基于核心素养的数学教学设计研究

李会芳

摘   要：发展学生数学核心素养，需要以数学知识技能为载体，以数学思想方法为灵魂，以课堂教学为平台。教学设计为数学核心素养进课堂的前提条件，教师要站在知识系统的高度，理解和掌握授课内容在初中数学中的地位和作用，以及其中所隐含的数学核心素养。

关键词：初中数学;核心素养;教学设计;教学内容

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）32-0030-09

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。初中阶段，数学核心素养是通过《义务教育数学课程标准》（2011年版）中的十个核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识来具体体现的。教好数学就是落实数学核心素养，引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。所有这些落实到课堂教学中，必要前提是课前做好教学设计。

进行教学设计，《全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）》为教师提供了可参考的依据。参考这一标准，并结合教师的教学实践，本课题组确定的教学设计包括：教学内容解析、学生学情分析、教学目标分析、教学重点难点、教学支持条件、教学过程设计和教学设计反思。从这七个方面进行教学设计，有利于教师在教学中渗透和体现数学学科的核心素养，提高教学效率。

在数学课标的课程内容中，对各个学段的学习内容和要求，从数与代数、图形与几何、统计与概率和综合与实践四个板块分别进行了宏观界定，而教材是将课程内容具体化的载体。因此，对教学内容的分析要依据课标，立足教材，关注联系。要站在知识系统的高度，分析授课内容在初中数学中的地位和作用，说明内容的核心、重点、难点所在，同时要对其中隐含的思想方法做出明确表述，包括所体现的数学核心素养。下面将对教学内容中数与代数部分进行解读分析。

一、整体分类解读

数与代数的内容主要包括：数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数与数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界，提升学生的应用意识和创新意识，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等数学核心素养。

（一）数的发展与运算

初中阶段，“数”的学习内容，将由小学的算术数扩充到有理数和实数;数的运算由加、减、乘、除四则运算扩展到乘方和开方运算。体现了两个抽象：表示方法的抽象和运算的逐步抽象，因此，数的发展与运算，就是不断提升学生数学抽象素养的过程。

1.数的发展。有理数概念的建立，引入负数是关键。引入负数既是刻画现实世界中具有相反意义的量的需要，又是数学自身将数系扩充为有理数集的需要，用以解决数集与运算封闭性的矛盾。虽然在小学阶段结合熟悉的生活情境，学生了解了负数的意义，但未能实施负数的运算，也就难以形成数学意义上数集的扩充，解决这一问题，就成为初中阶段首要的任务。由于实际问题中经常遇到开平方和开立方的运算，因此引入了无理数，数的范围从有理数集扩充到实数集，这也是數学自身数集扩充的需要。数系的两次扩充，主要通过对具体的、生动的数量关系研究和讨论，进行必要的抽象和概括，逐步形成对概念的了解和认识，也是学生数学抽象素养不断提升的过程。

2.数的运算。在有理数中，数的运算扩充到了乘方运算;在实数中，数的运算扩充到了开方运算。学生运算能力的形成，建立在对运算背景的了解和运算对象的理解、对运算法则和运算律的掌握与运用上。在实施运算过程中，要引发学生对“怎样算？”“怎样算的好？”“为什么要这样算？”等一系列问题的思考，实现由法则到算理的思考，使运算从操作层面提升到思维层面，从而实现重视算理，加深理解，提升运算能力的效果，不应过分强调理论的严密性。

（二）代数式及其运算

“式”有关概念的建立，是在借助对现实情境和简单问题中数量关系的分析，进一步理解用字母表示数的意义上，先后形成代数式、整式、分式和二次根式等一系列属于代数范畴的概念;类比数的运算，系统探究学习整式、分式和二次根式的运算法则、运算律和相关运算性质，进而能熟练并准确地实施加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算。与代数式有关的运算，其本质是恒等变形，它是研究数学的有力杠杆，对于数感和符号意识的形成具有重要作用，也是提高运算能力的重要载体。

在学习代数式的过程中，应牢牢把握住对字母实施了什么运算，把概念与运算紧密联系，把代数式和相应的方程与不等式紧密联系，注意揭示知识之间的内在联系，体现知识网络的结构特征，丰富学习内容，克服单纯关注运算的局限性，既使学生对基础知识的理解更加深刻，基本技能的训练更加扎实，又使学生对基本数学思想的认识更加充实，并有效积累数学活动经验，提升数学素养。

