高等数学系统化教学之我见

彭小飞

摘要：本文结合实践教学经验，分析和探讨了在高等数学教学中实施系统化教学的重要性和可行性，给出了如何实施系统化教学的具体措施。实践证明：实施高等数学系统化教学有利于提高学生的学习兴趣和对知识的系统化掌握，能更好地培养学生的数学思维习惯和用数学知识解决实际问题的能力。

关键词：系统化教学；知识结构体系；教学目标；自学能力

中图分类号：G420 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）24-0161-03

高等数学是高等院校理工科各专业的一门重要基础理论课程，是学生学习大学其他数学课程或专业课程的基础，同时也是解决实际问题重要的应用工具。因此这门课程担负着传授知识和提高学生用数学思维分析和解决实际问题等能力的重任。高等数学虽以系统、完备而著称，但由于其知识点多、教学历时长，容易让学生有知识点零碎易混淆而难以掌握之感。为此，许多学者分别从专业需求[1-2]、新课标理念[3]、高等数学与初等数学的衔接[4]、其他教学改革[5-7]等不同视角对高等数学教学进行了探讨。为了进一步去除学生对学习高等数学的畏惧感，提高学生学习这门课程的兴趣，本文将探讨高等数学课程的结构化系统性教与学，为学生建立相对完整的数学逻辑思维打下基础，倡导学以致用的数学应用观，并以此促进、引导、启迪具有数学天赋和潜力的学生进步上行。基于经典教材[8]，下面拟从课前、课堂、课后这三个环节分析和探讨如何对高等数学实施系统化教学。

一、教师课前对课程的系统化把握，是实施系统化教学的前提和基础

对任何一门学科来说，“授人以鱼不如授人以渔”，这是学生由“学会”具体的知识到习得方法抵达“会学”境界的质的飞越，培养的是学生的学习习惯和素养。尽管如何成功“授渔”因学科而异，但其共性为：教师对相应课程的系统化把握，是基础和前提。对高等数学课程的系统化把握，可从以下两方面着手。

1.教师对各具体知识点的系统化过程。首先，教师需要充分了解高等数学和现行中学教学的初等数学在内容上的承接关系，对重叠知识点，区分两者在教学要求、思维层次方面的差异，以便在高等数学的教学中进一步深化和完善初等数学的相关内容。其次，教师在课程开始前，有必要对高等数学各知识点的内在联系和本质特征有总体把握，以此形成有效教学的知识结构体系，表1是笔者所整理并应用于最近几年教学的知识结构体系。此外，各教学内容间的关联性非常重要，只有深入理解了知识间的联系，将看似零散的知识点有机地关联起来，才能構建有序清晰的知识体系，详见表2。

2.制定切实可行的教学目标，并系统有序地实现目标，以下是笔者给出的关于高等数学系统化教学需要逐步实现的目标层次。

（1）通过高等数学的各个教学环节逐步提高学生的数学素养（抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力）是基本要求——第一层次的目标。

（2）在教学中逐步培养学生的自学能力，在自学能力的培养中提升学生的创新能力——第二层次的目标。

（3）综合运用微积分知识去分析问题和解决问题的能力——第三层次的目标。

（4）在本课程的教学中，自然地注入数学史，教书的同时不失时机地育人——第四层次的目标。

二、课堂注重知识的系统化教学和能力的系统化培养，是实施系统化教学的关键所在

进入大学后，对学生学习的主动性有了更高的要求，中学时代应试环境下的被动学习不再适应高等数学课程的学习。因此，课堂上，如何实施系统化教学，培养积极主动的学习习惯，并促成学生自学能力和创新能力的提高，成为一个迫切需要解决的关键问题。下面给出几点建议。

1.教师上好高等数学的第一堂课，激发学生学习高等数学的兴趣，是培养学生养成主动学习习惯的首要问题。依据笔者近几年的教学实践，第一堂课里，承载着三个任务：

★ 对高等数学和初等数学的研究内容进行有效衔接。

★ 强调高等数学的学习不仅仅是数学素养和思维能力的培养，而且是学生学习后续的其他数学课程及相关专业课程的基础，并指出哪些知识点直接关联到哪些专业课程的学习。

★ 帮助学生构建高等数学的体系，让学生对高等数学这门课程的学习有脉络清晰的体系感。笔者通常会在第一次课给学生分析高等数学课程的知识结构（见表1），给出知识点间的关联性（见表2），引导学生以自己的方式构建课程的“结构树”。鼓励学生构建各具特色的主干；以后则随着具体知识的教学，引导学生学会将各个新的知识点安排至“结构树”的枝桠或者叶子上。

