寻求算理算法平衡，提升学生数学素养

王金秀

[摘要]数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，运算能力是数学学科的核心素养之一。提高学生的运算能力，关键是要科学地处理好算理和算法的关系，寻求算理与算法的最佳平衡点。重算理轻算法，只会纸上谈兵频出错;轻算理重算法，则使学生计算缺乏支撑，不利于学生思维发展，只有重算理明算法，才能提高学生运算能力，从而提升学生的数学素养。

[关键词]算理算法 运算能力 数学素养

如何提高学生的运算能力，应该是数学教学的热点问题。数的运算教学，首要问题是要科学地处理好算理和算法的关系，寻求算理与算法的最佳平衡点，从而提高学生的运算能力，提升学生的数学素养。

在计算教学中，算理与算法是两个不可或缺的关键。那么何为算理，何为算法呢？从字面上不难理解，算理就是计算过程中的道理，解决为什么这样算的问题;算法就是计算的方法，主要是指计算的法则，解决怎样算的问题。算理是对算法的解释，是理解算法的前提，算法是对算理的总结与提炼，它们是相互联系、有机统一的整体。透彻理解算理和熟练掌握算法是提高学生运算能力的重要保证。但在实际教学中，我们教师往往难以把握二者之间的平衡关系，从而使学生的思维得不到应有的发展，阻碍了學生运算能力的提高。下文以《两位数乘两位数的笔算》的教学实录为例，探寻出各种课型的利弊，找到算理与算法最佳的平衡点，以使达到最佳的教学效果。

一、重算理轻算法，眼高手低频出错

学生在学习两位数乘两位数之前，已经熟练掌握了两位数乘一位数。而笔算两位数乘两位数时，实际上是用第一个乘数分别去乘第二个乘数个位和十位上的数，再把两次乘得的结果相加;而乘第二个乘数十位上的数时，乘得的数的末位要和十位对齐，这是因为第二次相乘得到的是若干个十。由于笔算时的对齐方式与以前的大不相同，所以让学生理解为什么这样对齐就显得尤为重要。某位教师在探索算法时是这样处理的：

1.以旧引新，铺垫算理

师：每箱南瓜24个，利用以前的知识，你能算出几箱南瓜的个数吗？

生1：我能算出2箱南瓜一共48个，24×2=48。

生2：我能算出5箱南瓜一共120个，24×5=120。

师：刚才同学们计算的都是不超过10箱的南瓜个数，请开动脑筋，想一想，你能算出更多箱南瓜的个数吗？

生3：我能算出12箱南瓜的个数，24×10=240，24×2=48，240+48=288。

生4：我也能算出12箱南瓜的个数，我是这样算的：24×6=144，144×2=288。

师：同学们真有办法，利用两位数乘一位数的知识，间接地算出了两位数乘两位数的得数，真厉害！而我们以前在学习两位数乘一位数时还学过用竖式计算，其实用竖式计算也是表示计算过程的一种方式。

2.直观理解，强化算理

师：你能用竖式算出2箱南瓜的个数吗？（生集体说，师板书）

师：如果幼儿园购进12箱南瓜，一共有多少个？用竖式该怎样算呢？其实我们可以借鉴刚才的方法，在竖式计算时分三步来算，先算2箱南瓜的个数，再算10箱南瓜的个数，最后合起来就是12箱南瓜的个数。

师：你能说出每一步算的是什么吗？同桌之间互相说一说。

3.及时巩固，深化算理

师：用竖式计算和刚才的算法相比，方便多了，我们一起来试一试吧。

这位教师对算理的处理很到位，学生理解得都很透彻，但是对算法的处理明显欠妥，他把教学的重点放在了理解算理上，却忽略了对计算过程的梳理与计算方法的总结。归根结底，问题就在于轻视算法上，学生虽然对笔算的道理理解了，却无法提高笔算的能力，学生也就“眼高手低”，自然不利于数学素养的提升了。

二、轻算理重算法，纸上得来终觉浅

还记得自己读小学时，笔者对数学这门学科算得上情有独钟，印象也颇深刻。特别是计算课，仔细想来，一般都是教师先呈现一道例题，然后示范讲解计算过程，最后总结计算法则，再让我们把计算法则一字一句地背诵下来。考试时计算法则还会以填空题的形式出现。这样看来，那时的计算教学是很明显重算法轻算理的。即使课改多年的今天，在实际的教学中，依然有教师喜欢捷径，直接讲授算法，而忽略了学生对算理的理解。从下面这位教师对两位数乘两位数的处理上我们不难看出。

