一次说题的尝试——以2018年浙江导数试题为例

☉浙江省湖州市第二中学 刘 薇

☉浙江省湖州市第二中学 沈 恒

☉浙江省湖州市第二中学 顾建伟

题目（2018年浙江卷22）已知函数

（Ⅰ）若（fx）在x=x1，x（2x1≠x）2处导数相等，证明：（fx1）+（fx2）＞8-8ln2；

（Ⅱ）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=（fx）有唯一公共点.

环节一：说背景

本题是2018年浙江卷的最后一道解答题，主要考查学生利用导数解决复杂函数的能力.从问题的层次上来说，难度适中、循序渐进，第（Ⅰ）问从基本层面入手，利用抽象获得第（Ⅱ）问的研究思路比较开阔，是区分学生数学综合能力与素养的一道试题.相比于2017年浙江卷的最后一道解答题数列不等式来看，回归到函数导数压轴，凸显了两重优势：第一，命题者可以有更为宽阔的命题思路，容易命制出更好的试题；第二，学生可以有不同的、多角度的切入视角，不同的学生能用不同的方式去思考，体现了宽泛的入口，做到了不同层次的区分.

环节二：说题目

本题以求导环节为第一准则，通过求导公式研究所得方程，进一步获得以x1，x2为整体的函数模型，并通过论证获得结论；第二部分，其解答思路较为多样化，可以用分类讨论进行验证，也可以用参变分离进行证明，更可以站在一定的高度从拐点的视角进行思考.因此，笔者认为值得我们教学思考.

环节三：说解法

（Ⅰ）函数（fx）的导函数由得

因为x1≠x2，所以，由基本不等式得

又因为x1≠x2，所以x1x2＞256.由题意得

记x=x1x2＞256，则-4），所以g（x），g′（x）在x∈（0，+∞）上的变化情况如下表：

x （0，16） 16 （16，+∞）g′（x）-0+g（x） ↘ 2-4ln2 ↗

所以g（x）在（256，+∞）上单调递增，且g（x1x2）＞g（256）=8-8ln2，即

问题（Ⅱ）的切入方式较多，下面提供多种解法：

解法1：令，则＜0，所以存在x0∈（m，n），使

所以对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点.

由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3-4ln2，故-g（x）-1+a≤-g（16）-1+a=-3+4ln2+a≤0.所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）-kx-a=0至多有1个实根.

综上所述，当a≤3-4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点.

解法2：问题等价于与直线y=-a在-a≥4ln2-3且k＞0的条件下有唯一公共点.

解法3：从参变视角入手，，则h′（x）=，再令+a-1，则φ′（x）=，当x=16时，有φ（′x）=0，且φ（x）在（0，16）上单调递增，在（16，+∞）上单调递减，所以φ（x）≤φ（16）=4ln2-3+a≤0.因此h′（x）≤0.所以h（x）在（0，+∞）上单调递减.又所以对任意的k＞0均只有一个公共点.

解法4：由拐点知识可知，令，则x0=16（拐点），所以可求得过该点的切线方程为，如图1所示，当a≤3-4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点.

图1

环节四：说引申

本题从难度上来说，基本符合压轴题的要求，从知识上来说，多角度的切入方式也成为区分学生思维的好试题.从问题本身来说，笔者认为有几个知识点值得我们思考：比如参变分离方法的一般性，以及使用参变分离方法往往离不开洛必达法则，又或者两阶导数拐点的使用等，特别在不少问题的研究中发现，高等数学知识对于初等数学问题的解决往往有着极为深刻的指向性作用.

洛必达法则：（1）记a为常数，如果两个函数f（x）和g（x）在含有a的邻域内满足：两个极限与都趋向于∞或都等于0，两个导数f′（x）与g′（x）都存在（不趋向于∞），那么

（2）如果两个函数f（x）和g（x）满足：两个极限与都趋向于∞或都等于0，两个导数f′（x）与g′（x）都存在（不趋向于∞），那么

（3）把（2）中的4处“+∞”都替换成“-∞”.

洛必达的《阐明曲线的无穷小分析》是世界上第一本系统地阐述当时新兴的微积分的教科书，其影响之大，以至于数学后辈把约翰·伯努利的此结论记到洛必达的名下而称为“洛必达法则”.随着高中课改的深入开展，特别是对于某些函数用中学数学“技术手段”无法求其上、下确界的情况下，“洛必达法则”进入高中数学课本的选修课程是一种趋势.

问题1：（2018年全国高考数学卷Ⅱ文科）已知函数

证明：原结论“（fx）只有一个零点”等价于方程a（x2+x+1）=0只有一个实根，其中x2+x+1≠0，则原结论进一步等价于分式方程只有一个实根.由此

证明：f（x）只有一个零点.可以构造分式函数，求导得≥0，则函数g（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增.接下来考虑该函数有无上、下确界，因此运用洛必达法则可得到.因此，在区间（-∞，+∞）上g（x）的值域是（-∞，+∞）.所以方程a=g（x）只有一个实数根.

