反例教学的思考

安徽省南陵县籍山镇新建初级中学 章正平

一、反例教学必要性认识

1.数学发展本身的需要

在数学问题的探索中，猜想结论是否正确，正确的要严格证明，错误的可举反例。完成证明和构造反例是每个数学新发现的必经之路。

例1 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。

虽然平行四边形有对边相等，对角相等的结论，该命题有可能成立，但证明它又没有充分的理由，这时能例举反例就尤为必要和重要了。

2.契合新理念

通过学习数学新课程标准知道，老师在教学中应鼓励学生主动地参与观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。在学习数学的过程中培养学生独立探究和合作交流能力，而学生猜测结论正确与否，则需要证明和举反例给出判断结论，所以反例教学在数学中应有重要的地位，也是符合新理念的要求。

二、构造反例原理认识

举反例需要弄清构造原理，举反例的过程其实是一个创造性思维活动的过程，构造时首先要弄清命题的题设和结论，在此基础上构造一个满足命题题设（条件）而得到不同结论或多于原命题结论的命题。若能举出这样的例子，就算是一个很完美成功的反例。

例2 能被2 整除，必能被4 整除（假）。反例如下：18÷2=9，18÷4=4.5（不是整数）。

例3 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（假）。反例如下：等腰梯形是满足条件而结论不是平行四边形。

三、构造反例的困难性认识

有些假命题举反例相当困难。如例1 就是假命题，反例构造如下：如图1，先作等腰梯形ABCD，过D 作DM ⊥BA，垂足为BA 延长线上一点M，找点B 关于M 的对称点B'，连接B'D，则四边形ACDB'中有DB'=BD=AC,∠B′=∠ABD=∠DCA,但AB'与CD 不平行,显然四边形ACDB′不是平行四边形，可以看出图1 显示的四边形为凹四边形，图2 显示的四边形为凸四边形。

图1

图2

四、构造反例的意义

1.构造出命题的一个反例能准确弄清该命题的真假性，构造反例也是纠正错误的有效方法。概念、定理的教学引入都是采取正面叙述的方式,而学生对概念的关键词理解不清，往往会出现一些错误。如：判断命题“如果a 是实数，那么的真假，只要举一反例：a=0，而这可能是中学生遇到的第一个反例。多年的教学经验告诉我们：即使到了初三，还有相当多的学生仍在犯这样的错误。

2.构造反例过程中能体现思维的缜密性，使我们考虑问题更全面、准确、完整，进而能修正这个命题的结论，使假命题成为真命题。

例3 反例构造过程如下：如图3，线段AB ∥直线MN，在MN上任取一点D，连接BC，AD 与MN 不垂直。以B 为圆心,以AD 为半径画弧交MN 有两点C、C'，则有四边形ABC'D 为等腰梯形,四边形ABCD 为平行四边形。

图3

由此可知，例3 的命题可修正如下：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或是等腰梯形（真）。

3.构造反例也是培养学生发散思维的有效途径。

例如：正多边形各边都相等，各角都相等。学生正向理解应用都不难，教师从反向发散更有意义。

判断：（1）各边都相等的多边形一定是正多边形；（2）各角都相等的多边形一定是正多边形。

显然（1）和（2）都是假的，学生很容易想到这两个反例：菱形和矩形。有其他的吗？这就需要学生开动脑筋，寻找其他反例，老师可适当提示，从四边形反例中跳出来，举五边形，六边形等其他多边形考虑。从稳定性和平移变化不同的角度来举反例，其实这样的反例有无数个，这样学生思维就发散打开了。

学习认识反例，成功构造反例是学习数学命题一项必备知识，亦是判断命题真假的重要一环，也是提高学生探究能力的有效途径。构造反例有利于缜密思考,纠正错误结论,澄清模糊概念,培养学生发散性思维及创造性思维的能力，有利于培养学生良好的思维品质和良好的学习习惯，因此构造反例是数学学习必不可少的基本功，我们在数学教学过程中要重视这一技能的培养和训练。