“直观想象”在解析几何中的几点体现

焦梓荣

【摘要】“直观想象”是数学核心素养之一，它的培养主要体现在几何教学中。解析几何作为高中数学的重要内容，是体现数形结合思想方法的经典内容，是学生“直观想象”培养的重要内容，在教学中要注意四个方面的表现。

【关键词】直观想象；解析几何；数形结合

直观想象是数学核心素养之一，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，现阶段高中教材里与之相关的主要内容是立体几何与解析几何。

解析几何是高中数学中用代数的方法解决几何问题的经典内容，是数形结合的数学思想方法体现的重要内容，它包括：画图，对图形的观察，利用图形特征表述问题，利用图形特征理解问题，利用图形特征探究问题，建立直观的数学模型解决问题等；借助圆锥曲线图像掌握它们的基本性质，及其各个基本量、公式的几何意义；培养画图、用图思考和探寻简化运算的好习惯，是培养学生“直观想象”的核心内容之一。

以下就四个方面来谈谈“直观想象”在解析几何中的体现：

一、利用图形特征表述问题

圆锥曲线的定义是对其图形特征的核心表述，常用于解决与长度有关的求值和最值问题。

已知F1，F2是橢圆的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，则△ABF1的周长为（ ）

A.10 B.12

C.16 D.3

解：由题意可得a=4，

由椭圆的定义可得：，

∴由图可知△ABF1的周长为：.故选：C.

点评：此题的关键是利用椭圆的定义，图像的特征可以表述为，是个数形结合的典型题目。

二、利用图形特征理解问题

圆锥曲线的图像是其性质的集中表现，利用好图形特征来理解相关最值问题，往往比较容易找到取得最值得临界点，从而快速的解决问题。

已知椭圆C：的右焦点为F，点P（1，3），若点Q是椭圆C上的动点，则周长的最大值为（ ）

A. B.17

C.30 D.

解：如图，设椭圆C的左焦点为F'，

则的周长

由三角形的三边关系可得

当在PF'的延长线与椭圆C的交点时取等号

∴，故选D.

点评：本题主要利用椭圆的定义求解最值问题，涉及到了“化曲为直”的数学思想，需要用三角形的三边关系找到取得最值的临界点，从而解决问题。

三、利用图形特征探究问题

灵活地利用图形的特征探究相关数学问题，运用数学结合的方法，得到相关数学结论，可以简化计算，起到事半功倍的效果。

已知，。动圆 M与外切，与内切，求动圆M的圆心E轨迹方程.

解：由题意得：

两式相加得：

∴圆心E是以C1，C2为焦点的椭圆

∴可得a=3，c=1∴b2=8

∴动圆 M的圆心E轨迹方程为.

点评：本题考查定义法求轨迹方程的方法，利用圆与圆外切和内切的几何性质，得到椭圆的定义，从而求出圆心E轨迹方程。

四、构建直观的数学模型解决问题

在实际的数学情境中，构建相关的直观模型，更加容易发现形与形、形与数之间的关系，从而发现图形的运动规律。

已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AD=AB，E为CC1中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P轨迹为 （ ）

A.圆 B.抛物线

C.双曲线 D.椭圆

解：如图，取AA1中点F连接EF，记 EF∩面BB1D1D=0，连接PO，易得PO⊥EF， ∠OEP=30°

∴在Rt△POE中可得

∴点 的轨迹是以O为圆心，半径为的圆

故选A

点评：本题考查了空间几何体的轨迹问题，解题的思路是把空间几何问题转化为平面中的几何问题，从图中求出点 的数量关系，利用圆的定义得到的轨迹是圆，考察了化归和数形结合的数学思想。

“数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理。” 在“直观想象”的培养中，要善于利用图形的几何特征，利用“形”与“形”“数”与“形”的相互关系，发现图形的关键特征，利用这些关键特征处理好相关问题，让学生在学习中积累自己的“直观想象”经验，“悟”出门道。

参考文献：

[1]]史宁中. 数学的抽象[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）.

[2]方厚良.学函数，用图象[J].中小学数学（高中），2016（4）.

[3]陈敏，吴宝莹.学核心素养的培养——从教学过程的维度[J].教育研究与评论，2015（04）.

[4]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（6）.