让数学生活化

孙波

摘要：研究高等数学教材教法，全面分析了高等数学课程的性质、特点及我国高等数学教育的历史与现状和存在的主要问题与矛盾，提出了数学生活化教学观点与方法，并结合教学实践经验进行了具体论述。主要观点是多用生活事例说明数学概念和结论，围绕实际应用讲授数学理论，让数学回归生活、回归自然。

关键词：高等数学；生活化事例；应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）23-0181-03

一、引言

数学是理工科的灵魂，也是现代管理科学及数量经济学的计算工具，因而数学教育在基础教育和高等教育中占了很大比重。但数学概念之抽象、推导之复杂使之教学难度大。由于受前苏联教育模式的影响，我国数学教材、教学内容和教学方式过分强调了数学推理的严谨性和理论体系的完整性而忽略了教学过程的通俗性和应用性。特别是进入新世纪以来，我国基础教育实行了义务教育，高等教育规模进一步扩大，渐渐由精英教育转变为大众教育，生源质量参差不齐，学生的个性与兴趣爱好渐渐多元化。此外，由于学科门类越来越多，学生的课程负担越来越重，学习耐心和自觉性也有所下降。因此，如何适应新形势，调整数学教学理念、教学内容和教学方式，使之既能满足应用需要，又易于学生接受是摆在数学教育工作者面前的一大课题。笔者既非教育家，也谈不上数学家，仅凭一腔热情以管笔之见和数学同行们探讨这一话题，以期抛砖引玉，共同推动我国数学教育改革。笔者认为，日常生活现象是人最容易理解的，拿现实生活里面的事物讲数学有可能达到深入浅出、事半功倍的效果。

二、生活中的函数

函数是数学的基本概念之一，其严格定义是两数集之间的对应。但集合与对应是两个抽象数学概念，即便教师把定义抄在黑板上，学生再背它几遍，仍可能是一知半解。当然，经过长时间的思维积淀之后也能渐渐理解到位，此所谓“书读百遍，其意自现”。但如果我们能找到捷径使书读一遍，便其意自现岂不更好？其实，数量对应关系在日常生活中比比皆是，如住宅小区物业管理费跟住房面积之间的关系，水电费、燃气费跟实际用量之间的关系，房屋总售价跟平方均价之间的关系都可归结为函数关系。也许是因为它们太平凡，大家熟视无睹，或者是因为它们太俗，不足以写进书本，不屑登上大雅之堂，很少见到哪本教材、哪位教师拿它们来讲函数。我们不妨尝试一下函数概念是不是可以这样引入：假设你们家所在小区的月物业管理费为每平方米1.2元，小区户型面积有103、130、142、154和205平方米，则相应的月物业管理费等于户型面积乘以1.2元每平方米，分别为123.6、156、170.4、184.8和246元。接著画出它们之间的对应关系图，然后提炼函数抽象定义和解析表达式：用X表示该住宅小区房屋面积的集合，Y表示月物管费的集合，则X中每一个数对应Y中唯一确定的数.设x为集合X中的面积数，y为Y中的费用数，则集合Y中对应的售价可表述为

y=1.2x.

我们称上例中的x为自变量，y因x而变化，故称为因变量，也称为x的函数。此外还可顺便介绍一下其他描述方式，如有序数对法，一对数x和y可记为有序数对（x，y）。本例函数关系可用有序数对表示为

（103，123.6），（130，156），（142，170.4），（154，184.8），（205，246）

超市购物是青少年最熟悉不过的生活内容，超市货架上每件商品都帖了条形码，顾客把选购的商品拿到收银处，收银员用扫码器生成价格。显然，每个条形码对应唯一确定的价格，所以超市商品条形码与扫码器生成的价格之间也构成函数关系。

生活中的函数还有很多，比如下例介绍的水费阶梯定价函数，为了合理引导居民用水，长沙市实行居民用水阶梯式定价，共分三级，如2017年四口之家的定价标准为：第一级：水量基数为15立方米及以下，单价为2.58元/立方米；第二级：水量基数为15至22立方米（含22立方米），超过15立方米部分单价为3.34元/立方米；第三级：22立方米以上，超过部分单价为4.09元/立方米。水费计算方式为：第一级水价×第一级水量基数+第二级水价×第二级水量基数+第三级水价×第三级用水量。如果四口之家某月用水量为10立方米，则其当月水费为10×2.58=25.8（元）；如果他们某月用水量为20立方米，则其当月水费为15×2.58+（20-15）×3.34=55.4（元）；如果他们某月用水量为30立方米，则其当月用水量为15×2.58+（22-15）×3.34+（30-22）×4.09=94.8（元）。总之，给定的用水量对应唯一确定的水费，因而用水量与水费之间构成函数关系。用x表示四口之家月用水量，y表示相应水费，则函数关系可表述为

y=2.58x，0≤x≤15，2.58×15+3.34（x-15），1522.

