探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧

杨荣智

摘 要：高中数学数列方面的内容占据了极其重要的地位，因此需要把握系统的解题方法和解题技巧，有效的提升解题效率。本文分析了数列试题中常见的考点，并提出相应的解题方法和解题技巧，以期提高学生的综合能力。

关键词：数列;高中数学;解题策略

数列方面的内容涵盖了代数内容、几何内容、方程内容的知识。在实际应对中需要基于数列的基本题型进行整合与分析，利用不同的解题思路和解题技巧，促使数列方面的知识点能够合理的运用于问题的解决当中。

一、常见数列试题的考点分析

数列是一种较为特殊的函数，其核心的定义是基于在该函数的定义域内所有的正整数集或在该定义域内有限子集的函数，总的来说，可以将数列看成一个有规律的集合。数列是联动多知识点的内容，特别需要注意的是字啊数列的求解过程中，多涉及函数、不等式方面的内容，因此，必须重视数列的运用方法。现阶段高考关于数列方面的内容，主要考察学生对an、a1、d、n、Sn方面的拓展理解，大体包括数列的表示方法（正整数）、等差数列的性质及其前n项和的解法、等比数列的性质及其前n项和的解法以及多情境的实际性问题的解法。

二、实践高中数学数列的解题策略分析

（一）基于数列的基本概念的技巧

高中数学数列试题主要涵括等差数列、等比数列、差比数列三种模式。每个数列模型都有不同的定义及性质。由此，需要有效的面对这方面的数学试题，特别是数列求和中基本定理的使用方法，保证数列基本题型不会失分。例如“数列概念与简单表示法”的教学中，教师需要拓展基本定理，并讲述常见的“错位相减法”和“裂项相消法”的基本思路。同时，需要结合实际例题进行数列理论的拓展，具体如下：

例1：有一个数列{an}（n=1，2，3，4…）的前n项和为Sn，且满足条件Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3这三个数成等差数列。求：

（1）数列{an}的通项公式。

分析：（1）中需要应用an=Sn-Sn-1的基本公式，将已知条件带入公式中，结合条件“a1，a2+1，a3这三个数成等差数列”，可以得到结果。

解析：（1）由题可得：Sn=2an-a1，由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）可得：an=2an-2an-1，化简得：an=2an-1，n≥2所以a2=2a1，a3=2a2=4a1。又因为a1，a2+1，a3这三个数成等差数列，带入得：a1+a3=2（a2+1）。那么，a1+4a1=2（2a1+1），解之得：a1=2。

通过分析可以得知：数列{an}的首项a1=2，a2=4，a3=8，且公比q=2的等比数列。所以其通项an=2n。

例2：已知数列满足，且。求数列an的通项公式。

分析：该题型应使用“构造法”的思路，将其构造一个方便解答的公式，该题目中，需要构造数列{1-an}的数列模型，再转化成需要求解的an公式模型。

解析：由可得：。

又因为，

所以数列{1-an}的首项，其公比，该数列为等比数列。

所以，

对于数列基本概念的考察主要是对于首项a1、通项公式an、前n项系数和之间的关系的理解，特别需要注意n≥2在求解通项和公式的运用。同时，教师需要拓展几种基本类型的数学问题，如an+1=an+f（n）的通项问题的解决中，需要使用累加法的思路;如an+1=an·f（n）的通项问题的解决中，需要使用累乘法的思路;如的通项问题的解决中，需要使用构造法的思路，将其转化成的模型，上述例题2则是构造出{1-an}的模型。最后，教師需要对该方面问题进行总结，运用表格、图像的方法讲述数列的运用方法，拓展函数与数列的结合，提高学生的认知。

（二）基于等差数列的技巧

等差数列的方面的问题大多出现在选择或填空题，其主要是考察学生对等差数列基本定义的理解，分析等差数列中首项a1，公差d的关系，围绕这两点进行内容的拓展和知识的迁移。同时，教师需要讲述等差数列与函数之间的联系，运用合理的情境讲述相关的理论及内容。

例如在“等差数列的前n项和”的教学中，首先教师需要讲述等差数列的基本定义和通项公式与前n项和之间的关系，引导学生了解已知an、a1、d、n、Sn这五个关系中任意3个数据求解另外两个数据的思路。同时，教师需要依据学生掌握的知识理论进行相关题型的拓展。

例3：已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8。求a100的值。

分析：主要应用等差数列前n项和公式以及通项公式an=a1+（n-1）d的基础运用。

解析：由题可得：，解之得：

因此，可以得到这个等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d=n-2。由此可以得到a100=100-2=98。

例4：等差数列{an}中，a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15。求n取和值时，Sn有最大值，并求出Sn最大值是多少？

分析：发现S10=S15，可以依据通项公式分析出一个临界点，通过临界点可以找到Sn的最大值;或依据二次函数的极值点，求出对应的Sn的值，也可以实现该为的求解。

解析：（直接利用Sn）由公差，首项a1=20，可以得到：

根据二次函数顶点式含义可得，k=，b=。由于n为正整数，所以可以得到当n=12或n=13时有最大值，且最大值为130。

通过这两种解题思路均可以实现该问题的求解，其出发点是不一样的，因此教师需要在数列的试题拓展中运用多元化的解题思路，帮助学生能够更快的进行思维拓展，也能有效的应对这方面的问题。最后，教师需要还需拓展如“1+2+3+…n=”、“2+4+6+…2n=n2+n”、“1+3+5+…（2n-1）=n2”等类型的数列公式，结合倒序相加法、错位相加法的思路进行拓展，提高学生对数列的认知。

三、结束语

有关数列方面试题的拓展应培养学生严谨的解题思路，结合不同体型所对应的解题技巧，能够有效减少题型的出错率和解题时间。同时，学生需要构建系统的解题流程，保证公式运用方法“不混乱”，这对于学生全面发展有着积极的意义。