浅议高考真题解法的灵活多样性

摘 要：新课改下的高中数学课程更注重创新思维能力的培养，注重基础，立足基础，多方位，多角度，多元化已成为数学培养发展的方向。数学是思维的体操，思维是学习数学的灵魂。对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。我们可以考虑一题多解，让课堂充满灵动的数学思想，让思维绽放精彩。

关键词：多角度;多方位;灵活性;一题多解;数学思想;

多年以来，数学在高考中的比重一直居高不下，也是必考科目之一，在日常教育教学中，数学也被另眼相看，成了名副其實的主课，而数学它又是一门自然学科，有它自身的特点，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科.透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理.因此在解题与解决实地问题的过程中，如果能够经常结合所学知识，多方位，多角度去思考问题，采用多样化的方法去解题或解决问题，不但可以提高解题与运算能力，而且还可以培养创造能力，下面就从一道数学高考真题入手，来体验一下高考真题解法的灵活多样性。

题目：已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是_______.

本题直观上看是一道在一定条件下，求范围问题。但实质上出题者的本意可能并非如此，其目的可能有五个：（其一）可能通过考察二次函数求值域，来解决范围问题。（其二）可能通过考察基本不等式求最值，来解决范围问题。（其三）可能通过考察线性规划求距离的平方，来解决范围问题。（其四）可能通过考察变量代换，转化为三角函数，应用三角函数的各种公式，来解决范围问题。（其五）可能通过考察参数方程，转化为三角问题，来解决范围问题。下面一一给出解法共同行们商讨。

法一：函数构造法

解：因为x+y=1，所以y=x-1，代入x2+y2得，

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=;

又由于x≥0，y≥0，且x+y=1，所以x∈[0，1]，

当x=0或x=1时，x2+y2取得最大值1，当x=时，

x2+y2取得最小值，所以x2+y2的取值范围是[，1]。

法二：采用不等式法

解：由基本不等式解得：当x>0，y>0时，

可得：当x>0，y>0时，，根据条件x+y=1，得：

当x，y有一个为0时，结果显然成立。

另一方面，当x≥0，y≥0时，x2+y2≤x2+y2+2xy=（x+y）2=1

所以x2+y2的取值范围是[，1]。

法三：线性规划分析法x2+y2

解：设直线x+y=1与两坐标轴的交点坐标A（0，1），B（1，0）.

P（x，y）为线段AB上任意一点，

则P到原点的距离为，又，所以

所以x2+y2的取值范围是[，1]。

法四：三角代换法

解：由已知条件得：设x=sin2θ，则y=cos2θ

x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ∈[，1]

所以x2+y2的取值范围是[，1]。

法五：参数方程法

解：由已知条件得：令x2+y2=r2（r>0），设x=rcosφ，y=rsinφ，

根据x+y=1得：rcosφ+rsinφ=1，可化为：

即：，因为

即，所以

所以x2+y2的取值范围是[，1]。

由上可知，高考试题可以根据知识之间的联系，通过相互转化，采用灵活多样的解题方法，使问题得一圆满解决。灵活多样的解题方法不但能让学生达到解题的目的，而且能拓展学生思维模式。激发学生的学习兴趣，使得枯燥的数学解题变得更加具有吸引性。

参考文献

[1]曾凡艺;立足一题多解，让思维绽放精彩《文理导航》

[2]许洪梅，惠井华;一题多解对学生创造性思维能力的培养[J].中学数学教学参考，

[3]王驰;实例分析初中数学的一题多解《数理化解题研究》

[4]禹凤英;一题多解之我见《考试周刊》

作者简介：马度善，回族，甘肃天水人，理学士，一级教师，主要从事高中数学教学工作