运用“旋转法”求解动态平衡问题

甘肃

动态平衡是高中物理力学部分的一种重要习题类型，也是高考的重要考点。动态平衡的习题教学中，学生通过正确的受力分析，做出力的矢量三角形，灵活运用三角形的边角关系、几何圆的性质等数学知识，由矢量三角形的动态变化分析物体所受力的变化情况。通过对实际情景的分析、概括，将实际情景转化为物理问题，突出主要因素、忽略次要因素，建构物理模型；运用对比、分析、概括等思维方式，经历科学推理、科学论证等思维过程，逐步提高科学思维能力。

根据物体受力的变化特征，动态平衡问题可以分为三种类型，解决问题的最典型方法是图解法。为了使学生更好地掌握图解法的具体操作要领，体验清晰的思维过程和发展思维能力，笔者将图解法延伸为更加具体的“旋转法”，并且将三种类型动态平衡问题的解题方法分别称为“单边定向旋转法”“单边定长旋转法”和“双边定角旋转法”。现将旋转法的具体思路及拓展应用例析如下。

一、旋转法的具体思路

1.单边定向旋转法

动态平衡问题中，若物体受到的三个力满足“一个力大小、方向均不变，另一个力方向不变、大小变化，第三个力大小、方向都变化”的变化特征，通过力的合成(或力的分解)构成力的矢量三角形，按三个力的具体特征将三角形的三个边分别标号1、2、3。“1”号对应大小、方向均不变的力，“2”号对应方向不变、大小变化的力，“3”号对应大小、方向都变化的力。在动态变化过程中，矢量三角形要满足1、2号两边对应力的要求，必须绕1号、3号两边的交点按照题意所给的方向旋转3号边，2、3号的交点位置变化，矢量三角形变化，可以依据2、3号边的边长变化判断对应力的大小变化，依据1、3号边之间的夹角变化判断3号边对应力的方向变化。这种情景下，旋转的只有3号边，2号边的方向一定，所以这种旋转法简称为“单边定向旋转”。

图1

【例1】如图1，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中

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A.FN1始终减小，FN2始终增大

B.FN1始终减小，FN2始终减小

C.FN1先增大后减小，FN2始终减小

D.FN1先增大后减小，FN2先减小后增大

图2

【解析】对小球进行受力分析，由力的合成构成矢量三角形ABC，如图2所示。其中AB边表示小球受的重力G、BC边表示墙面对球的压力FN1、AC边表示木板对球的支持力FN2。由题意可知，重力G大小、方向均不变、压力FN1方向不变、支持力FN2大小、方向都变化。所以，将AB、BC、AC三边分别标号1、2、3，绕1、3号边的交点A顺时针旋转3号边AC，矢量三角形边长2、3逐渐变短，说明压力FN1、支持力FN2都始终减小。

2.单边定长旋转法

动态平衡问题中，若物体受到的三个力满足“一个力大小、方向均不变，另一个力大小不变、方向变化，第三个力大小、方向都变化”的变化特征，则在力的矢量三角形中，大小、方向均不变的力对应1号边，大小不变、方向变化的力对应2号边，大小、方向都变化的力对应3号边。要满足1、2号两边对应力的要求，必须以1、2号边的交点为圆心，以2号边的长度为半径按照题意方向旋转做出圆弧，使2号和3号边的交点始终在圆弧上移动，矢量三角形随之变化。根据矢量三角形的变化判断2号边对应力的方向变化情况和3号边对应力的大小、方向变化情况。这种旋转情景中，2号边的长度保持不变，这种旋转法简称为“单边定长旋转”。

图3

【例2】如图3所示，两物体通过三段轻线悬挂，不计一切摩擦，两物体静止时OB线水平，AO线与竖直方向的夹角小于45°，现把定滑轮B缓慢竖直向上移动，设线足够长，此过程中

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A.结点O的位置不动

B.结点O的位置先升高后降低

C.结点O的位置先降低后升高

图4

D.结点O的位置一直升高

【解析】将三段轻线的结点作为研究对象，进行受力分析，构建矢量三角形DEF，如图4所示。将矢量三角形的边DE、EF、DF分别标号1、2、3，以1、2号边的交点E为圆心，以2号边EF的长度为半径逆时针方向旋转做出圆弧，使F点 在圆弧上的位置变化，矢量三角形随之变化。动态变化过程中由几何关系看出DE和DF边的夹角先增大后减小，表示OA段轻线的拉力方向与竖直方向的夹角先增大后减小，即结点O的位置先升高后降低。同时，还可以判断OA段轻线的拉力大小逐渐减小。

3.双边定角旋转法

动态平衡问题中，若物体受到的三个力满足“一个力大小、方向均不变，另两个力间的夹角保持不变”的变化特征，则可以在力的矢量三角形中，将大小、方向均不变的力对应的边标号为1，另两个边分别标号2、3。根据几何圆中“弦长一定时，弦对应的圆周角一定”这一性质，可以将1号边作为定弦做出辅助圆(矢量三角形的外接圆)。根据题意同时旋转2、3号边，矢量三角形随之变化，依据2、3号边长度变化判断对应两个力的大小变化。这种旋转简称为“双边定角旋转”。

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A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

图5

图6

【解析】对重物受力分析，做出矢量三角形GHI，如图6所示。将重力对应边标号为1，另两边分别标号2和3。由于OM与MN间的夹角α不变，所以矢量三角形GHI中GI与HI间的夹角为π-α，且保持不变。以GH边为弦，π-α角为对应的圆周角做出辅助圆，在小球被拉起的过程中，矢量三角形随之变化，可以看出2号边HI的长度一直增大，3号边GI的边长先增大后减小。所以，MN上的张力逐渐增大，OM上的张力先增大后减小。

二、旋转法的拓展应用

当物体受到四个力的作用处于动态平衡状态时，可以将某两个力等效为一个力，构成矢量三角形。根据矢量三角形中三个力的变化特征确定动态平衡的类型，巧妙应用旋转法准确、直观地分析物体所受力的变化情况。

图7

【例3】如图7所示，一质量为m的铁环套在粗糙的水平横杆上，通过细线连接一质量也为m的小球，小球还用一水平细线拉着。保持环和小球的位置不变，横杆的位置逐渐按图示方向转到竖直位置，在这个过程中环与杆相对静止，则

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A.连接环和小球的细线拉力增大

B.杆对环的作用力逐渐增大

C.杆对环的弹力的最小值为2mg

D.杆对环的摩擦力的最大值为2mg

甲

乙

图9