一个数位上数的问题的反思研究

李佩

细究教科书上的习题。总能给我们带来意想不到的收获。

人教版数学教科书七年级上册第84页有这样一道题：一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x。把1与x对调。新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？

解析：这是一个典型的整数数位上数的问题。解决问题的关键就是列式表示这个两位数。为了解决这个问题，我们不妨以退为进。先看下面几个具体的两位数及其表示方式：

23=2×10+3，35=3×10+5，97=9×10+7，69=6×10+9，…。

由此规律可知，原两位数可表示为10x+1.新两位数可表示为10+x。

故10+x=10x+1-18.

所以x是方程10+x=10x+1-18的解。

利用等式的性质可得出方程的解为x=3.

[反思1]可以归纳出如下结论：如果一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，那么。这个数可以表示为10b+A.有了这个一般性结论，我们可以顺利解决有关整数数位上数的问题。

变式1：一个两位数。个位上的数与十位上的数之和为12.如果将十位上的数与个位上的数对调。那么所得的新数比原数大54.求原来的两位数。

解析：设原数个位上的数是x，则其十位上的数是12-x。这个数是10（12-x）+x，换位置后的新数为10x+（12-x），依题意得10x+（12-x）=10（12-x）+x+54.

解之得x=9.此时12-x=3.

故原来的两位数为39.

[反思2]回头看变式1，“如果将十位上的数与个位上的数对调。那么所得的新数比原数大54”，这里的“新数比原数大54”实际上就是新数与原数的差是54，凑巧的是54是9的倍数。这里有一个疑问：对于任意一个两位数。如果将十位上的数与个位上的数对调。所得的新数与原数的差是9的倍数吗？设一个两位数的个位上的数是A.十位上的数是占，那么这个数可以表示为10b+A.将十位上的数与个位上的数对调所得的新数为10a+b，于是新数与原数的差是（10a+b）-（10b+a）：9a-9b=9（a-b）。因为a，b是整数，所以a-b也是整数，故新数与原数的差确实是9的倍数。对于任意一个两位数。如果将十位上的数与个位上的数对调。所得的新数与原数的差一定是9的倍数。

变式2：学生小明问李老师现在的年龄，李老师说：“我现在的岁数是一个两位数。如果将十位上的数与个位上的数对调后。恰好是我再过18年的岁数。”小明想了想说：“李老师。求不出来呀。”李老师说：“忘了告诉你，我现在岁数的个位数是十位数的两倍。”小明很快求出李老师现在的年龄是24岁。请问小明是怎样算出来的。

解析：设李老师现在岁数的个位数是a，十位数是b，则李老师现在的年龄是（10b+a）岁，18年后的年龄是（10a+b）岁，根据题意得（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=18.

故a-b=2.

又因为a=2B.所以2b-b=2.故b=2，a=2b=4.所以李老师现在的年龄是24岁。

[反思3]我们进一步思考，如果一个三位数的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，那么。这个三位数怎样列式表示？先看下面几个具体的三位数及其表示方式：123=1×100+2x10+3，235=2×100+3×10+5.497=4x100+9×10+7，…。由此规律可知，如果一个三位数的个位上的数是A.十位上的数是b，百位上的数是c，那么，这个三位数可以列式表示为100c+10b+A.

变式3：在一个三位数的右边添上0，所得到的四位数比这个三位数多8073，求这个三位数。

解析一：设这个三位数个位上的数是x，十位上的数是y，百位上的数是z。

根据题意得1000z+100y+10x+0=100z+10y+x+8073，变形得1000z+100（y-z）+10（x-1-y）+（10-x）=8073，显然有z=8，10-x=3，解得z=8.x=7.

代入原方程得8000+100（y-8）+10（7-1-y）+（10-7）=8073，解得y=9.故這个三位数为897.

解析三：设这个三位数为x，则新的四位数为10x。

根据题意得lOx-x=8073，解得x=897.故这个三位数为897.

[反思4]把这个三位数看成一个整体设元，再整体转化。使得解答过程简单明了。这是数学中重要的思想——整体数学思想的完美体现。

变式4：有甲乙丙三个三位数。其和为575.若甲的百位数加上1，乙的十位数减去1，丙的个位数加上1.这样得到的三个新三位数恰好相等，求原来三个三位数。

解析：设相等的三个新数为x，由题意得（x-100）+（x+10）+（x-1）=575.解得x=222.故x-100=222-100=122，x+10=222+10=232.x-1=222-1=221.

故原来三个三位数分别是122，232，221。

练一练

1.一个两位数的个位数是十位数的3倍。若将个位数与十位数交换位置，所得新数与原数的和是42.43，44，45中的一个，则原来的两位数是____。

2.将一个三位数的百位数与个位数交换位置，所得新数与原数的差能被99整除吗？判断并证明你的结论。

3.一个五位数，左边的三位数是右边两位数的4倍。若将右边的两位数移到左边，则得到的新数比原数的2倍还多7070，求原来的五位数。

参考答案：

1.13 2.新数与原数的差能被99整除。证明略。3.14035。