多用户FDD大规模MIMO下行系统能效功率分配算法

郭 慧，杨少川，张松炜，王 毅,2*

(1.郑州航空工业管理学院 智能工程学院，河南 郑州 450046；2.国家数字交换系统工程技术研究中心，河南 郑州 450002)

0 引言

为了满足无线传输在容量、速率、广域覆盖以及多样化业务等方面的需求，无线通信设备的能量消耗迅猛增长，这使得运营商的成本支出也大幅攀升，而更为重要的是，越来越多的无线设备能量消耗对全球温室气体效应也造成了巨大压力[1-2]。正因为如此，以能效为设计准则的绿色通信理念吸引了学术界和工业界越来越多的关注，也成为未来无线通信系统的主流发展趋势[3-4]。绿色通信以单位功耗下的传输速率为衡量指标，由传统的单一追求速率最大化或功率最小化为设计准则[5-6]，转向兼顾速率性能与功率消耗的折中设计[7-10]，在追求高速率的同时尽可能降低功率消耗，从而达到能量利用率的最大化，以减少对环境造成的影响。

近年来提出的大规模多输入多输出技术(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)通过开发大维天线阵列空域资源，配备数十根到上百根天线，在不增加额外时域、频域和功率域资源的前提下，可有效提升频谱效率、降低发射功耗、减轻多用户间干扰、简化上层调度等等[11-12]。因此，大规模MIMO技术也被业内给予厚望，在5G移动通信系统的关键性能指标实现过程中扮演了重要的角色[13-14]。

现有蜂窝移动通信系统中大都采用FDD双工制式[15]，而针对FDD大规模MIMO系统的研究大多关注于下行导频(也称为训练序列)开销分析、导频信号设计以及低开销反馈量化方案等[16-18]。这主要是因为FDD制式中上下行信道不再满足互易性，信道估计需要由基站向下发送导频，再由用户向上反馈，这一信道信息获取方式会导致导频和反馈开销随基站天线数的增加而大幅增加。尽管导频开销在信道信息获取过程中十分重要，但是导频信号的功率也决定了信道估计的精度。特别是，有效数据信号的功率直接关系着通信系统最终的速率性能，以及由此带来的用户间干扰量级。此外，导频功率和数据功率还影响着整个系统的总功率消耗，而在能效准则下对导频功率和数据功率的分配问题尚未深入研究。最新的文献[19]研究了FDD大规模MIMO系统下行导频与功率资源分配问题，但是该模型只考虑简单的单用户场景，并未考虑实际的多用户模型。文献[20]研究了TDD制式多用户大规模MIMO系统的能效资源分配问题，但其主要考虑的是理想信道估计条件。而在实际的多用户通信系统中，特别是存在估计误差的信道信息条件下，用户间干扰会变得更为复杂，这些会对解决能效准则下的功率分配问题带来诸多困难。

基于此，本文考虑非理想信道状态信息条件下的FDD制式多用户大规模MIMO下行系统，解决能效设计准则下的基站下行训练序列信号和数据信号功率分配问题。建立以能效为目标函数，导频功率和数据信号功率为变量的优化问题，求解满足最优能效目标下的最优发射功率解。最后，通过数值仿真对所提出的功率分配算法进行验证。

1 系统模型与问题描述

1.1 FDD下行系统及传输过程建模

如图1所示，考虑一个单小区FDD制式大规模MIMO系统。该系统由一个基站和M个用户组成，基站配备大规模天线阵列，各用户配置单天线，且基站天线数为N(N≫M>1)。在FDD制式中，为了传输下行数据，需要先进行下行信道估计，再通过上行信道反馈估计信息，最后采用一定预编码方案进行数据发送。为便于分析，此处假设上下行信道为瑞利平坦衰落，且信道相干间隔为Tc(以符号长度计)，即在相干时长内信道系数近似不变。

图1 FDD多用户大规模MIMO系统

首先，基站使用前L(

(1)

式中，Yp=[yp,1,yp,2,…,yp,M]∈L×M，且yp,m为第m个用户接收到的导频信号，pp表示训练序列矩阵的每一列信号的平均发射功率，H=[h1,h2,…,hM]∈N×M为基站到各用户的下行信道向量所组成的信道矩阵，hm(m=1,2,…,M)为基站到第m个用户的下行信道系数向量，hm的各个元素为服从独立同分布的零均值单位方差循环对称复高斯随机变量，即hm～CN(0,IM)，Np=[np,1,np,2,…,np,M]∈L×M表示在下行信道估计阶段各用户端的零均值单位方差加性复高斯白噪声，即np,m～CN(0,IL)。通常各用户随机分散在小区内部，因此，基站到不同用户之间的信道系数向量满足统计独立性。

