加权空间平滑TLS-ESPRIT算法性能分析

郑 棋，肖曼琳，施华杰，陈兴杰

(上海工程技术大学 城市轨道交通学院，上海 201600)

0 引言

信源波达方向估计是阵列信号处理领域里的一个重要分支，基于信号子空间的超分辨算法以其高精度的角度估计性能成为研究重点，典型代表是TLS-ESPRIT算法[1-4]。但在相干信源环境下，因信号子空间和噪声子空间不满足正交性，奇异的信源协方差矩阵的秩小于信号源数，使得该算法失效[5]。

为了解决TLS-ESPRIT算法不能处理相干信源定的问题，文献[6-8]提出了空间平滑TLS-ESPRIT算法，把ESPRIT算法[9-12]和空间平滑算法[13-16]相结合，通过构造前后向平移旋转矩阵，充分利用每个阵元构造出2个子阵列，扩大阵列的有效孔径，提高了对相干信源的估计精度[17]。为了进一步提高TLS-ESPRIT算法对相干信源波达方向的估计性能，提出了一种加权空间平滑TLS-ESPRIT算法，直接利用阵列的接收数据构造加权矩阵，并利用子阵间的协方差矩阵的特殊关系，对加权矩阵进行空间平滑。通过仿真实验，证明了新算法的有效性。

1 信号模型

假设均匀线阵的阵元数为M，阵元间隔为d，有k个窄带信号入射到天线阵列，入射角度为θk(k=1,2,…,K)，以第一个阵元为参考阵，则信号入射到天线的示意图如图1所示。

图1 天线阵列及来波方向示意图

则信号在第m个阵元上的接收数据为：

(1)

式中，am(θk)为第m个阵元上第k个信号的响应矢量，sk(t)为第k个信号的复包络，nm(t)为阵元m在t时刻的噪声值。

则线阵所接收的输入信号的向量形式为：

As(t)+n(t)。

(2)

定义阵列接收数据的协方差矩阵为：

Rx=E[X(t)XH(t)]=AE[S(t)SH(t)]AH+

E[N(t)NH(t)]=ARSAH+RN，

(3)

式中，RS，RN分别表示信号的协方差矩阵和噪声的协方差矩阵。

在阵列接收的信号中，信号之间的相关性用相关系数表示为：

(4)

式中，si(t)，sk(t)为2个信号源。根据相关系数pik，对不同信号的关系可以定义为：

(5)

2 常规TLS-ESPRIT算法

假设均匀线阵包含M个阵元偶，每个阵元偶包含2个响应特性完全相同的阵元，且这2个阵元之间相差位移矢量Δ。把阵列分成2个平移量为Δ的子阵Zx,Zy,2个子阵列相对应的阵元具有相同的平移量，故2个子阵列相差一个旋转矩阵Φ。有N个信源入射到阵列，则子阵Zx,Zy的接收数据为：

Zx=[a(θ1)a(θ2)…a(θN)]S+N1，

(6)

Zy=[a(θ1)ejφ1a(θ2)ejφ2…a(θN)ejφN]S+N2=AΦS+N2，

(7)

式中，Φ=diag[ejφ1,ejφ2,…,ejφN]，N1，N2为噪声矢量，S为信源，A为阵列的导向矢量。

定义整个阵列的接收向量为Z，用子阵列接收向量表示，则Z的表达式为：

(8)

(9)

式中，Rz为信号的自相关矩阵，σ2为噪声方差。

对R进行特征分解，取R的特征值中N个最大特征值构成信号子空间，并分成Ex，Ey两部分，则存在一个唯一的、非奇异的N×N维满秩矩阵T，使得Ex，Ey满足如下关系：

(10)

利用Ex,Ey计算下列特征值：

(11)

式中，Λ为信号子空间，将E分解成N×N维的子矩阵，并构造Ψ，计算Ψ的特征值λk(k=1,2,…,N)：

(12)

(13)

利用所求的特征值估计信源方向θn(n=1,2,…,N):

θn=arcsin{c·angle(λk)/(ω0d)}。

(14)

当信源相干时，E不是满秩矩阵，式(13)求解的特征值小于信源个数，这是常规TLS-ESPRIT算法不能解相干的原因，需要进行相干处理。

3 空间平滑TLS-ESPRIT算法

文献[6]为了使TLS-ESPRIT算法也能处理相干信号，引入了空间平滑算法[3]，如图2所示。把Zx,Zy分成相互交错的p个小子阵，每个小子阵的阵元数为m，满足M=p+m+1。

