借一道高考题谈核心素养中的数学运算

关燕曼

◆关键词：高考数学；数学运算；核心素养

像数学建模，直观想象，数据分析，逻辑推理，书写抽象，和数学计算，这些都是数学核心素养，这6项数学核心素养不但互相独立，而且又融会贯通，将相互联系的个部分连接成一个整体。我们从16年的江苏高考数学试题中的第十四个问题为依据，来做出分析。

一、高考原题（改为2019年全国1卷）

2019年全国数学高考一卷的原题第五题：函数[x=sinx+xcosx+x2]在[[-π]，[π]]的图像大致为 。

二、知识点构成及题目来源

本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题.根据解题思路判断此函数是奇偶性，[-x=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-（x）]，得其为奇函数，以此类推运算推断出此题的函数象限图。

三、考查意图

这个题，主要考查的就是三角形中的关于弦切互化、两角和与两角查，以及正切，余弦和正弦之间变换的知识。因为三角形三个内角分别为锐角而且三个角内角的总和是180°的这两个条件，以及在一般在函数问题中普遍用求导的或换元的方式来求最值。

本题对于主要考察化归思想和函数思想，有些地方还考察数形结合思想。在考验这些解题思想的同时还需要学生的具有一定的运算能力，这也是该题目考察的一个重点，学生在解题时如果可以将考查的思想基本分为化归思想、函数思想这两个方面。有些方方面我们可以理解为对数形结合思想的考查。对上面所述方法的应用和能力考查只是一方面，作者认为对学生的运算能力的考查，也是本次的重要标准。假如对复合函数运算的问题，在解决过程中多动脑，对整体代换（或者称之为换元法）的问题解决有个重要的认知，从而对以上方法的使用更有效，方便快捷。

四、解题方式

随着6月8号的一声“考试结束”，一年一度的高考就算结束了，作者便约了几个同事对此题进行探讨，分析出了几种解题方法，大致的思路都是一样的，首先使用三角变换，接着根据每个题目的特点进行专门的解决。因此，对三角变换的解析如下：若sinA=2sinBsinC，在锐角三角形ABC中，A=π-（B+C），所以sin[π-（B+C）]=2sinBsinC，即sin（B+C）=2sinBsinC，又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC=2tanBtanC。而在锐角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

思路一：

构造基本不等式，解决问题。tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，当且仅当tanA=2tanBtanC时取等号，即得到tanAtanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值为8。

思路二：

换元法与整体代换解决问题。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，所以tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1，tanBtanC=2tan2Btan2CtanBtanC-1，令tanBtanC=x（x>1），于是有g（x）=2x2x-1，再往下的步骤又分几种解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t>0），变形成基本不等式形式求解，具体解法略。

（2）求导法：对函数g（x）=2x2x-1求导、列表、求最值，具体解法略。

（3）二次型函数法：将分子x除到分母，用整体代换（或者换元法）求二次函数的最值，即g（x）=2x2x-1=21x-1x2，具体解法略。当然，思路二的重点在于进行换元求解，然后可使思路清晰，方法恰当。

思路三：

消元法解决问题。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，解出tanC=tanB2tanB-1tanB>12。令tanB=xx>12，则tanAtanBtanC=2x4（x-1）（22x-1），再往后的步骤同思路二中的几种方法，具体解法略。

思路四：

数形结合解决问题。思路二中，将g（x）=2x2-x-1看成是两点P（1，0）与Q（x，x2）连线斜率的两倍，数形结合，转化为过点P向抛物线y=x2引切线，求切线的斜率，具体解法略。

五、核心素养在本题中的体现

此题的核心，不仅是在逻辑推理，对于运算能力的考查也很重要。由于此题的难度性极大，对学生的运算能力是一种考验。可是在日常中采用的基本是题海战术，一味的刷題只是追求一个量，却忽视质的问题，一般在题海战术中，遇见此类题型直接略过，对学生的运算能力是得不到提高的。所以在数学的学习过程中，脚踏实地的认真对待，掌握运算技巧和知识点，才能够更加精准的解决问题。深入问题当中的特殊方法，在结合严谨的逻辑术语表述，这才是学习数学的方法。数学是一个两面性的，一是在其中形成这些能力；二是在教学过程中培养这些技能。在数学教育板块中，中心思想分为三点：学会用数学思维分析世界；学会用数学眼观观察世界；学会用数学术语表达世界。逻辑推理、公式运算这就属于数学的思维模式。特点是严谨性，其要求也不只是加减乘除那么简单。数学在生活中，通过实践研究，在问题的解决上达到高效、准确、无误，是解决问题最有效、最快捷的方法。

六、对教学中培养数学运算核心素养的反思

数学计算是在知悉运算法则，然后了解运算对象的前提下来计算处理数学问题的一个历程。数学运算的主要内容就是，首先来理解运算对象，然后知悉运算法则，然后来研究数学的运算方向，然后选中正确的运算方法，头脑中预算设置当中的运算顺序，然后最终求得计算结果。所以数学运算是一种运算推理，更是解决一般数学问题的一种普遍方式，更是所有计算机处理问题的基本方法。

对于现在的数学当中所产生的问题，我们要在运算中发现问题时立即去解决问题。数学是一个逻辑性的学科，就是一个对数字的概念，在许多的运算公式进行演绎和推理。然后再得到一个运算法则，对其进行论证以及试用。要不是规于书写格式的要求，用“三段论”的形式表达最为明显。由于数学的多样性，一道问题的解析有很多种，所以课堂上老师往往要通过多个角度去讲解数学知识。其根本作用就是通过多样式的教学，提高教学质量。

七、推广的意义——举一反三能力的提高

在提升所有学生的数学运算技能方面，其中训练其闻一知十的能力是非常有效且非常关键。而这种闻一知十的数学运算能力，不仅是身为教师在课堂教学方面，进行变形让学生多加在课堂中学习外，平时学生自己的多加训练，更重要的需要学生自己能够对此有兴趣来对问题的变化来积极的参加、参与。这样子才会让他有效的学会此项技能。而且最重要的就是要在数学变式的历程中知道几个必须依照几个重要的原则。第一个，就是必须遵循教学应用的合理性，以及相似性、渐进性和变异性。