初谈开展“数学写作”活动的实践研究与思考

史嘉

【摘 要】 以“数学写作”为抓手开展深度教学实践研究.根据数学学习过程和层次，把“数学写作”理念下的数学学习划分为五类：数学现象与问题，数学探究与思考，数学概念与方法，数学解题与应用，数学反思与拓展.结合教学实践展开案例分析，总结实施策略，反思研究存在的问题.

【关键词】 核心素养;数学写作;深度学习;案例分析

引 言

研究基于2017版《普通高中数学课程标准》主题学习和项目学习理念，依托安徽省与亳州市两项课题，重点在日常教学中开展数学写作活动（兼有“数学写作”学生社团）.本文从数学现象与问题、数学探究与思考、数学概念与方法、数学解题与应用和数学反思与拓展五个角度结合教研案例探讨开展“数学写作”教学实践的途径和策略.

1 提出课题

2017年版《普通高中数学课程标准》要求“（数学教育）提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.”“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，”要求以课题研究或主题学习的形式进行研究性学习，撰写研究报告或小论文，并作为过程性评价的形式之一[1].

在此背景下开展数学写作研究，促进学生对数学的广泛阅读和深度理解，锻炼用数学语言精致表述，指导教师调整教学策略、改进评价方式，发展学生的数学核心素养等方面提供一个具有可操作性的研究途径.

2 研究形式

本研究基于省、市两级课题依托课堂教学和学生社团等多种形式开展实践研究，课题研究的目标是实现教师深度的教和学生深度的学.具体研究框架、研究形式和实施过程如结构图1所示.

“数学写作”学生社团主要是根据学校统一安排以讲座和活动的形式在社团内开展，同时配合学校文化艺术节组织数学征文、创意设计等活动.而课堂形式则是每周一次，固定在周四下午第四节课，根据教学进度，精选一个主题，先试做后讲评，当堂写作，第二天上交.批阅后，选择较好的作品复印展示.

另外，我们会选择有新意、有价值的文章进行指导再修改，参加“数学写作”学校联盟和《数学通讯》等组织的学生数学小论文竞赛活动，力争推荐发表.3 概念界定

本研究的核心概念有数学写作和深度学习.深度学习是研究的指导思想和最终目的，数学写作是实施研究的主要抓手和切入点.

3.1 数学写作

20世纪60年代的美国教育界关注到写作与学习的密切关系，于是诞生了“贯穿于课程的写作” （Writing across the Curriculum）运动.90年代后，越来越多的数学教师开始在课堂上实施“通过写作来学习”（Writing-to-learn，简称WTL）的活动，他们认为写作是一种极有价值的工具[2].

在国内，21世纪初也掀起“数学写作”的热潮，写作形式多样，内容丰富.如，刘艳云和黄杏芳的“数学日记”，王仲英和曹一鸣的“数学周记”，马岷兴和王珊的“数学作文”，罗强、刘东升和仓万林的“数学小论文”等，都是数学写作的不同形式.

通过梳理国内外文献，课题组认为数学写作是以过程为目标的学习活动，指学生将对数学概念的理解、对解题过程的回顾、对解题方法的提炼、对学习方法的总结、对考试前后的反思等形成文字的一种学习过程.

显然，通过写作能促进学生对数学知识、思想和方法的系统思考、深入理解，并建构数学知识网络.可见，基于数學写作的学习指向数学本质[3]，具有“元认知”的成分.

3.2 深度学习

深度学习的概念源于人工智能领域，是一种算法思维.1976年，瑞典学者马顿和萨尔乔首先提出深层学习（Deep Learning）的概念，认为学生学习结果有不同水平，与其在学习过程中采取了不同学习过程和学习策略以及理解和记忆的方法有密切关系.加拿大学者艾根领衔的“深度学习”（Learning in Depth）项目探讨了深度学习的方法等[4].

安福海[5]认为，深度学习是一种基于高阶思维发展的理解性学习，具有注重批判理解、强调内容整合、促进知识建构、迁移运用等特征.

吴永军说：“在特定的社会文化情境中，学习者在与他人互动以及环境互动中，关注知识之间的有机联系，最终能够迁移并能够解决实际生活问题的意义生成的过程[6].”就数学深度学习而言，马云鹏[7]认为，数学深度学习是基于数学学科核心内容，组织学生在深度探究中发展的有意义的学习过程.