需注意一点，数学课标对二次根式四则运算的要求，仅限于根号下是数字的情况，并把其放在了实数内容之中，因此，初中阶段并未研究真正意义下的二次根式。由于数学课标又明确了最简二次根式的概念和对分母有理化的要求，这既深化了对无理数的认识，充实了二次根式的运算，同时还较好地解决了与高中教学的衔接，有助于优化符号意识，提高运算能力。

（三）方程与不等式

方程与不等式是刻画数量关系的重要数学模型，方程用以表示数量关系间的等量关系，是含有未知数的等式;不等式用以表示数量关系间的不等关系，是含有未知数的不等关系式。一元一次方程与一元一次不等式（组）、二元一次方程组、分式方程和一元二次方程等，是初中阶段需要学习和研究方程与不等式的具体内容，要结合实例领会方程与不等式的意义，从大量的实际情境中，有条理地、逐步深入地寻求解决问题的方法和途径，抽象出数量关系，建立沟通已知数与未知数的等式或不等式，布列方程与不等式，建立刻画实际情境的数学模型，这始终是学习和研究方程与不等式的核心，既是出发点，又是落脚点。

正确理解方程的解与不等式解集的概念，并学会解各类方程（组）与不等式（组），是学习方程与不等式的主要内容，也是基本运算技能的重要组成部分。各类方程（组）与不等式（组）的求解，具有明确的方法和步骤，具有操作性强的突出特点。要重视求解过程所蕴含的数学思想的渗透和提炼，数学能力的培养和提高。方程与不等式的重点要放在解法和应用上，凸显方程与不等式作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的很好的题材。

方程与不等式相互联系、相互渗透、相互为用、相辅相成。类比方程与不等式的异同，揭示知识与方法之间的内在联系，有助于构建知识网络、把握问题实质、探究和发现规律，提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

注意：数学课标中弱化了对一元一次不等式组的要求，删去“列出一元一次不等式组解决简单问题”，这样的处理既未影响不等式与不等式组的整体效果，又能有效减轻学生的课业负担。

（四）函数

函数是研究运动变化的重要数学模型，其内容包括：常量、变量和函数的有关概念，以及函数的三种表示法;正（反）比例函数、一次函数、二次函数等，均是初中阶段所要研究的具体函数。函数来源于实际又服务于实际，从现实情境中抽象出函数的有关概念，又运用函数模型解决实际问题，这是贯穿于函数学习的主线。

在建立和运用函数模型的过程中，变化和对应的思想是重要的基础，函数就是从数量的角度反映变化规律和对应关系的模型，是由常量数学过渡到变量数学的标志，在数学思维上是一个飞跃，对培养学生的逻辑思维能力和辩证唯物主义观点具有重要的意义和作用。

函数的图象和性质是函数理论的主体，通过对函数图象和性质的研究，从数量和图形两个侧面以及相互联系中，显示出函数的本质特征是联系和变化，尽管初中阶段对函数性质的研究只是初步的，但有限的研究与讨论，已经体现出从函数的数量特征和图象的几何特征，来刻画每一类具体函数的性质，充分体现了数形结合是研究每一类函数的基本思路和方法，应引起重视。在教学中，要结合具体函数，有效地渗透并逐步揭示函数的本质特征，以及基本思想和方法;做到含而不露和深入浅出，以适应大多数学生的认知水平和思维能力。

不同类型的函数，与相关的方程和不等式有着密切的联系，要注意揭示函数与方程及不等式的内在联系，这同样是学习函数的重要内容。

二、教材内容解析

数与代数的教学内容，在初中阶段各个版本的教材中，“数”的内容安排均采用先有理数再实数的教学顺序。“式”的内容安排则是按照先整体后部分的方式展开。首先学习代数式的有关知识，然后依次安排整式、分式、二次根式等内容。在数量关系中，重点学习等量关系，即方程，包括一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程;不等关系，即不等式，包括一元一次不等式和一元一次不等式组;变化关系，即函数，包括一次函数、反比例函数和二次函数。

