尺规作图促学生几何直观素养发展

陈华明

【摘要】2011年新《课标》的提出，对初中数学教学产生了指导性作用。《课标》中针对数学核心素养，提出几何直观、推理能力等10个核心概念。笔者以”尺规作图”“几何直观”为关键研究词，并结合近五年广州市中考的数学命题，基于内容分析法，对“尺规作图”这一教学内容与“几何直观”核心素养的培养进行定量与定性相结合的内容分析，挖掘尺规作图的教学现状、存在问题，并据此提出合理的教学建议。

【关键词】初中数学；几何直观；尺规作图；核心素养

一、研究背景

2011年《义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称《课标》）》颁布实施，新《课标》的提出，对初中数学教学产生了指导性作用。《课标》中针对数学核心素养，提出几何直观、推理能力等10个核心概念。而对于“几何直观”这一核心素养，笔者直接能联系起来的便是“尺规作图”这一关键词语。

二、研究对象与方法

笔者以”尺规作图”“几何直观”为关键研究词，运用内容分析法，查找了自2014年至2018年中国知网收录以此为主题词的研究文献共216篇，剔除无关文献，共得到196篇原始文献，其中期刊文献194篇，报纸1篇，会议1篇。为保障研究的可靠性与有效性，选取得到35篇有效研究文献。

围绕着这35篇有效文献，结合近五年广州市中考的数学命题，基于内容分析法，笔者对文献和命题中关于“尺规作图”这一教学内容与“几何直观”核心素养的培养进行定量与定性相结合的内容分析，挖掘尺规作图的教学现状、存在问题，并据此提出合理的教学建议。

三、研究结果

1.尺规作图在数学课程标准中的要求

《课标》在第三学段（7～9年级）的知识与技能目标中明确提出，学生掌握基本的证明方法和基本的作图技能；数学思考中提出经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

就内容方面，《课标》对尺规作图的学习提出四点要求：1. 能用尺规完成五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。2. 会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。3. 会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。4. 在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。

通过对35篇有效文献的分析中，笔者发现无一例外地认为尺规作图与图形的判定有着本质的联系，且均表达出尺规作图及利用其证明的数学培养，对学生初步建立几何直观素养有着重要的作用。

然而通过对近五年的广州中考数学考题的分析，笔者不难发现尺规作图一直都占有一席之地。但是无论是日常的教学与测试考察结果均发现学生对此掌握并未如理想。

2.尺规作图在初中数学教学中的现状及问题

①近年来多作为动手解决问题题型載体，成为中考数学考查热点。回顾广州市近五年中考考题。

注：数据摘自《广州市初中毕业生学业考试年报》，2018年暂未发布。

我们发现每年尺规作图题型均以解答题的形式出现，并且是后续证明及计算的前提。其中三年是以倒数第3题，中难度题型出现，占全卷分值8%；另外两年是以中等题型出现，最低占比达6.67%。尺规作图因其特有的性质，对于作图技能的考查具有得天独厚之处。充分展示学生动手解决问题的情况，因此成为了中考检验学生的热门题型。

②虽有重视，但落实延续性不足。由于《课标》的明确、中考的青睐，尺规作图在日常教学都受到普遍的重视，亦对其作图的道理进行相应分析证明。但是由于尺规作图知识点分布特性及其动手操作的特殊性，导致整个初中学段过程存在较长真空期。如①作一条线段等于已知线段，出现在七年级上册第四章“几何图形初步”；②作一个角等于已知角，③作一个角的平分线，出现在八年级上册第十二章“全等三角形”；④作一条线段的垂直平分线，⑤过一点作已知直线的垂线，安排在同册第十三章“轴对称”。其他依据基本作图三角形部分在第十二、三章，圆部分在九年级三册第二十四章“圆”。知识内容章节跨度遍及整个初中学段。尺规作图动手实践的特殊性以及与其他知识的直接关联相对薄弱，特别是我们教学上相对重视辨析论证及计算，导致尺规作图教学落实的延续性不足。

③因对作图语言的不了解，无法通过题意及图形分析得到作图思路，导致无法入手。案例为[2016广州.21] （本小题满分12分）如图 ，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（保留作图痕迹，不写作法）。其实，题中出现“边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC”的作图语言，但学生在解题时却未能正确理解导致作图错误。

④动手能力障碍，导致无法合理运用直尺和圆规进行作图操作。由于对圆规的使用频次的限制，部分学生对如何操作圆规存在困难。对尺规作图中直尺无刻度的要求与现实直尺存在刻度及日常使用习惯间的矛盾，导致形成操作失误。案例为[2014广州.23]（本小题满分12分）如图6，△ABC中，AB=AC=，.（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作 法）；（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点D到BC的距离。在考题的年报分析中以及笔者阅卷中都发现有大量学生存在直接使用直尺刻度寻找AC中点问题。

