立足核心素养，引导理论探究

刘骧

摘 要：在文章详细记述了余弦定理的教学设计及其过程。通过提出实际问题—联系旧知—得出新知。设计此教学环节，培养了学生分析、解决问题的能力以及数学抽象、数学运算等核心素养。

关键词：解三角形;余弦定理;数学核心素养

教学内容为《数学（必修5）》（苏教版）第1章“解三角形”第2节“余弦定理”。本课作为章节的起始课，是在学生已学的解直角三角形、三角函数、向量和正弦定理等知识的基础上，发现并证明余弦定理。

教学中要引导学生发现余弦定理，启发学生由向量数量积的多种解法。让学生体会定性与定量、特殊与一般等思想方法。培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养。

教学目标：通过研究三角形与三角函数、向量之间的关系，发现和证明余弦定理;

教学重点：余弦定理的发现和证明。

教学难点：用向量法推导余弦定理。

1 教学引入

问题1：在一个湖中有两个与陆地相临但彼此不相接的半岛，如何求这两个半岛间的直线距离？

【设计意图】

引导学生对测量直线距离进行数学建模，构造以陆地、小岛为顶点的三角形中，将该测量情境转化为“已知三角形中的两条边及其夹角，求另外一条边”的问题。

这个题学生很容易解决，即转化为：在△ABC中，已知AC=b，AB=c和角A，求a。

问题2：回顾一下你所学的知识，如何解决这个问题？

【设计意图】学生刚刚学习过正弦定理（正弦定理可解决一类是已知两角及其一边解三角形;另一类是已知两边及其一边的对角解三角形的问题），但用这种方法解决该问题的过程很繁杂。

2 教师引导，联系旧知

问题3：从该题所涉及的三角形看（已知三角形的两条边长及其夹角），我们在哪儿见过类似的条件？

【设计意图】用类比已知条件的方式让学生回忆平面向量数量积的相关问题。利用向量具有几何形式和代数形式的“双重特性”，将几何关系转化成代数关系。

在例题的板演环节，有针对性地请了两名学生，比较了他们在求解时所使用的两种方法，让学生感受选取正弦和余弦定理解题的利弊。同时，已知两边及其夹角，此三角形唯一可解.教师可让学生回顾初中时全等三角形的的判别方法，正、余弦定理的出现衔接了两部分内容，给出了解三角形出现边角多解的原因。

5 回顾反思

5.1 以史为鉴，挖掘教材

余弦定理是在初中已學的“边的关系”勾股定理（a2+b2=c2）基础上的拓展延伸。在非直角三角形中，a2+b2≠c2，那么，它们究竟相差多少呢？有无规律或结论？这进一步引发数学思维上的深入思考，于是对“边角关系”展开等量探索。同时，当角A为直角，即在直角三角形中为0，勾股定理成立，即为余弦定理的特例。

5.2 多种证明，把握逻辑联系

正弦定理和余弦定理同是对于三角形边角关系的探讨结果，在教学中均是通过类似的生活、数学情境引入以体现课堂教学的高效性。在教学中，以“向量数量积”为核心，顺势引导，学生自然会将求解向量数量积的多种方法进行思考，多种证明方法不是简单的罗列，而是有机的组织，形成联系，便于学生形成良好的知识框架体系，发展思维能力，提升核心素养。虽然余弦定理的证明方法很多，但本节课的学习重难点是用向量法推导余弦定理，引导学生回顾向量以及用向量法解决问题，而其余的多种证法要求学生在课下完成，实现课堂教学效率的最优化。让学生逐渐明白数学证明的作用不只是确认结论的正确性，抓住知识体系之间的联系融合，促进学生加深对数学的理解，体会数学是自然的。

参考文献：

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