对于数与代数的内容和要求，以冀教版教材为例，根据课标要求，具体解读分析如下：

（一）内容分布

在冀教版初中《数学》教材32章教学内容中，数与代数的内容共有16章，具体内容和在各册书中的位置如下表所示：

（二）解读分析

根据冀教版初中数学教材的结构特点，依据数与代数内容在各册书中的布局编排，分年级解读分析如下：

1.七年级内容解析。在七年级的11章教学内容中，以数与代数的基础知识为重点，有8章内容之多，涉及数与式、方程与不等式等最为基础的内容，函数知识仅仅在代数式中有点渗透。

（1）有理数。教材的开门之篇即为有理数。通过用学生身边的、熟悉的具体事例来认识和理解概念，问题情境的创设立足学生已有的知识背景和生活实际，图文并茂。如从对相反意义的量的表示，引入负数，将数的范围扩充到有理数;从对马路旁公交站点位置的探究，抽象概括出数轴，类比温度计温差的求解过程，探究比较有理数大小的法则等。这样的设计，既可以激发学生的学习兴趣，体会到数的扩充来源于实际生活的需要，又可使学生从小学顺利过渡到初中;所有问题指向明确，有利于实现从实例抽象概括出概念的认识飞跃。教材设计了较多的学生活动，通过观察与思考、一起探究，让学生充分认识和体会概念的形成过程，有利于提升学生的探究能力和归纳概括能力等。

对于有理数加、减、乘、除和乘方运算，教材设置了许多实际情境，增加学生操作与探究活动，有利于学生对运算法则和运算律的理解和掌握。通过学生独立思考、操作探究、合作交流等形式多样的活动，逐步积累数学活动经验，感悟归纳、概括、转化、分类、数形结合等数学思想方法，从中体会逻辑推理的重要作用，完成数系的第一次扩充，形成对有理數的完整认识。

有理数的有关概念和运算是整个初中阶段学习的基础，是帮助学生建立数感、提高运算能力的主要载体。本部分内容突出特点是：基本概念多，运算技能强，抽象程度高。因此，教学中要密切联系学生生活实际和已有的知识背景，让他们充分经历概念的形成过程、运算法则规定的合理性、以及对运算算理的感悟，深化对数感的理解和提高运算能力。

（2）代数式。代数式是学习数量关系的起点。代数式的概念是建立在用字母表示数的基础上，是学习和认识数学的一次飞跃，也是建立符号意识的重要过程，抽象程度高于数系由自然数扩充到有理数。因此，学习代数式更要借助现实情境，有利于学生理解用字母表示数的意义，分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。这些均是代数式内容的核心，是布列方程、不等式和函数关系的基础，应引领学生熟练掌握。求代数式的值则是沟通“数”与“式”的桥梁。本章也是建立数感和提升符号意识的重要过程，对初中阶段代数知识的学习具有奠基作用。

为让学生理解用字母表示数的意义和作用，教材结合实际问题，通过一起探究、做一做、思考与交流，充分经历并体会用字母表示数的优越性——简明性和一般性。为了突出代数式的表达作用，并为将来列方程、不等式、函数关系式打下坚实的基础，教材设计了三个层次的问题：第一，理解代数式的意义，把数量的和、差、倍、分关系用代数式表示，熟悉文字语言和符号语言之间的转换，理解同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系;第二，把实际问题中的数量关系抽象为数量间的和、差、倍、分关系，再用代数式表示;第三，用由特殊到一般的归纳方法，寻找一般规律，列代数式。在“代数式的值”一节中，首先认识代数式是一个计算程序，提高计算能力;其次，通过求代数式的值，解决更广泛的具体问题。通过简单的事例，感受代数式的值随字母的变化而变化，为将来学习函数作铺垫，同时也体现重要知识螺旋上升的原则。

本章的教学，要让学生充分经历观察、思考、探究、交流、归纳和概括的过程，以加深学生对知识的深入理解，体会数学方法的作用，领会数学思想，建立符号意识和应用意识，提高学生数学思维能力。

（3）整式。整式是“式”中最基础的内容，整式的运算是从具体到抽象过程的进一步深入和发展。合并同类项和去括号法则，是进行整式加减和乘法运算的依据，而整式加减和乘法运算又是一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组））求解的基础，是重要的基本技能，必须熟练掌握和运用。