图2 空间平滑算法原理图

(15)

式中，Am为第m个子阵的阵列方向矢量，Fi=[0m×(i-1)|Im|0m×(M-m-i+1)]，i=1,2,…,p，S为信源，N1为噪声矢量。

(16)

式中，Fl=[0m×(l-1)|Im|0m×(M-m-l+1)],i=1,2,…,p，Rs为信源的自相关矩阵，σ2为噪声方差。

(17)

(18)

(19)

4 加权空间平滑TLS-ESPRIT算法

为了进一步提高算法的角度估计性能，提出了加权空间平滑TLS-ESPRIT算法，算法的实质是对TLS-ESPRIT算法的协方差矩阵R进行2次平滑处理，利用第1次对TLS-ESPRIT算法协方差矩阵R的平滑处理得到加权矩阵Wz，再利用Wz对第2次平滑处理得到的协方差矩阵进行加权。

① 分割子阵,分割后小子阵的阵元数目为p，则小子阵数为L=M-p+1，取L,p>m。采用前后向空间平滑算法得协方差矩阵：

(20)

式中，Fk=[0p×(k-1)|Ip|0p×(N-k-p+1)]，J为与R同维数的置换矩阵，(·)*表示共轭，可知Wz为p×p维对角矩阵。

② 分割子阵，保证所取小子阵的阵元数L，小子阵数p，满足p+L+1=M。利用所求的Wz对前后向阵列协方差矩阵中p2个自、互相关矩阵加权，得到新的协方差矩阵：

(21)

③ 利用常规TLS-ESPRIT算法，式(8)～式(14)对新的协方差矩阵Rwz进行相干信号源的DOA估计。

加权空间平滑TLS-ESPRIT算法，相比空间平滑TLS-ESPRIT算法，更加充分地利用了子阵输出的自相关和互相关信息，提高了信号子空间与噪声子空间的正交性，对相干信源具有更好的角度估计性能。

5 仿真实验结果

实验1：采用阵元间距为半波长d=λ/2，快拍数n=1 000，信号频率fc=300 MHz，总阵元数M=16的均匀线阵。第1次空间平滑小子阵的阵元数p1=5，第2次空间平滑小子阵的阵元数p2=12。假设相干信号源入射角度为0°,30°,40°，50°,60°，对加权空间平滑TLS-ESPRIT算法(WFB-ESPRIT)和空间平滑TLS-ESPRIT算法(FB-ESPRIT)在不同信噪比下分别进行了10 000次Monte Carlo实验。

WFB-ESPRIT算法与FB-ESPRIT算法在不同SNR时的均方根误差如图3所示。由图3可知，随着SNR增大，2种算法的角度估计方差都在降低。当SNR高于7 dB时，2种算法均对相干信源方向有较准确的估计，但在同样的信噪比下，WFB-ESPRIT算法明显比FB-ESPRIT算法的角度误差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同SNR下优于FB-ESPRIT算法。

图3 不同信噪比方位角估计误差比较

实验采用阵元间距为半波长d=λ/2，SNR=10 dB，信号频率fc=300 MHz，总阵元数M=16的均匀线阵。第1次空间平滑小子阵的阵元数p1=5，第2次空间平滑小子阵的阵元数p2=12。并假设相干信号源入射角度为0°,30°,40°，50°,60°，对WFB-ESPRIT算法和FB-ESPRIT算法在不同快拍数下分别进行了10 000次Monte Carlo实验。

WFB-ESPRIT算法与FB-ESPRIT算法在不同快拍数下的均方根误差如图4所示。由图4可知，在多个相干信源环境下，可以看出2种算法均能对相干信源方向有较准确的估计，但同样的快拍数下WFB-ESPRIT算法明显比FB-ESPRIT算法的角度误差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同快拍数下优于FB-ESPRIT算法。

图4 不同快拍数方位角估计误差比较

6 结束语

针对常规TLS-ESPRIT算法不能处理相干信号问题，提出了一种加权空间平滑TLS-ESPRIT算法。该算法通过对子阵的巧妙划分，对空间平滑算法进行嵌套使用，充分利用了阵列输出的自相关和互相关信息，提高了信号子空间与噪声子空间的正交性，使其对相干信源的处理具有明显的有效性。实验结果表明，在相同信噪比和快拍数下，WFB-ESPRIT算法均优于FB-ESPRIT算法，表明了新算法的有效性。