由于各个用户地理位置的分散性，用户间一般无法进行协作处理，各用户需要独立完成下行信道估计和数据解调。因此，第m个用户利用其接收到的导频信号yp,m对下行信道向量hm进行估计。此处，假设各用户采用最小均方误差(Minimum Mean Squared Error，MMSE)估计器，根据MMSE估计算法[21-22]可以得到hm估计值为：

(2)

(3)

显然，导频序列长度L与导频功率pp直接影响着信道估计信息的精确程度。

在基站得到下行信道状态信息后，采用大规模MIMO系统中普遍使用的最大比发送(Maximum Ratio Transmission， MRT)预编码进行下行数据传输，MRT预编码可在算法复杂度和性能之间处于较好的折中[12]。因此，基站发送的下行数据信号向量具有如下形式：

(4)

式中，x=[x1,x2,…,xM]T为基站向M个用户发送的下行数据符号向量，且该数据向量具有归一化功率{‖x‖2}=IM，(·)T表示转置运算，表示下行信道矩阵的估计值，θ表示基站对每个用户的下行数据的平均功率归一化因子[21]，即满足{‖s‖2/M}=1或‖·‖表示Frobenius范数。由此可得:

(5)

式中，Tr{·}表示矩阵求迹运算。

由于各用户对接收到的下行数据信号采用独立解调译码，因此，第m个用户的接收数据信号为：

(6)

式中，pd表示基站发送的下行有效数据的平均发送功率，nd,m～CN(0,1)为下行数据发送阶段在第m个用户处叠加的复高斯白噪声。根据最差情况不相干加性噪声理论[21]，根据式(6)可以得到第m个用户的遍历速率Rm为：

Rm={lb(1+γm)}=

(7)

式中，γm表示下行数据传输阶段第m个用户的等效接收信干噪比，|·|表示求模运算。考虑到信道估计开销，需将Rm乘以系统资源维度损失因子，即(1-L/Tc)Rm。最终，可以得到所有用户的下行遍历可达和速率为：

(8)

通过上述分析可以看到，导频信号功率关系到信道信息获取的质量，进而影响着预编码矩阵与实际信道矩阵的匹配效果，而数据发送功率直接决定了有效传输速率，也与用户间干扰程度有着密切关联，二者的作用最终通过系统的遍历可达速率反映出来。

1.2 能效函数定义及功率分配问题

整个系统的功率消耗主要由两部分构成：射频信号发射功耗和系统电路功耗[19]。在本系统中，信号发射功耗又包括导频信号功耗和数据信号功耗，电路功耗则是指的维持系统运行时的固定功耗。因此，在一定时间内系统的总能量消耗可以表示为[19]：

P=μppL+μMpd(Tc-L)+Tc(NP1+P2),

(9)

式中，μ≥1为射频功率放大器的功率转换损失因子，P1表示基站端每根天线的射频电路功耗，P2表示各电路模块的静态功耗，且P2与信号发射功率和天线数均无关。

基于绿色通信的设计要求，系统能效函数定义为遍历可达速率与能量消耗之比[19]：

(10)

因此，以最大化能效函数为目标，建立以导频信号功率和数据发射功率为变量的数学优化模型，

(11)

从式(7)和式(11)中可以看到，目标函数的分子形式非常复杂，其解析表达式难于求解，并且目标函数是分式形式，通常为非凸的。因此，该优化问题无法直接利用已有的凸优化方法直接求解。

2 基于能效最大化的功率分配算法设计

2.1 遍历速率解析表达式

对于式(11)中优化问题的目标函数解析表达式，主要难点在于求解分子上的遍历速率Rm的闭合表达式。此处，利用大规模MIMO系统天线数量巨大这一特征，并采用大维随机矩阵理论中的确定性等价近似方法[24]，可以得出遍历速率的一种有效近似解析表达式，有如下引理。

引理1：基站获得下行信道估计信息后，采用MRT预编码发送下行数据，在基站天线数N→∞时，可以得到第m个用户遍历速率的渐进极限闭合表达式：

(12)