本研究认为深度学习是在理解性学习的基础上，学生能够批判性地学习新知识、思想和方法，通过检验将它们融入原有认知体系中，并能在众多知识间进行联系，将知识迁移到新的情境中作出决策并解决问题的一种学习方式和能力.

4 理论依据

布卢姆将认知领域学习目标分为六个层次：记忆、理解、应用、分析、评价、创造.浅层学习的认知只停留在“记忆、理解”层面，而深度学习是一种发展学生批判性思维和创造性思维为目的的学习，其认知则对应“应用、分析、评价、创造”四个高级认知层面，涉及高阶思维活动.

贾德的学习迁移理论认为，学习迁移是将一个问题转化或者是将一种关系转化，迁移的条件是学生能够自己概括出一般原理，知识概括化的水平越高，迁移的范围和可能性就越大.而深度学习的特征之一恰是将所学知识和方法等迁移到新的情境中，并作出解决问题的决策.

加涅的信息加工学习理论认为，学习是一个有始有终的过程，由一系列事件构成，每个学习事件可划分成八个阶段：动机、领会、习得、保持、回忆、概括、作业和反馈阶段.元认知理论认为，元认知是一个人所具有的关于自己思维活动和学习活动的认知与监控.维果茨基认为，语言与思维之间有着密切关联性，而写作需要学生组织内部语言，对知识网络进行主动建构，从而促使其完全理解.

可见，数学写作是作业阶段和反馈阶段的一种表现形式，是一个自我总结和自主表达的一个交流环节，是一个自我反思和自我调节的监控过程，能清楚的展现学生的思维过程和掌握情况.

5 案例分析及实施策略

通过以上分析，我们认为数学写作是促进学生深度学习的有力手段，是发展数学核心素养的有效途径.在深度学习的过程中，数学写作发挥着举足轻重的作用，引导学生更好地参与数学学习的全过程，如研究数学现象，进而发现问题、提出问题，查阅相关资料，探究分析问题，形成概念和方法，获得问题解决，进一步深入反思拓展等等，整个过程中数学问题的准确表述，思想方法的心理表征，概念定理的精准表达，研究方法和成果的清晰提炼，解答问题的过程书写，反思回顾的概括以及深入拓展的期望等等，都需要数学写作.5.1 数学现象与问题

数学源于生活，但高于生活，研究数学反过来又服务于生活.在学习计数原理时，笔者要求学生观察汽车牌照，试着计算牌照容量.

案例1 车牌的容量问题

以亳州市汽车牌照“皖S·×××××”为例，请了解编号规则，并计算车牌的最大容量.

（2016年第8期《中小学教学教材》，作者：高二（33）班）

学生在此任务驱动下，学习排列组合特别认真，查阅汽车牌照编号规则：从24个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成. 从研究报告看，学生学习非常积极主动，有分工有合作，他们不仅了解到相关汽车牌照编号规则、选号程序及交通规则，包括“套牌”的危害性，还发现26个英文字母中的“I”和“O”是不能编车牌号的，避免与数字“1”和“0”混淆.

5.2 数学探究与思考

解答数学的每一个问题（包括最终没有解决问题）都是数学探究的过程.事实上，学生的内心深处都渴望经历研究、探索和发现的成功过程，我们可利用学生的这种学习心理，提供独立思考的机会，促使对数学概念的深度理解.

案例2 圆的一般方程

（2013年第4期《高中数学教与学》，作者：朱庆洲）

5.3 数学概念与方法

数学概念是数学学科的基础.俗话说，概念不牢，地动山摇.学习概念首先要正面建构和阐述，其次是反面雕刻，错例否定更能促使学生深度理解.尤其是自己在做题时遇到了问题，正是掌握概念和解题方法的好时机.

案例3 几何概型：正逆双思路，答案两重天

（2016年第11期《数学通讯》，作者：聂英建）

参考答案是正向解法，而聂英建同学反其道而行之，却得出了另一个答案，问题出在哪里？通过回顾几何概型的概念和同学们的探究，发现命题人忽略了几何概型之“等可能性”的关键点.整个学习过程突显了探究、合作、交流、质疑、反思、发现和表述等，极大地调动了学生的高阶思维活动.

5.4 数学解题与应用

解题是数学学习的重要组成部分.章建跃认为：通过解题，学生可以加深概念的理解，深化对概念联系性的认识，优化数学认知结构，训练数学思维，提高分析和解决问题的能力.