在教材中，安排在七上的整式的加减和七下的整式的乘法，均结合具体的情境，充分展现知识发生、发展的过程，关注新旧知识间的联系，使学生体验从具体问题情境抽象出符号表示的过程，发展符号意识，感受计算原理，提高运算能力，培养应用意识，并为后续学习方程和不等式，以及函数起到奠定基础的作用。具体教学时，必须要结合学生年龄较小、专注时间较短、感性思维较强等特点，多多创设与学生联系密切的、生动有趣的问题情境，将学生导入到对问题的探究解决中去，通过动手、动口、动脑的有机结合，确保学生扎实掌握。

七年级的最后一章是因式分解。教材围绕因式分解的概念和因式分解与整式乘法的关系，设置了一系列探究活动，使学生在活动中感悟内容的本质;在因式分解的方法上，关注知识的形成过程，紧紧抓住因式分解与整式乘法的联系，充分运用单项式乘多项式和乘法公式知识进行因式分解，使知识的生成符合学生的认知规律。

因式分解是整式的一种恒等变形，将整式变换成乘积的形式，对今后研究整式方程是一种重要的理论依据和求解的有效办法，更为八年级首章“分式的学习”作好铺垫。提公因式法和公式法是实施因式分解的基本方法，是通法;十字相乘法虽然也是因式分解的一种方法，不是通法，教学中可以介绍给学生，但不宜做更多的训练。

（4）一元一次方程和二元一次方程组。在学习了代数式和整式的加减后，为一元一次方程和二元一次方程组的学习做好了铺垫，因此，教材紧接着在七上最后一章和七下首章，安排学习最基本的等量关系——一元一次方程和二元一次方程组。

教材采用结合实际情境建立方程及其解的概念，帮助学生领会其意义，揭示等式的基本性质，运用等式的基本性质和整式加减的知识，探究一元一次方程的解法，经过观察、抽象和概括，归纳出解一元一次方程的一般步骤。在具体解方程（组）强化基本技能的过程中，引导学生充分体会转化和化归的数学思想方法，以及推理在研究数学中的作用。

结合现实的、有意义的、富有挑战性的问题，依据问题中的相关信息，将问题数学化，并梳理其中的数量关系，设定未知数并布列方程（组），有条理地、逐步深入地寻求解决问题的方法和途径。这一过程，要引导学生独立思考，合作交流，既能巩固所学知识和方法，又能获得参与数学活动的经验，培养和提升数学能力。研究解决实际问题，既是学习一元一次方程和二元一次方程组的出发点，又是学习它们的落脚点;既是重点，又是难点。从实际问题中抽象出一元一次方程和二元一次方程组的过程应贯穿于这部分内容的始终，要将解方程（组）与实际应用问题有机结合，这是突出重点、突破难点的有效途径。

这两章的突出特色：对方程本质的理解，特别重视代数方法与算术方法的对比，在对比中感悟方程的作用。如在一元一次方程的导入时，通过“鸡兔同笼”的问题情境，采用列方程和列算式两种方法，对比给出解决问题的过程，同时还让学生感受到中国悠久的数学文化。在两种方法的比较中，认识到学习方程的必要性以及构造方程的基本依据，初步体会模型思想。如此处理，知识衔接自然，符合学生的认知规律。二元一次方程组的导入，突出体现二元一次方程组与一元一次方程的比较，让学生体会他们之间的联系和区别，认识到由繁到简、由难到易解决问题的转化思想，让学生感受到设两个未知数，找两个等量关系，列一组方程求解，比列一元一次方程条理更清晰，列相应的代数式也比较容易。这样有利于学生注重知识间的前后联系，进一步体会方程模型思想的价值和作用。

（5）一元一次不等式（组）。“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，二者相辅相成，形成对数量关系的完整认识，是进一步学习数学不可缺少的基础知识和有效工具，也是分析和解决一些实际问题的重要方法。

一元一次不等式和一元一次方程的關系十分密切，具有知识和方法“迁移”的特点，教材在七下一元一次不等式（组）中，采用和一元一次方程相同的展开方式呈现内容。如通过呈现学生熟悉的实际问题情境，展现知识发生、发展的过程，进而引入不等式的有关概念，使学生经历用模型和符号表示实际问题的过程，加深对概念的理解;借助数轴，利用数形结合探究不等式的性质;通过类比解一元一次方程的过程解一元一次不等式，发现它们之间的异同，加深理解和运用。教材采用问题情境、一起探究的形式，解决有关一元一次不等式的实际问题，使学生初步体会一元一次不等式的建模过程，有利于培养数学建模能力。