问题2：（2015年吉林省竞赛题改编题）已知不等式对于任意的x＞0恒成立，求实数m的取值范围.

解析：当x＞0时，不等式等价于m≤，由此构造函数，则导数其中lnx≤x-1（可构造函数证明或由泰勒展开式易知）故ln（x+1）≤x，则导数h′（x）≥0，即h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则当x＞0时，由洛必达法则可求得，故函数h（x）在（0，+∞）内的下确界是1.又因为m≤h（x）对于任意x＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1］.

环节五：说反思

研究高考命题，要从其命制的基本知识、基本技能和基本数学思想入手，积极思考为什么这么命题？从而在教学中不断地思考如何模仿命题，提高自身的专业化水平.本题是湖州市高二数学期末样卷的压轴题，也是经过反思和改编的问题：

变式：设函数

分析：从阅卷来看，本题的平均得分仅3.1分，相对来说难度较大.问题暴露在以下几个方面：

第一，函数求导不够熟练，求导错误的学生不在少数，说明学生在心理上惧怕压轴题，以及基本训练上的不足；

第二，对于含有参数的讨论分析，作为高二学生尚欠火候，对于零点的运算更多的是直接思维的体现，而缺少一些转化的方式；

第三，因本题的位置处在最后一题，学生对于问题的分析存在时间不够的情况，若时间分配合理，本题学生的分析还能更为到位一些.

本题的主要解法如下：

解法1：（Ⅰ）当时

令f′（x）＞0，f′（x）＜0并结合x＞0且x≠1可得f（x）的递增区间是；递减区间是

解法2：（Ⅰ）当时.令

f（′x）＞0，f（′x）＜0并结合x＞0且x≠1得（fx）的递增区间是递减区间是

命题反思：

第一，加强基本求导环节的训练，加强利用导数求单调区间、极值、最值等基本技能；

第二，一般带有参数的问题的训练仍需加强，紧跟2019年的高考新动向，研究导数等热点问题；

第三，教学中注重方式方法，要选用可以一题多解、一题多思的典型问题，开拓学生的思路，切记教学在于精而不在于量.

环节六：说教学价值

问题的研究是为了获得更好的教学价值，2018年浙江高考的导数压轴题给我们的教学有哪些启示？笔者以为有以下几点：

1.重视传统双基

高考数学压轴题以数学知识为根本，从问题入手，把握数学学科的整体意义.用统一的观点组织材料，主要体现在对知识的理解和灵活应用上，据此来考查考生把知识迁移到不同情境中的能力，进一步考查考生理性思维的广度和深度，以及后续的学习潜能.然而能力是建立在扎实的基础知识之上的，高考说明指出，高中数学的基础知识包括数学概念、法则、定理、定律、公式及其隐含的数学思想方法.由此可知，只有牢固地掌握数学的基础知识，才有可能顺利地解答出高考数学的压轴题.

2.关注命题导向

函数导数问题在2015年之前常常作为压轴题出现，其应用分类讨论解决问题的思路一直得以延续.通过问题的解决来看，本题难度并不是太大，但是其较为前沿的方向性和指导性，体现了浙江省在函数导数命题上一贯的延续性、科学性，追求既简单又有效的命题，成为了一道不错的试题.本题所涉及的核心素养更多的是逻辑推理、数学抽象、数学运算，引导教学向多思维的角度转变，能够运用高等数学知识往往显得更为简洁，体现了用思维替代运算的命题导向.

3.感受多元途径

数学学科育人的核心价值主要体现在数学的理性精神，以及蕴含于其中的数学思想方法，所以需要教师引导学生从“就题论题”逐渐上升为“以题论法”的境界，最终达到“以题论道”的目的.数学学科育人的过程就是在课堂上师生共同“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的过程.在研究数学的过程中不断地思考“通法”和“巧法”，逐步养成理性思考、严谨求证的分析问题和解决问题的能力，这不仅有助于学生形成优化而高效的学习方法，而且有助于将现在的学法逐渐转化为将来的生活态度和生活形式！本题恰是将各种知识的解决方式进行了统一，有助于学生理解导数压轴题的一般性解决思路.

4.形成系统架构

高考数学压轴题是高中数学知识的交汇点，是数学知识或分支和多种思想方法融合形成的一个有机的整体.高考数学压轴题的解题方法比较复杂或呈交叉状，解题途径呈连环状，同时，考试说明也指出要从学科的整体高度和思维价值的高度来思考问题，在知识网络的交汇处设计试题，使对数学基础知识的考查达到一定的深度，对学科的整体意义和思想价值立意也达到一定的深度.因此，解答高考数学压轴题须具有良好的数学知识结构.