近几年高考平面向量问题分析及复习策略

☉江苏省南京市中华中学 薛安定

为了更好地应对2020年高考的数学备考，通过对近几年全国新课标Ⅰ卷理科数学试题中平面向量知识点的试题分析，梳理出高考数学试题对平面向量的考查意图，了解到高考数学试题中平面向量的命题方向，并结合考试说明进行对比，为新一届考生的复习备考提供一些展望与指导.

一、平面向量的考点分析与考查重点

考点分析与考查概况：

年份 题号 分值 考点2 0 1 3年 1 3 5分 平面向量的数量积及坐标运算2 0 1 4年 1 5 5分 两平面向量的夹角2 0 1 5年 7 5分 平面向量的线性运算（分解）2 0 1 6年 1 3 5分 平面向量的数量积及坐标运算2 0 1 7年 1 3 5分 平面向量的模2 0 1 8年 6 5分 平面向量的基本定理

平面向量作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，是高考中解决问题的一种有效的方法，试题一般以填空题的形式出现，主要考查平面向量的模、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及坐标运算等.

二、平面向量的试题特点及命题规律

（1）从地位上看：平面向量在高考中一直占据着重要的地位，表现出总体稳定、稳中求新的特点.

（2）从方向上看：考题遵循《考试大纲》和《考试说明》，立足基础，贴近教材，突出能力考查.

（3）从题型上看：以选择题、填空题为主，有一至两道题，小题分值在5分左右，大题主要作为一种工具来解决问题.

（4）从难度上看：以容易题和中档题为主，小题一般处于选择题的中间位置，以及填空题的前面位置.

（5）从考点上看：重点考查平面向量的坐标运算、数量积等相关内容，经常利用数量积的形式作为一种解题工具来参与大题的破解.

三、平面向量的命题类型

1.平面向量的基本概念问题

例1（2017年全国Ⅱ卷文4）设非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则（ ）.

A.a⊥b B.|a|=|b|C.a∥b D.|a|＞|b|

分析：结合题目条件，通过关系式|a+b|=|a-b|两边平方展开，结合数量积与两平面向量的关系来判断即可.

解：由|a+b|=|a-b|，可得|a+b|2=|a-b|2，则有a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，即4a·b=0，则有a⊥b，故选择答案：A.

点评：本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的基本概念及其应用等.解决此类问题的关键是抓住问题的实质，结合平面向量中的相关概念、定理等加以推理与分析，进而作出正确的判断或得到相应的答案.

2.平面向量的线性运算问题

例2（2018年全国Ⅰ卷文7；理6）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）.

分析：在解决平面向量的线性运算时，可以利用三角形法则加以转化，也可以借助特殊的公式（如中线公式等）加以应用.

解：根据题目条件可得，故选择答案：A.

点评：本题考查了平面向量的线性运算、三角形的性质，考查了化归与转化思想、运算求解能力.涉及平面向量的线性运算，关键是通过平面向量的分解，并建立相应的关系式来进行处理与转化.

3.平面向量的坐标问题

例3（2018年全国Ⅲ卷文、理13）已知向量a=（1，2），b=（2，-2），c=（1，λ），若c∥（2a+b），则λ=______.

分析：根据平面向量的坐标运算，并结合c∥（2a+b）建立相应的方程，通过解方程来求解对应参数的值即可.

解：依题可得2a+b=2（1，2）+（2，-2）=（4，2），因为c∥（2a+b），可得，解得，故填答案

点评：本题考查平面向量的坐标运算及平面向量的位置关系.平面向量的坐标运算往往与平面向量的基本概念、平面向量的位置关系等知识加以综合与应用.

4.平面向量的数量积问题

例4（2018年全国Ⅱ卷文、理4）已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·（2a-b）=（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.0

分析：结合题目条件，对关系式a·（2a-b）进行展开，结合平面向量的模运算与数量积运算求解即可.

解：由于a·（2a-b）=2a2-a·b=2×12+1=3，故选择答案：B.

点评：本题主要考查平面向量的模与数量积等相关知识.涉及平面向量的数量积的求解与运算问题，可以通过平面向量的数量积的定义或坐标运算公式来进行转化，关键是根据题目条件来合理选择与应用.

5.平面向量的交汇问题

例5（2017年江苏卷16）已知向量a=（cosx，sinx），

（1）若a∥b，求x的值；

（2）记f（x）=a·b，求f（x）的最大值和最小值，以及对应的x的值.

分析：（1）利用平面向量共线的坐标运算法则及同角三角函数关系求解即可；（2）利用数量积的坐标运算及两角和的余弦公式，结合三角函数的图像与性质来求解相应的最值问题.

解：（1） 因为

π］，a∥b，所以.若cosx=0，则sinx=0，与矛盾，故cosx≠0，于是

又x∈［0，π］，所以

点评：本题考查平面向量的共线性质、数量积的概念及运算、同角三角函数的基本关系式与辅助角公式、三角函数的图像与性质等有关知识，通过平面向量与三角函数的知识交汇来考查能力与应用.平面向量的交汇问题往往离不开三角函数知识，通过结合平面几何的相关知识来综合考查.

四、平面向量的复习策略

1.回归教材，夯实基础

（1）准确理解相应知识的本质，重视对相关概念、定理等的理解和掌握.如相等向量与相反向量、单位向量、共线向量（或平行向量）及其基本定理、平面向量的基本定理、平面向量的模及夹角、平面向量的数量积等.

（2）重视对相关运算法则及相关公式的理解和掌握.如平面向量的线性运算、坐标运算、平面向量的数量积的相关运算公式及应用等.

（3）注意解题方法和解题规律的总结与应用.如平面向量的平行或垂直与平面向量的坐标、数量积的关系与转化等.

（4）重视数学思想方法和数学素养的应用.平面向量富含数学思想方法，如函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等经常用来解决一些相关的平面向量问题.

2.吃透例（习）题，注重变式

在近几年的高考中，特别是对平面向量部分知识的考查与应用，以基础知识为主，命题主要立足于教材，适当变形，适度整合，拓展提升，同时渗透相关的数学思想方法，这已经是高考命题的一个常态.因此，在平面向量的复习过程中，万变不离其宗，好好吃透教材的例（习）题，并在此基础上加以适当变式探究.

3.跳出题海，培养素养

在高考复习中，一定量的练习是非常有必要的，但不能盲目地陷入题海当中，要注重“一题多解”、“一题多变”与“多题一解”等的学习实践，养成变式思维，跳出题海，注重对经典题型的变式训练.在此基础上，不断提高数学运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力等，提升思维，培养数学核心素养.

五、平面向量的命题预测

从2012年全国新课标Ⅰ卷开始，平面向量是高考必考内容之一，每年都会有一道小题（选择题或填空题）出现，难度相对中等或简单，主要考查平面向量的概念、线性运算与坐标表示，以及数量积的运算与应用等.纵观近几年的高考命题及新课标的要求，向量考查多以基础知识、基本方法为主，并以向量为背景考查函数、不等式、三角函数、平面几何、立体几何、解析几何等的基础知识，发挥了其工具性作用，并成为了命题发展的趋势.