对减法第二重意义的重新思考

秦引

[摘 要]从总量中取走部分量，计算剩余量使用减法，这是减法的初始意义，其前提是总量和减少量是同类量，衍生到后面的求量差意义下的减法，学生还会固执地认为只有同类量求量差才能用减法。在教学“20以内退位减法”时，教师要利用好“开会场景”来诠释求量差下的减法意义，首先让学生定性判断座椅够不够，再定量计算还缺几把座椅，让学生借助生活经验和图形深刻理解求量差下的减法意义。

[关键词]减法;第二重意义;思考

“20以内退位减法”是苏教版教材 “加与减”中的教学内容。教材设置了开班会的场景（如下图），涉及參会人员和座椅数量的配比问题，从而抛出数量对比操作，并提出三个问题：“每人坐1把座椅，够数吗？”“还差几把椅子？”“你能通过列式计算解决问题吗？下面的算式合理吗？”

学习时，学生都能知晓座椅数目不足，而且还能推算出缺少4把椅子。可是在解答第三个问题时，课堂上出现了小插曲——

师：刚才同学们利用示意图，通过对照法，仔细比对了座椅数和人数，发现还缺少4把座椅。你能列式解答吗？

生1：11-7=4。

师：能谈谈你的想法吗？

生1：因为缺少4把座椅，所以11减7等于4。

师：你能进一步解释11、7、4分别代表什么吗？

生1：“11”代表参会人数为11人，“7”指会场座椅为7把，“4”指缺少的4把座椅。

生2：老师，我有不同看法。怎么能用人数11减去座椅数7呢？不同的数量不能直接加减，所以这样列式违背常理。

生3：是呀！它们的单位不一致，不能进行减法运算。我也反对这样列式。

一、深挖知识背景和研读教材

在小学阶段，应用减法运算时，主要涉及两类数量关系：一是从总量中减去部分数量，求剩余数量;二是求两个数量之间的差额。学生对“从总量中减去部分求剩余量”较易理解，但对求两个数量之间的差额，则理解较为困难。正因为如此，苏教版教材充分考量学生对减法计算的心理接受能力，充分体谅到学生的困难，避免难度过大，所以将一些难度超出学生相应年龄段智能范围的内容挪后，从学生现有的知识经验出发，将其编进第二册教材中。这样，将减法的双重意义分离开来，先易后难，循序渐进，也就是让学生先充分理解从整体中去掉部分的减法运算意义，再学习求两个数量的差额的减法意义，从而完善学生的减法认知结构。

学生在第一册教材中已经接触到了用对照法比较数量多少，而且积累了一定的活动经验。本节课主要是进一步引导学生从对照法中提炼出减法计算算理，从而让学生更加全面深刻地认识减法和理解其运算意义。教材中呈现的三个问题中，问题1是为了唤起学生潜藏的生活经验，让学生直观感受到11个参会人员坐7把座椅不够，为解锁下一环节埋下伏笔;问题2则是利用学生原有的活动经验把实物淡化成几何图像，引导学生用已学过的对照法比较数量多少;问题3是让学生趁热打铁，把数量关系进一步概括形成算式，完善对减法意义的认知，即让学生深切认识到“求出两个数量的差额”可以用减法计算，体会到减法与日常生活息息相关。

问题1侧重于提问，问题2侧重于运用生活经验来类比推导问题，问题3侧重于升华形成具体的算式，三个问题环环相扣、层层递进，让学生经历从“直观表征”到“形状表征”再到“符号表征”的过程，逐步诱导学生掌握“求两个数量的差额”用减法计算的思想方法。

二、解读学生和通俗解释

上述课例中，学生为什么反对这样列式？从学生的立场来看，也许有两点理由：1.转化的困难。《教师教学用书》（2012年12月第一版）针对问题3提出如下教学参考建议：“教学时，教师不妨令学生通过画图对比数量，将数量关系明确化，指点学生依据数量关系列式表达，并结合图形说明列式的由来和思路，算式中每个数据代表什么意义，促进学生对减法意义的深刻理解。”换言之，也就是让学生参照图形理解“11个参会人员，只有7把座椅，还缺几把座椅？”这样的情境可以转换为学生熟知的“从总量中减去部分求剩余量”的数量关系模型。然而，尽管学生借助生活经验能理解“人多座椅少”，也能利用图形的直观顺利解答“还差几把座椅？”这样的问题。可是怎么将人数看成总量，把座椅数视为部分量，学生无法做出合理解释——“怎么能用11个人减去7把座椅呢？”这明显与“单位不同，不能相加减”的认知相冲突。面对学生的质疑——“11是指11个人，7是指7把座椅，人数怎能减去座椅数？”笔者只好做出这样的解释：这里的11个人也可以理解为11把座椅，这是需求量，是预算，因为1个人需要1把座椅，11个人刚好就需要11把座椅，减去7把实有的座椅，不就刚好单位一致了吗？也就是座椅的需求量减去座椅的实际存量，可刚好得到座椅缺口量吗？还可以这样解释：这里的“11”仍旧代表11个参会人员，因为有7把座椅，可以容纳7个参会人员就座，11个人减去7个人，还有4个人没有座椅。可是在教师看来不言而喻的单位换算，对于刚进入小学的孩子来说，却是绕来绕去，令他们晕头转向。

三、教材分析和教学建议

面对这样的困惑，笔者查阅大量文献资料，探索破解之道。

首先，系统审读了苏教版教材。在第三版教材第一册“10以内加减法”中编排了“操场上”一课，通过比较师生人数配额，引导学生理解两个不同集合的数量差，但是由于同步学习减法的两种意义的学习，学生理解起来有难度，所以第四版教材推延第二重意义的学习。这样看来，编者的初衷是从同类量的数量差来揭示求差额减法，只是在“练一练”中出现了“非同类量的量差比较”题材。

其次，参阅了其他各版本教材，寻找关于减法意义的蛛丝马迹。各版本教材不约而同地采用同类量的差额引入减法。课后练习也是统一采用同类量求差做题材。唯独苏教版教材将好理解的放在后面，难以理解的反而放在前面，令人费解。

苏教版教材更加注重问题情境的新颖性，开会的场景很新奇有趣，如何利用好这一情境来完美诠释求量差下的减法意义？笔者认为，首先应该回避列式，而是让学生定性判断座椅够不够，再定量计算还缺几把座椅，让学生借助生活经验和图形直观，深刻认识求量差下的减法意义。

以上是笔者在教学实践中的一点感想和心得，在这里谨慎地提出，希望得到教育专家们的批评指正！

[ 参 考 文 献 ]

[1] 白晶.经验为钥，打开思维通透的锁：以《加、减法的意义和各部分间关系》案例研究为例[J].小学教学研究，2018（28）：27-31.

[2] 张宏伟.感悟减法算式模型意义 破除一图单题思维定式：减法应用题教学实录[J].小学教学参考，2017（17）：11-13.

[3] 赵劲松，于蓉.强化“计数单位”概念 重视“运算意义”理解：“100以内的加法和减法（一）”教材分析与教学建议[J].小学数学教育，2018（Z2）：40-42.

（责编 黄春香）