教学时，要结合现实情境，让学生充分经历知识产生、发展的过程，充分感受不等式是表示同类量不相等关系的重要数学模型;类比方程进行教学，充分体会方程与不等式之间的内在联系和区别，从整体上把握知识，提高综合运用知识的能力;强化学生的应用意识，让学生从多角度思考和分析问题，经历完整数学化的过程，突出模型思想的渗透，体会数学思维的特点，提高独立思考的水平和推理能力。

2.八年级内容分析。在八年级的11章教学内容中，八上有三章数与代数的内容，分别是：分式和分式方程、实数和二次根式。这三章内容分别是“数”与“式”和“方程”内容的拓展与提升。在八下的五章内容中，仅有两章数与代数的内容，分别是函数和一次函数。这是学完“数”与“式”内容，以及一次方程、分式方程和不等式等知识的基础上，又在八下学习了“平面直角坐标系”之后，紧接着系统学习由常量数学向变量数学过渡的函数有关知识，既是学习内容的自然延续和拓展，又符合学生的认知特点，有利于学生理解和掌握。

（1）分式和分式方程。分式是整式内容的自然延伸，分式方程是一元一次方程和二元一次方程（组）的进一步发展。教材中结合现实情境建立分式和分式方程的概念，充分体现分类比较、归纳概括的数学思维过程，突出模型思想和建立模型的过程，降低了概念过分形式化的要求，有利于发展学生的符号意识。让学生充分经历与分数类比、提出猜想、获得分式基本性质和运算法则的过程，增强对性质和法则的理解，发展合情推理能力。在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程，有利于学生感悟数学思想，积累数学活动经验。

教学中，要让学生充分经历概念的形成过程，把知识的获得建立在数学思考的基础上。引导学生把握分式概念的本质，即分式除对字母实施加法、减法、乘法和乘方运算外，以对字母实施除法运算（形式上表现为分母含有字母）为主要特征。分式的运算，实际上是分式基本性质和运算法则的运用，要让学生在理解算理的基础上选择算法，通过适量题目训练提高运算能力。在分式方程求解和应用中，要让学生在具体操作探究中，理解去分母的目的和由此产生增根的原因，从而体会去分母的意义和验根的必要性。在分式有关内容的生成和延伸过程中，“类比”和“转化”的数学思想发挥了关键作用，要及时进行总结和提炼。

教材将分式方程的内容安排在学习分式之后，从“式”到“方程”实现了整合，便于从分式的运算过渡到分式方程的解法，有利于学生体会“式”与“方程”的联系与区别。

（2）实数。有理数扩充到实数，既是现实生活的需要，又是数学自身发展的需要。由于加与减、乘与除的互逆关系，乘方的互逆对象又如何呢？事实上，现实生活中经常遇到开平方和开立方的运算，因此，教材通过实例引入乘方的逆运算——开方运算，使学生认识到学习开方的必要性，进而自然引入平方根、算术平方根、立方根等概念，为数系的扩充做好了必要的铺垫。

教材以数的开方为基础，设计了“三角形拼接正方形”的操作探究活动，让学生充分经历、体验、感受现实生活中存在无理数，建立无理数的概念水到渠成，顺利实现了数系的第二次扩充，建立实数集。给出实际情境，通过观察与思考，合作与交流，体会无理数可以用数轴上的點表示，教师可以进行适当的实例补充，使学生进一步认识无理数存在的普遍性，进而建立实数与数轴上的点一一对应的认识。对于实数的有关概念和运算，通过类比有理数有关概念和运算律来进行，通过运算律简化运算，运用运算律解决简单的实际问题，这样既突出体现知识的前后联系，又能较好展示数系的发展规律。

在解决实际问题时，大多用到的是近似数，因此，用有理数估计一个无理数的大致范围，既是培养学生数感的一个重要方面，又能让学生充分感受和体会确定实数范围的方式和手段，提高数学思维能力。教材自然引出本章最后一节内容——近似数，并结合大量实际问题，强化学生对近似数及其相关概念的认识和理解，进一步体会“数”在现实生活中的地位和作用，帮助学生建立数感，提升数学抽象素养。

