初等数学中的几类数列问题研析

徐苏苏 汤建钢 韩宋丽

摘要：通过研究初等数学中常见的数列问题，总结解决数列通项公式、数列求和以及数列与其它知识相融问题的常用方法，有助于学生解决初等数学中遇到的数列问题，提高对数列知识灵活运用的能力。

关键词：初等数学 数列 通项公式 求和

1引言

数列是新课程改革中重要的教学内容，数列问题在初等数学中的学习从小学就有接触，小学中的数列以找规律的形式出现，最初的定义就是“按一定次序排列的一列数”，让学生在数列中发现规律，寻找数列规律的方法是依据数列隐含规律的几种表现形式，从不同的角度，认真观察、比较、尝试和计算，在这一阶段对数列的认识是最基础最简单的，在中学数学中讲到数列的定义，出现等差、等比数列以及可以化为等差、等比的数列，难度增强，数列问题在初等数学中非常重要，并且在高考中享有重要的角色，通过分析初等数学教材可知，主要有以下三类数列问题：求数列通项公式的问题、求数列前n项和的问题以及与其它知识相融的问题，本文主要研究这三类问题在初等数学学习中的应用，分析解决数列问题的常用方法，并借助相应的例题来说明。

2 求数列通项公式的问题

求数列的通项公式是学习数列知识的基础，出现在小学、初中的数学竞赛和高中数列教学中，它以螺旋的方式出现，最初的数列问题是根据学生的认知，学生从事物的排列中找规律，之后通过动手涂色、画一画等数学游戏培养学生的观察能力，循序渐进的让学生意识到数也有规律，逐步利用观察法、构造法、累加法、累乘法等一些方法求出数列的通项公式。

观察法求通项公式是最基础也是最简单的一种方法，它通常出现在小学和初中的数学竞赛中，通过观察图形或者表格中数值的关系来判断数的变化规律，从而找到数列的通项公式。

例1如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？

问题分析：该题的本质是通过观察已知图形中点的个数得出变化规律，得出S=3n-3，进而求出当n=5，7，11时S的值，解题方法是让学生会观察，比较、尝试和计算，根据图的规律，找到数的规律。

构造法、累加法和累乘法求数列的通项公式在人教版数学必修5第2章数列的学习中出现，它们是求数列通项公式的常用方法。

3求数列前n项和的问题

求数列前n项和的问题主要出现在高中数学的学习中，在人教版必修5第2章节出现，数列求和问题是数列解答的考察重点，在高考中占有重要地位，在这一部分的学习中应根据通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，常见的方法有倒序相加法、错位相减法、公式法、裂项相消法、分组法等。

在数列求和问题中，人教版高中数学必修5第2章推导等差数列和等比数列的前n项和的公式就利用了倒序相加和错位相减的方法得出了求和公式.利用公式求数列的前n项和也是数列求和问题的基础，这里不再探究，下面利用例题来说明裂项相消法和分组求和法在数列求和试题中的应用。

4 数列与其他知识相融的问题

随着教育的不断改革，国家选拔人才越来越重视宗合型，数列的命题体现出数学知识之间的纵向和横向的有机联系，这也是高考的新型命题方式，在数列的命题中出现了许多与其他知识相融的题型，例如数列与不等式的相融、数列与函数的融合和数列与向量的融合，以及数列的极限问题等新的命题方式。

问题分析：该题综合性较强，（l）题通过递推关系得數列{an）为等比数列，进而求出（an）的通项公式.第（2）问中放缩法证明不等式是难点，放缩法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，把数列问题与不等式问题结合到了一起，进而可以解决问题。

问题分析：该题的知识点包括函数的性质和数列的计算问题，运用构造法求出数列的通项公式，再根据奇函数的性质得出f（a5）+f（a6）=-f（1）进而求出结果，既考察了函数，又考察了数列，是数列与函数融合的综合应用，意在培养学生综合分析的能力，

问题分析：数列的极限问题在高考中频繁出现，该题考察了的数列和极限四则运算的知识，通过求出的前”项和，结合已知条件得出Iimq n=0，再根据极限的四则运算，解出答案，培养了学生的逻辑思维能力和推理能力。

5 总结

数列问题是初等数学教学的重要部分，也在高考中占有重要地位，数列的通项公式问题是基础内容，学会了求通项公式的方法是继续学习数列的前提，因此学生要掌握求通项公式的几类方法，掌握其中的数学思想是解决数列通项问题的关键;数列的求和问题也是重中之重，其中渗透了转化与化归和分类等数学思想，在这一类问题中要注重培养学生的解题能力;最后一个问题就是解决数列与其他知识相融的问题，这一类问题综合性极强，体现了数学知识之间的纵向和横向的有机联系，一般来说，学生解决此类问题存在很大问题，但是可以有效地培养学生的逻辑思维能力和推理能力，从这三类问题的研析中可以足以说明解决好数列问题是发展学生数学能力的重要部分，有助于学生解决不同的数列问题，提高对数列问题灵活运用的能力。

参考文献

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