2.教学中尽可能以案例导入，让学生了解高等数学所研究的微积分具有很强的应用背景，同时注重理论在实际问题中的应用。这种基于实际问题背景，深入学习和理解微积分的思想方法和理论后，再回归实际问题求解的教学方式，让学生了解到高等数学知识的来龙去脉和重要性，更利于激发学生的好奇心和求知欲。

3.课堂教学中及时化解难度，注重知识和思维的循序渐进，由易到难，潜移默化中帮助学生完成知识点由具体到抽象的过渡，让学生慢慢体会到高等数学与初等数学的重要不同在于：前者是在变化中考察各个量之间的关系，没有变化就没有微积分。

4.创新源于问题导向的发现，因此培养学生发现问题和引导学生提出好的问题，是课堂教学中最有特色也是最不容忽视的环节。笔者的做法是：在每个知识点的教学中，预留时间给学生提问，并鼓励其余学生讨论和直接解答问题，及时肯定勇于提问并积极参与问题讨论的学生。学生学会学习和积极提问的过程，事实上直接培养了学生的自学能力和创新潜质。这是实现课程教学目标最重要的两种能力。

三、学生的课前预习和课后复习，是实施系统化教学的重要环节

除了课堂教学中积极思考和提问外，培养学生课前预习和课后复习的习惯，是高等数学课程系统化教学的重要环节。关于如何高效地预习和复习，笔者的建议是：

1.注重思维优先，以问题为导向去预习，认真阅读课本，将自己视为作者，从作者的角度考虑教学内容编排的合理性和例题设置的梯度性，敢于质疑书本，鼓励学生带着问题进课堂，以此培养学生发现问题的能力，逐步提高自学能力。

2.高等数学课程的复习，绝对不是知识的简单回忆和再现，而是思维再创造并形成自己完整的知识体系的过程。这需要注意复习的方式和时间节点。前者要求复习时注意知识间的关联性，能串联相关知识点至融会贯通，回顾预习中的疑问是否已一一解答。此外，高等数学课程的系统化复习里，新课结束当天布置给学生一个重要任务就是：用五分钟左右的时间回顾新课内容，并迅速将相应知识点放置到属于自己的知识结构树上。事实上，这种五分钟总结锻炼了学生的归类概括能力，这也是系统化复习的基本要求。关于复习的时间节点，著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”已经揭示出遗忘的规律是先快后慢，因此新课结束后两天内复习有事半功倍之效。

总之，近六年的高等数学系统化教学实践经验证明：实施系统化教学，有助于学生对知识点本质的理解和牢固掌握，激发学生的学习兴趣。随着越来越多的学生敢于提问勇于对书本和老师提出质疑，他们更自信学习更主动了。而随着自学能力和分析解决问题能力的提高，学生的创新潜质被进一步激发，这门课程的教学目標也在教学过程中逐步实现。必须指出，本文仅从笔者自身教学的角度给出了关于高等数学系统化教学的一些探讨。事实上，这门课程的系统化教学是一个相对庞大的工程，需要高等数学课程团队、学生所在学院、学生三方面的通力合作才能取得最佳的教学效果。目前，笔者所在的教学团队已初步建设了在线的高等数学同步实验课程和习题讲解课程，正尝试着配合理论教学课程，应用于2018级理工本科专业高等数学课程的教学中。关于如何更高效地推进高等数学课程的系统化建设，有待于进一步深入研究。

参考文献：

[1]杨茜云.对非数学专业高等数学的教学思考[J].中国科教创新导刊，2008，（14）：85-85.

[2]张伟峰，刘丹，张昕，李泽华.基于专业导向的高等数学教学改革研究[J].大学教育，2016，（1）：93-95.

[3]张士勤.新课程理念下大学数学教学改革的实践探讨[J].教育与职业，2008，（21）：95-96.

[4]王明春，潘惟秀，郭阁阳.大学数学与中学数学教学内容衔接研究[J].高等数学研究，2010，13（5）：11-13.

[5]李岚.高等数学教学改革研究进展[J].大学数学，2007，23（4）：20-26.

[6]赵国强，孙菊香.浅析如何改进高等数学的教学方法[J].教育教学论坛，2017，（37）：181-182.

[7]杨文国，沈晓婧，石莹，吕佳萍，黄鑫海.基于任务驱动式分块化大学数学教学改革[J].教育教学论坛，2017，（34）：130-132.

[8]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.