（3）二次根式。在实数之后，教材紧接着安排了二次根式的学习，这样就实现了“数”和“式”两类知识的层次对比，而两章内容相连，又体现了从数到式的知识演进。二次根式的内容，以算术平方根为基础，结合实际问题的需要，引入二次根式的概念，并以算术平方根的唯一性为依据，得到二次根式的性质，有利于学生理解抽象概念和获得性质的一般过程。二次根式的化简和计算以学生积极参与为主，既突出依据，又重视方法，特别关注类比思想方法的运用，使学生真正认识到新旧知识间的区别与联系。

最简二次根式和分母有理化，完善了有关二次根式的知识体系，这样既深化了对无理数的认识，充实了二次根式的运算，较好地解决了与高中数学的衔接，又有助于优化符号意识，提高运算能力，为进一步学习数学，解决有关函数与方程的问题，提供了有利条件。

实数与二次根式是初中阶段“数”与“式”的收关知识，而分式方程的引入，无疑将所学的一元一次方程和二元一次方程（组）提升到了一个新高度。因此，八上“数”与“式”和“方程”的内容无论从知识层面，还是从能力方面都对学生提出了较高的要求。

（4）函数。八下“函数”一章，是对函数内容宏观、系统的呈现。教材通过对大量熟悉的、不同形式（表格、图象、柱状图等）呈现的具体问题的归纳和抽象，帮助学生认识和理解常量、变量、函数等概念;结合具体实例，通过“做一做”的形式，让学生充分经历函数的三种表示法，即列表、图象和解析式，同时将文字语言、图形语言、符号语言有机结合在一起，使用简练的数学语言表述现实问题，体会实际问题表述的多样化，有利于学生把握好函数有关概念的实质，深刻体会两个变量之间的对应关系。通过学生的探究交流，教师的适当引导，用函数解决一些简单的实际问题，有利于加深学生对函数概念的理解，体会函数模型的作用。

对本章的教学，不要引入过分形式化的函数定义、定义域和值域的概念，仅要求能够达到数学课标的要求即可。同时，在建立和运用函数模型的过程中，由于函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，因此要强化变化和对应思想的渗透。

（5）一次函数。在对函数有了初步认识后，系统学习简单而重要的具体函数——一次函数的相关内容自然又合理，有利于学生理解和掌握。教材中加强了与小学“成正比例的量”的衔接。首先从“成正比例的量”入手，建立正比例函数的概念，然后扩展到一次函数的概念，并讨论两者之间关系。这样的编排是从学生已有的数学知识基础出发，使新知识的引入自然合理，同时采用由特殊到一般的归纳方式，也符合学生的认知规律，有利于学生理解并掌握知识，积累数学活动经验。

对一次函数性质的研究，教材突出了数形结合，借助函数图象研究函数性质。从变化和对应的观点，引入一次函数的概念，并研究其图象和性质，是数学知识和方法的自然延伸，是对线性运算认识的深化，同时还对后继要学习的反比例函数、二次函数做好了铺垫。在本章还需重视一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在联系，这些均对学生的知识储备和数学思维能力提出了较高的要求，要及时复习，以实现前后知识的无缝对接。

函数有关内容的教学，必须要关注学生已有知识基础，紧密联系实际，并结合实际问题将联系和变化这一函数的本质特征，以及函数的基本思想和方法，做到含而不露和深入浅出地呈现出来，以适应大多数学生的认知水平和思维能力，这种做法应贯穿于函数教学的始终。

3.九年级内容分析。在九年级10章教学内容中，仅有三章“数与代数”的知识，分别是九上“一元二次方程”和“反比例函数”，以及九下的“二次函数”。章目虽少，但意义重大！

（1）一元二次方程。一元二次方程一章的知识容量大、学习要求高，它既是初中阶段数与代数的重要内容，更是学生继续学习和深造的重要基础。一元二次方程可以在更高、更深的层面上，表达实际问题中含有未知数的等量关系，成为一种应用更为广泛的数学模型。

