函数值域问题的方法探究与思考

☉浙江师范大学附属中学 周建平

函数是高中数学中基础性强、特征显著的知识内容，也是高考数学重难点问题命制的落脚点，教材编排了大量的章节对其进行描述与探讨.其中函数值域的求解是需要着重掌握的知识点，值域即取值范围，研究函数的值域不仅是函数性质探讨中必不可少的环节，也是强化学生的法则运用与助力学生知识的内化吸收的重要载体.下面对其解法加以探究思考.

一、函数值域问题的解法例说

求解函数值域是高中数学中较为特殊的一类问题，虽然很少独立存在，但综合问题的求解却难以避免.学生在解题时很容易出错，陷入误区，但实际上该类题的解法较为简易，只需要进行适当地归纳整理即可.对于不同类型的函数值域问题需要使用不同的方法，即根据函数的特点选用对应的解法.

1.单调性法

单调性是函数的重要性质之一，对于函数f（x），若自变量x在增大（或减小）时，函数值f（x）也随之增大（或减小），则函数f（x）在其对应区间上具有一定的单调性，此时就可以使用单调性法来探究函数的值域，解题时只需要确定函数的端点值即可.

例1若x∈（0，π），试求函数的值域.

分析：上述函数属于复合三角函数，可以适当加以变形，令t=sinx，则定义域为（0，1］，原函数变为g（t）=t+，属于“”型，该类型的函数具有一定的单调性，可以使用单调性法加以探究，首先分析其单调性，然后讨论其取值范围.

解：令t=sinx，则原函数变形为对于函数，当t∈（0，2）时，函数在区间上单调递减，当t∈（2，+∞）时，函数在区间上单调递增.所以当区间为（0，1］时，函数单调递减，且当t=1时，函数g（t）取得最小值5；当t趋近于0时，函数f（t）取得最大值，且为正无穷大，即的值域为［5，+∞）.

总结：使用单调性法求解值域时具有一定的特点限制，即所求函数必须为单调函数，此时才可以利用端点值来确定值域.

2.换元法

换元法是数学解题的常用方法之一，同样适用于求函数的值域问题，即将函数中的变量部分加以代换，从而构建出与之等价的函数，通过研究等价函数的值域来间接求解.需要注意的是换元思路有多种方式，常见的有整体换元、局部换元、三角换元，需根据具体的函数特征来加以确定.

例2试求函数的值域.

分析：上述函数含有根号，相对而言不便直接进行计算，此时可以考虑采用局部换元的方式将根号消除，如令，此时有

总结：函数的换元法是一种简化变形的方式，因此在换元的过程中需要保证函数的本质不变，包括函数的定义域，上述过程在换元后特别对其自变量的取值加以定义，以确保换元前后的等价关系.解题时使用换元策略是为了达到简化的目的，常见的有消除根号、分数、高次项等.

3.配方法

我们在学习二次函数及其图像时可知二次函数的顶点一般是函数的最值，位于顶点坐标的两侧的函数具有单调性，这是二次函数的特性.而在解题时可以考虑借用该性质，即通过配方的形式将原函数变形为二次函数，然后借用二次函数的性质来进行求解.显然该方法的关键是正确配凑出二次方程，然后等价转换为y=a（xm）2+n的形式.

例3已知x∈［-2，5］，f（x）=x2-4x+1，试求函数y=f（x）的值域.

分析：观察可知原函数中含有二次项，显然可以通过配方法转化为y=a（x-m）2+n的形式，其中a的符号决定函数图像的开口方向，且在x=m处必然取得函数的最值.

解：对原函数进行配方变形，可得f（x）=（x-2）2-3，显然当x=2时，函数取得最小值，且最小值为-3.对于其最大值则需要比较x=-2和x=5两种情形下f（x）的值，分析可知当x=-2时，函数取得最大值，且最大值为13，所以原函数的值域为［-3，13］.

总结：配方法是借用二次函数的性质来求解函数值域的一种方法，常见的配方形式为：对于y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，可将其配方为.而在求解非顶点取值的大小时可以采用距离比较法，如在上述问题中顶点的横坐标为x=2，显然x=-2与顶点的距离较大，故在x=-2处取得最大值.

4.数形结合法（几何意义）

函数值域题属于代数研究的范畴，一般可将其化归为代数问题，而代数问题具有一定的抽象性，高中数学在研究抽象问题时常采用数形结合的方式，即绘制直观的图像，通过数形结合的方式来求解.因此对于一些较为特殊的函数值域问题，可以考虑通过适当转换，绘制出相应的图像，结合其几何意义来分析.

例4试求函数的值域.斜率的方式，即，显然可以将原函数视为求动点（cosx，sinx）到定点（2，3）的斜率，而动点（cosx，sinx）又满足单位圆的轨迹方程，因此可以绘制出相应的图像，则问题又转换为求解圆上一点到定点（2，3）连线的斜率的取值范围问题.

图1

解：根据上述分析绘制出如图1所示的图像，通过观察可知当圆上一点与定点的连线与圆相切时可以取得最值，设切线的方程为y-3=k（x-2），要满足与圆相切，则需圆心O到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式可得，解得，所以函数的值域为

分析：观察函数的结构特点，联想已知两点求直线

总结：数形结合法是高中数学中十分重要的解题方法，求解函数值域问题时采用该方法需要从函数本身的特征形式入手，结合其图像或几何意义来绘制图形，然后利用图像的直观性来解题.上述例题就是利用图像的特点，将问题转化为斜率的取值范围问题，并结合图像来简化求解.

二、函数值域问题的解后思考

函数值域问题是高中数学中的基础性问题，从上述对应的问题中可以看出所用的方法与函数本身的形式有着极大的关联，解题时需要根据函数的特点和构建方式来灵活选用.教师在教学中需要关注以下几点：

1.关注问题的多解性

函数值域问题的求解方法是多种多样的，不同问题可能存在多种解法，并不是说“一题对一法”，只是同一问题的不同解法具有不同的复杂度.在高考解题时倡导最优解法，但在平时的学习或教学中则需要关注一题多解，多解探究不仅可以提升解题能力，而且在探究过程中可以帮助学生全面认识问题，并发掘问题的本质内容.另外对于拓展学生的解题思维有着极为重要的意义.

2.关注问题的定义域

从上述问题的解法探究中可以发现函数的定义域在值域的求解过程中起着极为关键的作用，在不考虑定义域的情形下开展函数值域的探究是没有任何意义的，也是容易出错的.需要注意的是，即使是题干中没有明确指出其定义域，但在变形转化过程中也需要加以考虑，重新分析新自变量的取值.如例2在求解函数值域时，变形后重新考虑了t的取值范围，确保了函数转换后的等价变形.

3.关注解题的思想

数学解题的过程从来都不是单纯的简单变形与运算，其中必然蕴含着一定的数学思想，是在数学思想的指导下开展的解题探究.对于有关函数值域问题，运用各种方法对其进行变形简化，则其中必然含有化归与转化思想，所形成的新函数是在数学构造思想的指导下完成的，而采用数形结合方法求解函数值域必然涉及常见的数形结合思想.因此，可以说求解函数值域问题的过程就是多种思想方法融合运用的过程，解题基于思想，思想决定过程.教师在教学过程中需要关注数学思想内容的渗透，虽然数学思想较为抽象，学生理解起来会存在一定的困难，但可将其融合在与之对应的教学内容中，从而使学生逐步感悟思想，形成意识，提升能力.