浅谈数学教学中的数形结合

邱映芬

摘要：“数形结合”是初中学生必须掌握的一种数学解题思想，是学好初中数学的关键所在。运用数形结合的思路，可以使初中数学中的复杂问题简单化，抽象问题具体化，不仅能提高教学质量，还能提高学生学习能力，培养学生创新能力。

关键词：数学教学;数形结合;几何

八年级的数学，学习内容相对七年级更多更难了。八年级上学期，需要学习三章几何，两章代数。在几何的学习中，没有一章的内容是简单的，八年级的几何学习，需要更多的逻辑推理和空间想象，才能在遇到几何综合题时，能分析条件，找到条件和结论的关系，做辅助线解题;代数知识也比七年级的更加难，八年级上学期会结束有理式的学习、幂的运算、乘法公式和因式分解、分式的运算。为了让学生更好的掌握数学知识，培养数形结合的解题思想很重要。

什么是数形结合思想？

数，指的就是代数;形，一般指的是图形，也就是几何图形，常说的几何图形有直线、三角形等。“数”和“形”是数学中最基本的概念，也是最古老的研究对象，它们既是对立的，又是统一的，在一定条件下是完全可以互相转化的。

数形结合就是指通过数和形的联系来解决数学问题，也就是将抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系巧妙的结合起来，既分析其数量关系，又揭示其几何意义。在解决代数问题的时候，利用图形找到解题思路;或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，是一种优化解题过程的重要途径，是一种基本的数学方法。

著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，割裂分家万事非;切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。”这充分说明了数形结合在数学学习中是非常重要的。

我们可以从“以数助形”和“以形助数”两种情形来全面理解数形结合思想。

一、以数助形

“以数助形”就是借助数的精确性来阐明形的某些属性，也就是给一些过于简单、找不出规律的图形赋值，这样的话，有助于学生找到一些隐含的条件，利用这种隐含的条件找到解题思路。

（1）数轴、直角坐标系

数轴在数学教学中有着广泛的应用，数轴上的点和数是一一对应的，可以帮助学生快速的分析数量之间的关系。利用数轴可以分析绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加减乘除等运算。

例如华师版八年级数学上典型题：

已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简

解析：a<0，a+b>0，c-a<0，c<0，原式=-a+a+b-c-a-2c=-a+b-3c

零的左边就是负数，右边就是正数;相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数，零的相反数就是零的本身，也就是原点;绝对值就是这个数的点与原点的距离。题目中的图片，可以让我们很形象的看出，哪些是正数，哪些是负数，以及数与数之间的大小。

这道题目就是通过数轴的建立，结合负数、相反数、绝对值的概念，通过数轴的直观描述，很容易找出两点之间到原点的距离大小，找到数值的正确位置，使问题条理分明，印象深刻，极大的减少了学生学习的阻力。不等式也可以通过数轴简化不等式的解法。

直角坐标系在初中数学教学中也占有非常重要的地位，可以看成是升级版的数轴，我们可以通过直角坐标系来解决一次函数、反比例函数、二次函数的难题，将一些复杂计算、概念化的问题简单化。

（1）几何图形

我们所看见的一切都是由点、线、面等基本几何图形组合而成的，几何图形就是实物中抽象出的各种图形。几何知识的综合运用是数学学习的难点，同学们往往不知道如何分析条件，如何找到条件和结论的关系。“以数助形“就是合理利用角度、距离、面积等几何数据来解决几何问题，例如利用勾股定理来证明垂直关系，就是一种比较常见的“以数助形”的方法。

例如经典案例题：

若等边三角形的边长是2，求此等边三角形的面积。

解析：如图，等边三角形ABC，AD垂直BC于D，因為等边三角形底边上的高与底边上的中线相互重合，所以BD=1/2BC，所以BD=1;在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，AD2=AB2-BD2=4-1=3，所以AD=， S∆ABC=1/2*BC*AD=

由于缺少我们求三角形面积熟悉的高，我们可以先在图上虚构一条辅助线，作为一条边上的高，再跟进面积公式求值。其实也就是利用勾股定理，用数形结合的思维推导在几何图形中找出隐藏的条件。只要认真审题，全面分析，灵活运用相关的判定、性质和定理，熟练利用数形结合的解题思路，就能够使相关几何问题的求解得到极大的简化。

二、以形助数

“以形助数”就是借助几何图形来阐明数据之间关系，也就是将一些比较单调或枯燥的数据置于图形中研究。

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，是八年级教学本里非常难的一章，也是中考的重点考察内容。解函数题的关键就是要懂得看图，一般就是自己能画一个草图来整理自己的思路，理解题目的意思，然后解答问题。

例如八年级期末备考经典题：

如图，一次函数y=ax+b的图象经过A/B两点，则关于x的不等式ax+b<0的解集是？

解析：考查一次函数与不等式。Ax+b<0，即当x取何值时，函数值y<0;由图象知，当x<2时，函数值y<0，即ax+b<0的解集为：x<2

这道题目就是一次函数常考的类型，是很明显的看图得信息。只要知道横坐标和纵坐标分别代表什么，就可以得出答案了。一次性函数题目，一般都是借助图象来求函数的解析式或交点的坐标，或者与坐标轴的面积。只要合理利用“以形助数”的思路来解题，就会发现数学其实也并没有想象的那么难。

八年级上学期学习了一次函数之后，下学期会开始接触反函数、二次函数，相对一次函数而言，题型会更复杂一点，但是如果掌握了数形结合的解题思路，学会分析题目、比较归纳，自我总结思路画图，充分利用几何图形的直观形象，理解代数方法的一般性，从数与形的联系中发现规律，了解代数知识的几何背景，解题的过程中想必也不会有什么困难了。

参考文献：

[1]王繁. 浅谈初等数学教学中的数形结合思想   成都教育学院学报  2016.06.

[2]张宏良. 浅谈数学教学中的数形结合思想   衡水学院学报  2005.03.

[3]张连延.谈数形结合思想在解题过程中的巧用  学科探究.

[4]任庆娥，张萍. 数形结合思想在解题中的应用  渭南师范学院学报.

[5]《义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册》 人民教育出版社.