证明：由文献[24]中引理1可知，当天线数N趋于无穷大时，可以得到式(7)中γm的分子分母各项极限值为：

(13)

将式(13)中各极限值替换式(7)中的各项，通过化简合并，便可得到γm的确定性极限值为：

(14)

进一步，由文献[21]中的主导收敛和连续映射理论可以得到Rm的确定性极限值为：

(15)

证毕。

尽管定理1中给出的遍历速率解析表达式是基于天线数趋于无穷大时所得到的极限形式，但是，该表达式在有限维度的系统参数配置条件下可以对遍历速率进行较好的近似[21,23]，通过仿真结果可以看到式(15)中的遍历速率解析表达式与蒙特卡洛仿真值具有良好的逼近效果。

(16)

2.2 优化问题求解

2.2.1 非凸问题近似转化及全局最优解存在性证明

(17)

式中，除了变量(pd,pp)之外，其余参数均为正常数。利用文献[25]中引理1的证明方法，可以得到能效函数η(pd,pp)关于其自变量的如下函数性质：

① 给定数据信号功率pd，η是关于pp的严格拟凹函数，且η随pp增加呈现先增后减的变化趋势；

② 给定导频信号功率pp，η是关于pd的严格拟凹函数，且η随pd增加呈现先增后减的变化趋势。

基于上述2个性质，可以证明式(17)中优化问题存在唯一的全局最优导频功率和数据功率，有如下定理。

(18)

证明：定义能效函数η(pd,pp)对应的α-上水平集Sα={pd,pp≥0|η(pd,pp)≥α}，由文献[26]中引理1的证明过程可知，当且仅当Sα在α取任意实数值时均为严格的凸集，则能效函数η(pd,pp)是严格的拟凹函数。下面，分别针对α取不同值时，对Aα的凹凸性进行判断。

若α<0，则无法找到满足η(pd,pp)=α的点。若α=0，则只有当(pd,pp)取(0,0)时才可使得η(pd,pp)=α。因此，η(pd,pp)在α≤0时是严格凸的。若α>0，首先将Sα变换为如下所示的等价形式，

(19)

(20)

(21)

(22)

式(21)和式(22)中的分母项P2显然大于零，化简后可以得到：

(23)

(24)

(25)

2.2.2 最优解闭合表达式推导及算法流程描述

从式(18)可以看出，最优导频功率与最优数据信号功率之间满足线性比例关系，且该常系数仅由系统用户数、导频长度以及信道相干时长所共同决定。尽管式(18)中最优功率变量具有简单的线性关系，但要直接求解式(17)的优化问题，特别是求解得到最优解的闭合形式十分困难。为了解决该问题，将式(18)代入式(17)，将优化问题进一步转换为单变量的优化问题，

(26)

为了求解式(26)中的优化问题并获得闭式解，根据分式规划的性质[27]，可将原优化问题转换为具有减法形式的等价优化问题，再通过交替迭代的优化方法进行求解。定义关于能效变量η的函数G(η)：

(27)

根据文献[9]中定理1可知，G(η)=0有且仅有一个零根，且该零根就是式(26)中优化问题的最优能效值ηopt。因此，当式(27)中取ηopt值时，所获得的最优功率解就是式(26)中优化问题的最优解。尽管事先不知道ηopt的具体值，但可以通过Dinkelbach方法[27]，进行两层交替迭代，求解得到最优能效值和最优功率值，即先给定能效值η，求解最优功率解pp，再用功率值pp更新当前能效值η时算法收敛。因此，求解最导频功率值的关键在于求解如下优化问题:

(28)

利用标准的凸优化方法[28]，将式(28)中目标函数对自变量pp求一阶导数，并令其为零，化简后可以得到：

(29)

根据求根公式，直接得到最优导频功率的闭合形式解：

(30)

由以上分析可知，在多用户FDD大规模MIMO下行系统中，可根据静态的系统参数(如用户数、导频长度、信道相干间隔以及射频功率损耗因子等)，对基站下行导频功率和数据功率进行分配，从而获得最优能效性能。同时，本文算法中仅有标量运算，具有较低的复杂度。

