初中数学勾股定理的多种证明方法

江西省南昌市广南学校 刘 莹

引领学生探索多种证明勾股定理的方法，对扎实学生数学基础知识、提高学生解决问题的能力具有重要作用。本文从以下几点阐述初中数学教学中如何引导学生从多角度探索勾股定理的证明方法。

一、平移推理法

平移推理法简单有趣，有助于学生的理解记忆。在学生初次接触勾股定理时，教师不妨引导学生使用平移法证明勾股定理，以此激发学生的学习兴趣。

图1

图2

图3

二、割补拼接法

割补拼接法证明方法变化多，对锻炼学生思维的灵活性、独创性和敏捷性具有一定的作用。因此教师便可引导学生利用割补拼接法证明勾股定理，以提高学生的思维能力。

首先，我让学生准备若干正方形和直角三角形的卡片，让学生自由拼接出其他图形，试图找出其中勾股定理的证明方法。待学生思考一阵，我便用多媒体为学生展示上图3，并介绍道：“这是我国古代数学家赵爽创制的‘勾股圆方图’，他利用这幅图证明了勾股定理，同学们能发现这幅图的奥妙吗？”我让学生利用手边的卡片拼出“赵爽弦图”，并提示学生：“设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c，那么这个大正方形的面积有几种表示方法呢？”在我的引导下，一名学生写出证明过程：

大正方形的边长为c，其面积为c2。

因为图中四个直角三角形全等，

所以小正方形的边长为b-a，其面积为（b-a）2。

然后，我再鼓励学生拼出其他图形并进行证明。通过这一过程，可以让学生了解到多种证明勾股定理的渠道，并有效锻炼学生的思维品质，培养学生的创新能力，从而提升学生的数学综合素养。

三、圆形辅助法

以上证明勾股定理的方法都离不开正方形的辅助，为拓展学生思维，我又引入“圆形辅助法”，即通过作直角三角形的外接圆、内切圆来证明勾股定理。这种方法涉及一些圆的知识，但并不复杂，可作为勾股定理的拓展学习。且由于这种证明方法较为新颖，可以有效激发学生的探索欲望，教师也可以借此锻炼学生自主探究的能力。

首先，我利用多媒体为学生展示图4，并做简单介绍：在Rt △ABC 中，直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作△ABC 的内切圆，切点为D、E、F，半径为r。

然后我向学生说明“过切点的半径垂直于该切线”的性质，接着便让学生自主探究勾股定理的证明方式。结果，学生便根据三角形全等的性质，找出图中几组长度相等的边，得出AC+BCAB=2r，即a+b-c=2r，进而得出a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2。然后，又将△AOC、△AOB、△BOC 的面积相加，得出△ABC 的面积为r2+rc。又因为所以由a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2可以得出a2+b2=c2。

图4

学生先是利用圆的性质和全等三角形的知识找出有价值的条件，然后根据以往证明思路找出计算大三角形面积的两种方法，并找出等量关系，进而证明了勾股定理。所以说这种证明方法对于开拓学生思维、锻炼学生探究能力大有裨益。

总之，在初中数学勾股定理的教学中，教师可适当为学生介绍多种勾股定理的证明方法，以激发学生的学习兴趣和学习潜能，开拓思维，进而提升学生的数学综合能力。