案例4 群策错位相减法

数列求和之错位相减法，一看就会，一用就错.请群策错位相减法.

（2016年第3期《新高考》，作者：张宣，许博睿，史亳徽，孙祥）

错位相减法思想源自推导等比数列前n项和公式，该法使用特征明显，思路简单，但奇怪的是大多数学生一用就错.为此，笔者开展“群策错位相减法”的写作活动.通过探索，同学们八仙过海各显神通，用文字语言记录问题解决的过程和想法，通过交流合作学习，达到深度理解、精准使用、清晰表达的目的.

5.5 数学反思与拓展

数学反思是对学习过程的反思、沉淀和提升，是数学写作的基础，没有反思就没有拓展，没有提炼就没有写作.数学反思类写作最适合于章节复习小结，对整个章节内容进行梳理和串联，最终实现深度理解、提纲挈领的目标.

案例5 秦九韶-海伦公式

阅读《解三角形》数学史料“海伦公式与秦九韶三斜求积公式”，思考两个问题：（1）秦九韶求积公式与余弦定理有什么关系？（2）海伦公式与秦九韶公式有什么关系？

（2018年第4期《新世纪智能》，作者：纪志义）

纪志义同学查阅了相关资料，从初中三角形面积出发，结合余弦定理一气呵成，推出秦九韶公式和海伦公式.难能可贵的是，他能从结构形式辩证的看待两个公式，并结合时代背景，分析各自的优劣.最后给出两道题目，两个公式的优点便跃然纸上.

通过分析以上五则案例，我们认为“数学写作”是深度学习的一个有效途径，可以有效监控到个体与问题（或环境）互动以及心理互动的过程.具体实施可以问题驱动或任务驱动来展开，如课题研究、主题学习或项目学习（而非拼盘式），但要注意主题的选择要小而精，有思维量.

6 存在的问题

课题组依托课堂教学、学生社团、文化艺术节等多种形式开展数学写作的实践研究，但由于教师和学生的认识、自身及高考等因素的限制，使得本研究存在诸多问题和不足.

1.虽然课堂数学写作每周开展一次，但个别学生还是不理解，不能认真对待，有应付现象，认为增加了自己的负担.相比较普通作业，确实增大了写作量.

2.数学写作极大地增加了教师的作业批改量和批阅难度，因班级和学生人数较多，致使教师不能很快批完数学写作，反馈问题，交流缺乏及时性，教研效果大打折扣.

3.社员较分散，活动时间间隔大，部分学生不能连续参加，致使研究系统性和连续性较差.个别学生功利心太强，以致数学写作偏离初衷.对于社团征文和课题写作优秀作品，评选、返修工作量较大，尤其是输成电子稿，数学符号和绘图较多，学生以及个别教师的信息技术有待提高.

4.数学写作的目的是促进深度学习，发展数学核心素养，而这些目标的达成不是一朝一夕的事.因此，对每个学生个体存在着难以客观、准确测量和评价的问题.

针对以上问题，课题组将及时关注数学写作、深度学习及数学核心素养等方面的最新研究成果，谋求高校专家支持，调整研究方案，优化研究方法，扩大研究学生层次，借鉴心理学测量表和个别访谈等方法进行测量和评估，将数学写作不流于形式，能切实促进教师深度的教和学生深度的学.

社团开展一次“为‘数学写作设计LOGO”活动，陈一萍和桑晴晴两位同学的设计脱颖而出.该标志（图2）整体看酷似一枚铜币，顾昵称“瞳瞳”，寓意：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.

设计糅合中国古代天圆地方思想和北宋李诫《营造法式》中的圆方方圆图而成，其中圆的半径与正方形边长的比是2.隶书“数学写作”更显得其古色古香.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 汪曉勤，柳笛. 数学写作在美国[J]. 数学教育学报，2007，16（3）：75-78.

[3] 胡耀华. 数学写作的价值及若干教学建议[J]. 数学教育学报，2007，16（3）：60-62.

[4] 蒋安娜，唐恒钧. 数学深度学习：内涵、实践模式与展望——基于文献的分析[J].中学数学杂志，2018（1）：1-4.

[5] 安富海.促进深度学习的课题教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[6] 吴永军.关于深度学习的再认识[J].课程·教材·教法，2019，39（02）：51-58+36.

[7] 马云鹏.深度学习的理解与实践模式——以小学数学学科为例[J].课程·教材·教法，2017，37（4）：60-67.