感悟模型思想与化归方法

孔凡哲

方程是初中数学的核心內容之一，在学习过程中“习知识、长智慧、提升数学素养”。成为我们学习的核心和焦点。

一元一次方程是最简单、最基本的方程。是进一步学习一元二次方程、二元一次方程（组）、不等式、函数等知识的重要基础。虽然我们在小学曾经学过形如ax±b=c的简易方程，但是方程的基础理论是在初中阶段才正式开始学习的。正是由于一元一次方程的特殊地位及其与后续内容的关联，使得其重要地位无可替代。

在一元一次方程的学习中。我们需要经历方程概念的抽象过程。积淀数学抽象的直接经验。掌握方程、一元一次方程的相关概念，初步把握解一元一次方程的基本技能，充分体会方程所包含的基本思想方法——模型思想与化归方法，不断提升自己的抽象能力，不断丰富“方程有趣、有用”的情感和提升“我能学好方程”的自信心，进而达成“习知识、长智慧、提升数学素养”的目标。

一、在建立方程模型过程中积淀抽象的经验、感受模型思想

例1希腊数学家丢番图是代数学的创始人之一。是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。其中，丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了。丢番图的墓碑上记载着：

他生命的六分之一是幸福的童年，再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须。他结了婚。又度过了一生的七分之一。再过5年。他有了儿子，感到很幸福，可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半。儿子死后。他在极度悲痛中度过了4年。也与世长辞了。

长眠于如此奇特的墓碑之下。丢番图对数学的热爱可见一斑。丢番图究竟活了多大岁数呢？

解析8这是一道以人的年龄为主线的实际问题。解决问题的关键在于分析问题中的数量关系。找出其中的相等关系。建立方程。

①发现实际问题中的量。以及量与量之间的相等关系。

这个实际问题涉及多个量。既包括丢番图的年龄，也包括他在童年期、青少年期等每个时期的时间。以及他儿子的年龄。

②用自然语言表示等量关系。

这些量与量之间最重要的相等关系是：

丢番图活的岁数是各个时期的时间的总和。

③用半符号（或符号）语言表示等量关系。

第一次抽象是从现实问题到用自然语言表示等量关系的过程。这是方程建模的关键。

第二次抽象是用数学符号等价表示等量关系。

一元一次方程比較全面地展示了建模思想。即用等号将相互等价的两件事情联立。等号的左右两边相互等价。至于其中的关系是用自然语言表示，还是用数学符号表示，都是次要的。其关键在于等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这是数学模型的本质表现之一。

二、深入理解化归方法;在实践中探求解方程的最优过程

解方程的基本思路是“化繁为简。化生为熟”。具体表现为同解变形（即保持方程的解不变的恒等变形）。解方程的核心就是利用等式的性质以及运算律，将方程逐步化成x=a（a是常数）的形式。

可见。特殊方程往往需要特殊解法。

事实上，将含未知数的项集中到方程的一边。将不含未知数的项集中到方程的另一边。对含未知数的项进行整式运算（合并同类项等），对不含未知数的项进行四则混合运算。最终化为ax=b的形式。进而求出未知数x的值。这才是解一元一次方程的关键。