，本文只有一个目的，就是希望广大数学教师从小学开始重视数学概念的教学，让更多的学生喜欢数学，避免学生放弃数学。

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