类似的问题还有燃气阶梯定价、电费阶梯定价等，这些问题不仅帮助学生理解了数学概念，还可培养青少年的节能环保意识。

三、生活中的微积分

微积分是高等数学的核心内容，微分指函数的变化率，积分则指函数的空间积累。但因都要通过极限来定义，而且积分的定义形式更复杂难懂，初学者往往晕晕乎乎。但如果拿现实生活中的某些事例来讲可能就不那么难了。开车是现代人的交通出行手段，速度里程表是大家每天都要看的。速度表显示汽车的运行速度，里程表显示汽车运行的路程。试想，如果速度表表坏了而里程表完好，我们能否根据里程表数字算出汽车运行速度呢？或反过来，如果里程表坏了而速度表完好，我们是否也能用速度表推算里程表？教学内容可这样组织：先显示一个汽车速度里程表给学生以直觉，然后从最简单情形——匀速运动入手讨论。假设汽车的运行速度保持60公里/小时，记v=60，则里程按此速度均匀增加，记为f=60t。速度和里程函数图像如下：

容易看出，t时刻的里程f=60t刚好等于速度函数图像在t轴上0和t之间所盖面积；而v值则等于f的变化率。然后考虑最简单变速运动——分段匀速，比如0到2小时之内速度保持60，而2到4小时之内速度保持40，速度函数可分段表示为

显然此时的里程应分段计算，表达式为

f（t）=60t，0≤t<2，40t+40，2≤t<4.

其图像为如下两段折线：

显然对于0≤t<2，f（t）=60仍等于速度函数v的图像在时间段0和t之间“所盖面积”，而v值也等于f的变化率，特别的，f（2）=60×2=120等于v的图像在时间段0和2之间“所盖面积”，对于2≤t<4，f在时间段2到t的增量40（t-2）也等于速度函数v的图像在时间段2和t之间“所盖面积”，v仍等于f的变化率。两段合起来也可推出f在时间段0到t的增量等于速度函数v的图像在时间段0和t之间“所盖面积”，v（t）则等于f在t时刻的变化率。显然一般分段常速运动也具有上述规律，即分段常速运动里程函数在任一时间段内的增量等于速度函数在同一时间段上“所盖面积”，而任一时刻的速度则等于同时刻里程函数的变化率。至于一般连续变速运动，则可理解为由无数短暂常速运动拼接而成，因而其速度跟里程之间也存在同样的关系，即t时刻的里程等于速度函数图像在时间段0和t之间所盖面积；而t时刻的速度则等于里程函数在t时刻的变化率。接下来的问题自然是，如何求给定里程函数f（t）在任一时刻t的变化率？唯一的做法只能是先在时刻t附近取一短时间间隔[t，t+Δt]（Δt>0）或[t+Δt，t]（Δt<0），则里程f在该段时间的平均变化率■大致反映了f在t时刻的变化率。显然，|Δt|越小，该平均变化率越能反映f在t时刻的变化率。一般说来，随着Δt无限趋于0，上述平均变化率会渐渐趋向于一個定数，那个定数理所当然是f在t时刻的变化率。看来，要想由里程推算速度就必须借助于“无限趋向”这样一个数学思想和概念，由此引入微积分的主题——极限。

四、让数学回归自然

现代社会给人们提供了丰富多彩的生活内容，同时也为数学提供了丰富多彩的素材，或许我们的柴米油盐和衣食住行就是数学的最好素材和无穷源泉！说得文学一点，生活就是数学永恒的主题，拿日常生活讲数学，拿身边的事讲数学，不一定要把数学讲成远离生活、高深莫测的空中楼阁！笔者在多年的教学工作中也发现，很多学生连基本概念都还没理解就去攻五花八门的习题集和晦涩难懂的怪题，目的也就是为了撞上几个考试题目。也有教师认为，除了讲教材上的例题外，还要从参考资料上找几个题目讲讲以体现水平，同时也有助于学生考研。我们不禁反思和质问：我们到底该教给学生科举的数学还是生活的数学？笔者有一次讲数学分析课推导三次幂函数导数时问学生（x+Δt）3的展开式，大部分学生竟然答不上来！他们可都是经过了无数次周考、月考、中考、末考，刷过的难题千千万，过五关、斩六将，最终超过一本线几十分的长胜将军！可遗憾的是，竟然连老祖宗的传家宝杨辉三角都不知道！笔者不得不怀疑我们平时考的那些难题意义何在？少考几道难题，多讲点应用与生活，偶尔也考一下（a+b）3的展开式又有何妨？新时代的号角已经吹响，愿数学这一古老而又神圣的学科在全面建设小康社会和实现中华民族伟大复兴中国梦的伟大进程中回归自然！

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社（第1版），1978.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社（第6版），2007.

[3]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].高等教育出版社（第2版），2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.克莱因，著.张理京，张锦炎，江泽涵，等译.古今数学思想[M].上海科学技术出版社，2009.

[6]M.L.Lial，Calculus with applications，Springer-Verlag，2010.