1.开门见山，揭示任务

师：幼儿园购进12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？你会列式计算吗？

生：24×12。

师：这是一道两位数乘两位数的题目，今天我们就来学习两位数乘两位数。

2.古今中外，了解算法

师：你想知道，在我国的古代，人们是怎样计算两位数乘两位数的题目吗？一起来看。

多媒体介绍：我国明朝的《算法统宗》里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法，是利用方格来算的。例如，计算62×37时，先把乘数写在方格的上面和右面，然后把一个乘数各位上的数分别和另一个乘数各位上的数相乘，积写在相应的方格里，再从右下方开始，把斜对着的数相加，就得到相乘的积2294。

3.简明扼要，介绍算法

师：现在，我们一般用竖式来计算两位数乘两位数。用竖式计算24×12时，第一步用12个位上的2去乘24，乘得的末位要和2对齐;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的数的末位要和1对齐;第三步要把两次乘得的结果相加。现在就请同桌之间相互交流一下笔算24×12的计算过程。谁再来复述一遍。

生：第一步，用……

4.及时巩固，掌握算法

师：你会用竖式计算两位数乘两位数了吗？我们一起来试一试吧！

这位教师对两位数乘两位数的处理，明显急功近利，目的就是让学生直接掌握笔算方法。虽然他为学生介绍了古今中外的各种算法，开阔了学生的视野，但是学生只是简单地接受算法，照着葫芦画瓢，对每一步为什么这样算毫无思考，虽然经过大量的练习，学生的计算正确率也能得到保证，但是这种做法的后果，将会是限制学生思维的发展，由于没有算理的支撑，一段时间以后，学生很快就把算法遗忘了，这当然也不利于学生数学素养的提升。

三、重算理明算法，融会贯通有成效

实践证明，在计算教学中，我们不能一味地重视算理，忽略算法，更不能简单地强调算法，省略算理。我们要让学生在透彻理解算理的基础上熟练掌握算法，下面的教师就是这么做的：

1.尝试计算

师：24×12是一道两位数乘两位数的试题，你能利用以前的知识，尝试算出答案吗？

生1：我先算出6箱有多少个，再算12箱有多少个：24×6=144，144×2=288。

生2：我先算10箱和2箱各有多少个，再合起来：24×10=240，24×2=48，240+48=288。

2.理解算理

师：其实，计算24×12时，我们也可以像刚才那样，先算2箱南瓜的个数，用2×24，得数写在横线下面;再算10箱南瓜的个数，用10×24，得数接着往下写，最后把两次乘得的得数相加。你能看着算式说一说每一步算出的是几箱南瓜的个数吗？

生3：48是2箱的个数，240是10箱的个数，288是12箱的个数。

3.梳理过程

师：在笔算24×12时，我们一般这样算：第一步用12个位上的2去乘24，乘得的末位要和2对齐;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的数的末位要和1对齐;第三步要把两次乘得的结果相加。想一想：用1乘24时，乘得的数末位为什么要和1对齐？

生1：因为十位上的1表示1个十，得到的结果表示24个十，所以要和1对齐。

生2：因为这一步算的是10箱南瓜有240个，所以4要和十位的1對齐。

师：同学们理解得都很正确，我们一起把笔算的过程说一说吧。

4.掌握算法

师：知道了笔算的过程，也明白了每一步算的是什么，我们就能正确地计算两位数乘两位数了，一起来练一练。

这位教师在处理算理与算法的关系时，避免了传统的计算教学只注重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导的弊端，也避免了一些年轻教师在理解算理上大做文章，过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生理解算理过繁，掌握算法过难的另一种极端。

对此笔者认为，处理计算教学中算理与算法的关系时还应注意从思想上认识到算理与算法是计算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重算理也要重算法。算法形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能，才能算是找到了算理与算法的平衡点。

对于计算教学来说，算理与算法是同等重要的，就像天平的两端，哪一方偏重了，课堂都会失衡。我们在教学中应力求让学生透彻理解算理，熟练掌握算法，这样才能促进学生在数学上得到健康的发展，使学生的数学素养得到全面提升。