学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程等，对于方程模型的作用有了比较充分的认识，具备了研究方程问题的一般思路和方法，这为学习一元二次方程做好了充分的准备。因此，教材仍然采用学生所熟悉的实际问题，建立一元二次方程的有关概念，让学生继续充分经历将实际问题符号化和模型化的过程，进一步体会方程模型的重要作用，发展学生的应用意识和模型思想。由于一元二次方程解法的多样性和复杂性，需要针对不同的问题，设计不同的思路，选用不同的方法，这对培养学生数学思维的合理性、深刻性和灵活性，具有重要的作用。如配方法和因式分解法体现了解一元二次方程的基本策略——降次，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，也体现了化归的思想，同时配方法也是公式法的基础，且在推导公式的过程中，体现了由特殊到一般，由具体到抽象等具体的数学思维特征的通法，可以有效地提高学生的推理能力和运算能力。应用一元二次方程解决实际问题，同利用其它方程或不等式解决实际问题中的方法和思路基本相同，应引导和鼓励学生将已有的知识和经验，应用到新知识的学习之中。

教學时，要结合丰富的问题情境，让学生真正经历模型化的过程;要关注学生的探究过程和交流活动，重视新旧知识之间的联系;要加强思想方法的渗透，突出应用意识的培养。对于一元二次方程根与系数的关系，要适当控制好难度，不要进行引申和拓展。

（2）反比例函数。反比例函数也是初中阶段所要学习的基本函数之一，是一类比较简单但又重要的函数，具有广泛的应用价值。学习它既要以已有的研究函数的经验和方法为基础，又要深化和丰富对函数的认识。

本章类比“成正比例的量”抽象出“正比例函数”的过程，自然引出有一对成反比例的量可以抽象出什么类型的函数，并结合丰富的实例，从不同角度抽象出反比例函数的本质属性，再进行概括，这样不仅有利于学生理解反比例函数的意义，也为画反比例函数的图象、探索其性质作了充分的铺垫。回顾画函数图象的一般步骤，引导学生独立完成画反比例函数图象的过程，再根据反比例函数的图象探索其性质，既要重视直观观察函数图象的变化规律，也应注意运用两个变量的对应值和表达式，发现函数的变化规律，这不仅从整体上探索并理解了反比例函数的性质，而且进一步揭示了函数三种表示方法的内在联系，较好突出了数形结合的意义和作用。在反比例函数的应用中，对教材中的实际问题和跨学科问题，不应看作是单纯公式变形，应将其中某两个量视为变量，建立反比例函数的模型来解决问题，增强学生的应用意识。

在教学中，要注重揭示知识之间的内在联系，帮助学生构建知识网络，有助于学生进一步把握研究函数问题的方法和思维规律。

（3）二次函数。二次函数是在学习了一次函数、反比例函数的基础上，学习的又一类重要函数，是函数内容的继续和延伸，是初中阶段函数研究内容中最为丰富的函数，也是高中阶段进一步学习其他函数的重要基础。

教材采用了与前面研究函数问题相同的形式，提供现实问题情境，让学生充分经历建立二次函数模型的过程，有助于学生对二次函数及其相关概念的理解;采用由特殊到一般、由简单到复杂的方式，逐步深入地探索二次函数的图象和性质，有利于学生对内容的理解和掌握，其中特别突出了配方法的地位和作用，如：二次函数用配方法化顶点式，既体现了配方法的重要性，又显示出二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换，凸显了数形结合的数学思想;对于二次函数的应用，教材提供了丰富的、不同类型的实例，让学生充分经历建立二次函数模型，以及应用模型解决实际问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识。

教学时必须让学生充分经历二次函数概念、图象、性质的形成过程，以及建立二次函数模型解决实际问题的过程，留给学生充足的操作、观察、思考、探究、合作交流、归纳猜想的空间和时间，让他们在亲身经历获取知识的同时发展数学思考，感悟思想方法，积累活动经验，发展应用意识。

由于本章内容是函数内容的最后一章，也是“数与代数”内容的收关之篇，要特别注重体现知识之间的联系，综合运用各种知识来解决问题。如各种函数表达式、图象、性质进行比较，体会二次函数与一元二次方程的联系等。

总之，对于“数与代数”教学内容，只有在吃透数学课标要求，站在知识系统的高度，并全面掌握知识之间联系的基础上，结合教材的结构特点，注重数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性，才有可能掌握每堂课教学内容的地位和作用，设计出重点突出有措施、难点突破有方法，核心素养能体现的教学设计。