以一道最值问题的推广来培养学生的核心素养

江苏省常州市第五中学 赵艳芝

在教学过程中，让学生解数学题是家常便饭。但不能只是简单解题，有时候解完题后再多问几个为什么，或许会“别有滋味”，在我们沉浸于“原来如此”的喜悦的同时，可以在解题的思路更新和能力创新方面得到真实的历练。最近在学习向量的教学过程中，就遇到了一道题，在我的引导与鼓励下，学生尝试着对问题进行变式推广。

一般情况下，向量问题有三种处理思路，即直接法、坐标法和基向量转换法。学生考虑到这道题没有给出向量长度和夹角，从而用定义直接处理的思路就否定了；因为题目中有垂直，故在处理时，学生自然首选坐标法。以A为原点、AC为x轴建立平面直角坐标系，其解题过程如下：

因BC的直线方程为故而设

本来题目做到这儿就可以结束了，但有同学发现时，线段MN恰好处于线段BC的中间位置（MN的中点即为BC的中点）；而或1时，MN偏向线段BC的一侧（有一个端点与线段BC的端点重合），加之本题的背景是等腰直角三角形，从图形的对称性上也能解释特殊法的合理性，于是有同学就想：这样的结论是否可以推广到一般的等腰三角形中呢？

接下来，我用GeoGebra软件做了推广验证（如下图），改变M点的位置，得到数量积的计算值；而以M点的横坐标、数量积的计算值分别为横纵坐标构造E点后，以M点为主动点、E点为从动点构造轨迹。轨迹图像有力地支持了学生的猜想，而这样的图像特性（在中点处取得最小值、在端点处取得最大值）恰与角的大小无关，真是“有图有真相”，这一验证让学生顿时信心百倍。

回首这道题的解体过程，经过讨论学生发现，之所以没证出来，关键是题设字母设得不合理，MN这一定值不应设为绝对值，而应设为相对值（可设为这样计算起来应该方便些。再者，考虑到书上有关于三点共线的一个结论：点在直线上，则有且于是在我的鼓励下，学生修正了原来的解法，整理推广过程如下：

MN在BC上，所以有

题目解到这儿已是不易，接下来往哪儿走却很关键。在此提醒学生冷静冷静，回头看，学生发现题中有M、N两个动点，它们分别对应着变量和，这样四个字母中就只有和是变量了，于是只需要重点考虑即可，结合两限制条件可以想到消元，于是想到干脆提取出来设一个函数进行研究：

这次探究经历于学生而言，“得”远远大于“失”，“失”的是宝贵的时间（过程很费周折），“得”的却是对数学解题满满的体验：首先是对数学解题的全新思考。通过题目特殊位置、特殊值的分析，猜想一般化的结论，继而证明猜想，从而发现有关数量积范围的推广命题，我觉得这才是日常做数学的感觉。其次，数学解题需要有一定的想象和思维发散。在推广过程中锻炼了学生的发散思维，使学生对问题的本质认识更加清晰，事实上，原题中即相当于推广题中的这样只要将推广题的证明稍作改动，就得到原题的基向量的证法。最后，数学解题需要明辨方向、梳理思路。原来学生之所以会陷入困境，主要还是忽视了书上的三点共线性质，而有了这次经历，下次再遇到含多个字母的试题，相信学生会更有底气、有毅力。