最终，可以得到基于能效最大化的功率分配算法具体步骤流程。

1.输入：能效初始值η0>0，迭代次数i=0，收敛精度ε>0

2.Repeat

3.基于ηi，利用式(30)获得最优导频功率值pp,i；

4.利用pp,i，更新能效值

5.更新迭代次数i=i+1；

对于本算法的收敛性证明可参考文献[20]和文献[27]中的类似过程直接得到，此处不再赘述。

3 仿真结果与分析

本节通过数值仿真对所提出的能效最大化功率分配算法进行验证并分析性能。仿真中所用到的系统公共参数设置如下：基站到每个用户的路径损耗因子为1，信道相干间隔Tc=1 000(它对应于200 kHz的信道相干带宽和5 ms的信道相干时间)，信道估计与数据传输阶段的加性高斯白噪声功率均归一化为1 W，基站发射机功率损耗因子μ=1，基站节点中各电路模块的静态功耗P2=1 W,迭代算法收敛精度ε=10-8。

通过蒙特卡洛数值仿真验证引理1中给出的遍历可达速率解析表达式精确性，并在训练序列长度L取不同值时，观察遍历可达和速率的变化情况，其中，蒙特卡罗数值仿真是通过生成5 000次独立信道系数条件下再求平均得到。图2中设置用户数M=10，导频信号功率和数据信号功率为pd=pp=10 W。从图中可以看出，引理1给出的遍历速率解析表达式理论值与蒙特卡洛数值仿真值具有良好的逼近性能。当训练序列长度L固定为16或32时，遍历可达和速率出现饱和状态，这是由于用于信道估计的导频序列长度固定后，信道估计精度无法提高出现平台效应，从而天线数的增加并不会对遍历速率带来更多的性能提升。而当训练序列长度随天线数增加时，即L=N，可以看到遍历可达和速率出现先增后减的趋势。这是由于训练序列长度增加，保证了信道估计精度，大规模天线阵列所带来的分集复用增益大于系统信道估计资源开销损失，而当训练序列增加到一定程度时，在有限的信道相干间隔内，信道估计开销大幅增加，从而大规模MIMO带来的速率提升无法弥补信道估计开销带来的系统资源损失，出现了性能下降。

图2 下行遍历可达和速率在不同导频长度设置下的性能

图3给出了当系统参数为M=10,L=32,P1=P2=1 W时，本文所提出的迭代优化算法的收敛轨迹，从图中可以看到大约4次迭代之后，能效值便基本达到了稳定状态，这也说明了本文所提出的算法具有较好的收敛速度，复杂度较低。

图3 迭代优化算法的收敛轨迹

图4给出了当系统参数为M=10,L=32时，最优能效值随基站天线数的变化趋势，并在每天线电路功耗不同时，对比了最优能效值的差别。从图中可以看到，随着天线数的增加，最优能效值是持续下降的。对于该现象，从式(17)中可以分析得到，由于采用了固定的训练序列长度，基站天线数只影响到能效函数分母的总能耗，因此，当增加基站天线数时，能效值势必会降低。当每天线电路功耗从1 W降为0.1 W时，可以看到最优能效值大幅提升，特别是在天线数相对较少时，这主要是由于基站天线射频电路功耗大幅降低，从而降低了总的能量消耗，提升了系统能效性能。

图4 在不同的每天线电路功耗条件下，最优能效性能随基站天线数的变化趋势

图5给出了当系统参数为L=32,P1=P2=1 W时，随用户数增加时，在给定的基站天线数条件下，最优能效值的变化趋势。从图中可以看到，随着用户数的不断增加，最优能效值呈现递增趋势，这一性能提升主要得益于多用户复用增益，提升了能效性能。

图5 在不同的基站天线数条件下， 最优能效性能随用户数的变化趋势

4 结束语

本文研究了基于能效最大化的下行信道估计和数据传输两阶段的功率分配问题，考虑到信道估计误差和多用户间干扰影响，获得了一种低复杂度的功率分配迭代算法，并推导得到了最优功率的闭合形式解。从该闭合形式解中可以看到，最优导频功率和最优数据功率均只与系统静态参数相关，而与信道瞬时信息无关，且二者之间为常系数线性关系。通过计算机仿真，验证了该功率分配算法实现最优能效目标的有效性。从仿真结果中发现，当系统导频序列长度固定时，持续增加天线数会大大降低系统的最优能效性能，这主要是由于导频长度固定后，系统可达速率与天线数不再具有递增关系，而能耗却随天线数倍增，从而导致最优能效递减，这与TDD制式下的能效变化趋势大为不同，其根本原因在于两种制式下导频开销和信道估计模式的不同。