四、教学建议

尺规作图，指有限次使用无刻度直尺和圆规作图。它有着悠久的历史，远在古希腊就已经提出，并由欧几里德在《几何原本》中以理论形式具体明确。我国也有关于尺规作图的教学传统，在《课标》中更对尺规作图做出了明确要求。尺规作图因其动手实践的特性，符合《课标》提出的观察、实验、推理的学习过程，对培养学生几何直观数学核心素养具有不可替代作用。

通过内容分析法得到的研究结果，并结合笔者在教学一线的教学体会，笔者对“尺规作图”这一教学内容提出如下教学建议。

1.重历史背景，依人文故事，挖几何魅力。尺规作图这一知识板块具有非常悠久的历史，例如尺规不能问题中最著名的“几何三大问题”：“倍立方问题”“化圆为方问题”和“三等分角”。在教学前，教师可以简单介绍相关的历史背景，告诉学生尺规作图对“尺”“规”的要求。这样既有趣又有现实背景的知识比较容易得到学生的接受，从而吸引学生学习的兴趣。又如，通过高斯得到正十七边形的尺规作图法的故事，激起学生挑战的欲望。再如，在讲授作圆的内接正方形和正六边形是可以作为前置作业，让学生自己尝试作图，加深学生对知识掌握。而作为能力的拓展提高，教师可以在掌握尺规作图的基本作图后，通过开展专题的数学活动，让学生感受几何图形美，培养学生运用知识解决生活实际问题能力。比如，教师可以结合轴对称、中心对称等知识对著名商标进行图形欣赏及学习，如，“宝马”“抖音”“苹果”等，然后鼓励学生对商标利用尺规作图画出基本图形，感受几何直观，最后还可以开展自主创作活动，让学生明白数学源于生活，服务生活。

2.明道理，定步骤，显关系。“尺规作图”的关键一步就是要善用并用好“尺”与“规”这两个工具。“直尺”无刻度，实际就是作直线，可以用“饭卡”“笔杆”等替代。“圆规”其实就是截等长线段，可以用绳子代替。教师甚至可以通过“徒手画圆”“绳子画圆”的技巧展示“手臂”“绳子”这些定长度的性质。明白两个工具的作用后，五种基本作图其实就是利用它们来“作点”的工作。作一条线段等于已知线段其实就是最直接的运用。再结合学生最为熟知的“全等三角形的判定”，学生并不难掌握其他四种作图的原理。掌握原理接下来就是操作流程，已有定点为圆心，画弧找交点。简而言之以点找点。例如，作一个角等于已知角，步骤1以角顶点为定点，画弧得与角两边的交点，步骤2以两点间的距离定新交点。通过作图，直观感受图形的位置关系和等量关系，为进一步解决问题提供条件。

3.多联系，常操作，会表达。尺规作图重操作，但知识内容跨越整个初中学段特性是它的弱点，为此在宏观上，作为教师需要统整课程，有依据、有目的、有计划地合理运用其动手实践，几何直观强，便于发现图形内在关系的特点，建构在整个初中阶段的几何教学。在微观处，教师应利用条件，甚至创造条件让学生经常使用尺规，用多了自然就熟练，遗忘的情况就能避免。例如，三角形、圆部分本来就是基本作图植根的基础，而四边形部分我们可以多发掘，诸如结合四边形的性质及判定设计尺规作图——已知三个顶点作平行四边形；已知矩形相邻两边长作对角线，求长度；已知两对角线长作菱形，求面积。

在尺规作图的教学中，笔者认为尺规作图不仅要会操作，更应该会表达、能交流，然而由于《课标》提出“保留作图的痕迹，不要求写出作法”这要求，以致作图语言在教学中普遍得不到重视，进一步导致学生对作图语言不会说，产生看不懂的问题。因为作图语言不同于日常用语和几何证明语言，学生不宜掌握，所以定好范句，扎根证明，对学生尤为重要。如“连接**”“作直（射）线**”“在**上截取**=**”“延长**到*，使**=**”“作∠***=∠***”“作∠***的平分线**，交**于*”“作**⊥**，垂足为*，交**于*”，等等。只有做到作图语言规范、精炼、准确，才能让学生畅通表达，并借此引导学生将这些常用作图语言的书写迁移并落实在日后的几何证明中，以此为依托，最终达到培养和提升学生建立几何直观核心素养的目的。

五、结束语

数学家阿蒂亚曾提出：“在几何中，视觉思维占主导地位。”引导学生学会找到尺规作图的道理，化抽象为具体，可以促进学生的几何直观能力的提高。尤其是在深入课改、突显基本的今天，如何更好地培养学生的几何直观能力，如何跟有效、高效地将尺规作图与学生能力的培养相结合，还有待于我们进一步研究，并时刻提醒我们在平日的教学中要善于做个有心人。

參考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.

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[5]蔡清怀.借助几何直观解决尺规作图[J].中国数学教育，2015.